Logistic模型的改进_双S形曲线模型的研究_刘加奇

合值 ( 台 百户)
74. 513 80. 747 86. 527 91. 773 96. 442 100. 53 104. 04 107. 04 109. 55 111. 65
对于L og ist ic 模型, 由于 x 与 t 有显式的关系式 ( 3) , 直接用最小二乘法拟合得到方程为 120. 8 ( 11) x ( t) = 1 + 7. 3809exp ( - 0. 225 t) 各年拟合数据见表 1 的第 4 列和第 8 列, 拟合曲线见图 8, 拟合误差为
L og ist ic 模型是最常用的描述 S 形增长问题
的模型, 但它在实际应用中也存在一定的局限 性, 主要体现在模型的假设上: 相对增长率 与用 1 x k
dx x dx
表示的剩余空间成线性关系 ( 即
图 3 L ogistic 模型 x - t 曲线
( 1) 式). 一般情况下, 这两者之间不是简单的线
由图可见考虑用多项式描述双s形曲线的微分式记双s形曲线模型相对增长率满足的方程为dxxdxx关系近似于三次多项式这里dxxdxr1xka1xb2c6式中r为内秉增长率k为最终状态的空间饱和容量b为种群第一段s形曲线向第二段s形曲线转变时的空间饱和容量ac为控制曲线线态的参数
第 38 卷第 17 期 2008 年 9 月 M A TH EM A T
2 L og istic 模型的基本假设及其改进模型
L og ist ic 模型的基本假设为: 种群个体没有差异, 具有相同增长率, 且相对增长率与剩
余空间资源成正比; 空间资源有限, 具有一定的饱和值, 且饱和值一直保持不变 . L og ist ic 模
收稿日期: 2007201216
17 期
L og ist ic 模型及其改进模型均不能确切地描述这类问题, 究其原因是因为模型假设中饱和
容量恒定不变与实际情况不相符. 本文在第二节中回顾了L og ist ic 模型及其改进模型 . 由于一些实际问题的发展规律并 不符合L og ist ic 模型的基本假设: 空间饱和容量 k 不变, 故在第三节我们对上述假设进行了 分析和讨论, 提出了双 S 形曲线模型的概念. 在第四节中我们建立了双 S 形曲线模型 . 在第 五节中给出了模型参数的估计方法, 并在第六节中针对一组实际数据: 1984 ～ 2003 重庆市 涪陵区农村百户家庭电视机拥有量, 对双 S 形曲线模型与L og ist ic 模型进行了比较, 计算结 果表明双 S 形曲线模型拟合效果更好, 相对准确地刻画了问题的发展趋势 .
数学的实践与认识 V o l138 N o 117 Sep. , 2008 ICS I N PRA CT ICE AND TH EO R Y
应 用
L og istic 模型的改进——双 S 形曲线模型的研究
刘加奇, 袁文燕
( 北京化工大学理学院 数学系, 北京 100029)
摘要: 在L og istic 模型的基础上, 对一类空间饱和容量会随着时间发生变化的问题进行了讨论, 指出了 L o2
6 应用实例
下面以1984 ～ 2003 重庆市涪陵区农村百户家庭电视机拥有量 ( 调查数据见 [ 5 ], 1990 年 原始数据为 69, 笔者认为调查存在偏差, 故改为前后两年的平均值 54) 为例, 检验双S 形曲线 模型的拟合精度与预测准确度, 并将双 S 形曲线模型与L og ist ic 模型进行了比较 . 对于双 S 形曲线模型的拟合采用第五节介绍的差分拟合方法, 所得的方程为
dx = 1. 165x 1 dt
20
x
120. 6
1-
x
2
74. 28
+ 0. 1156
( 9)
各年拟合数据见表 1 的第 3 列和第 7 列, 拟合曲线见图 7, 拟合误差为
∑ (x
i= 1
i
- x i) = 4. 8796. ( 10)
^
20
64
数 学 的 实 践 与 认 识 表 1 原始数据与两种方法的拟合结果
L og istic 模型拟
合值 ( 台 百户)
17. 523 21. 17 25. 389 30. 194 35. 569 41. 463 47. 787 54. 413 61. 188 67. 944
年
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
63
图 5 双 S 形曲线模型
dx - x 曲线 dt
图 6 双 S 形曲线模型
dx x dx
x 曲线
. 相应的增长率满足的方程为 g ist ic 方程 dx = rx 1 dt ( 7) 为描述种群增长率的M 形曲线方程 .
x k a 1x b
2
+ c
( 7)
5 参数估计算法
由于 ( 6) 的解为一隐式方程, 用实际数据直接估计参数比较困难, 本文按如下方式估计参 数 . 首先对原始数据进行差分处理, 用中心差商近似代替导数, 得出相对增长率的近似值, 即
其微分曲线应为M 形 ( 见图 5) , 即有两个高峰增长点 . M 形的增长曲线各点分别除以 x 值即 得到了对应的
dx dx - x 关系曲线 ( 见图6). 由图可见, - x 关系近似于三次多项式, 这里 x dx x dx dx = r 1x dx
x k x b
2
考虑用多项式描述双 S 形曲线的微分式, 记双 S 形曲线模型相对增长率满足的方程为
性关系, 只有种群数量很大时, 空间一定的限制 才会起显著作用. 广大学者对其进行研究并提出了很多的改进模型, 例如:
dx = r x dx 11x k x k′
( 4)
′ 称为崔2 . L ow son 模型 ( 见[ 3 ] ) , 其中, k 是决定相对增长率与空间资源有效性关系的非线性参数 王寿松综合前人研究, 提出了广义L og ist ic 模型 ( 见 [ 4 ] )
4 ) , 它大概有两种成因, 种群发展到饱和值后某个
时刻空间饱和容量突变为另一个值, 或者在种群 发展过程中, 空间饱和容量随之变化, 最终种群变 化曲线展现为双 S 形. 对于前一种情况, 空间饱和 容量变化前后的曲线相对独立, 可分别研究, 但对 于后者, 曲线是一个整体, 各段变化密切相关, 不 能作为两段L og ist ic 曲线来研究. 下面讨论研究此 类双 S 形曲线模型.
v > 0 时 ( 5) 式称为崔2 . L ow son 模型, 当 v > 0 时 ( 5) 式称为 Sm ith 模型
改进的L og ist ic 模型大大加大了曲线的拟合弹性, 增强了其适应性, 相对准确地描述了 相对增长率与剩余空间的非线性关系.
3 问题的提出
改进的L og ist ic 模型仍然是在空间饱和容量 k 不变的前提下建立的, 如果空间饱和容 量发生变化, 上述所有模型将不能准确刻画实际问题 . 现实世界中经常出现空间饱和容量不 断变化的情况. 例如: 由于科技创新, 人民生活水平不断提高, 耐用消费品的饱和市场 ( 可理 解为空间饱和容量) 会不断扩大; 随着生产力的提高, 人口饱和空间容量会不断扩大 . 在这种 情况下用上述模型研究种群数量的变化, 由于基本假设不符会出现较大偏差甚至错误的结 果 . 空间饱和容量变化有两种情况: 一种是跳跃式的突变, 如一种商品已经接近饱和值但由 于某时刻发生技术革新, 使得商品又进入了新的增长期; 另一种是连续渐进的空间饱和容量 变化, 例如在人口增长的过程中, 生产力不断提高, 人口的饱和容量亦随之不断地扩大, 饱和 容量的变化是伴随在群体发展过程中的. 在种群发展曲线中广泛存在双 S 形曲线 ( 见图
g istic 模型应用在这类问题上的局限性, 建立了解决该类问题的双S 形曲线模型. 对一组实际数据进行了拟
合, 结果表明双 S 形曲线模型能够更好地刻画实际问题, 相对准确地预测未来的发展趋势.
关键词: L og istic 模型; S 形曲线; 双 S 形曲线模型
1 引 言
生物数学家V erhu lst 于19 世纪中叶提出了L og ist ic 模型, 大量研究表明在自然界 ( 如动 植物种群的增长) 、 在经济界 ( 如生产总值的增长、 耐用消费品的销售数量等) 很多问题都能 用L og ist ic 模型来描述. L og ist ic 模型在预测与决策上也有着独特的表现和广泛的应用 . 许 多学者在L og ist ic 模型的基础上对其进行推广, 提出了很多改进模型 . 这些改进模型拓展了 适用范围, 更好地描述了实际问题. L og ist ic 模型及其改进模型均建立在种群所在空间具有 一最大容量 ( 也称饱和容量) 且该最大容量自始至终保持不变这一假设基础上, 但是实际上 最大容量始终保持不变只是一部分现象的近似描述, 很多情况下饱和容量是变化的 . 例如, 随着经济发展, 人民生活水平提高, 耐用消费品的市场饱和值会不断增大 . 在这种情况下增 长曲线不是L og ist ic 模型所表现出来的 S 形曲线 ( 见图 3) , 而是呈双 S 形曲线形状 ( 见图 4) ,
dx = rx 1 dt
x k
( 2)
增长率与 x 成二次关系 ( 见图 2).
图 1 L ogistic 模型
dx - x 曲线 x dx
图 2 L ogistic 模型
dx - x 曲线 dt
方程 ( 1) 的积分式为:
x ( t) = k
1 + a e-
rt
( 3)
图形呈 S 形 ( 见图 3).
图 4 双 S 形曲线模型 x - t 曲线
4 双 S 形曲线模型的建立
对于L og ist ic 曲线 ( 见图 3 ) , 其微分形式是一个抛物线函数 ( 见图 2 ) , 其相对增长率的
dx x dx
x 关系曲线 ( 见图 1) 为递减直线 . 用类比的思想, 要生成积分曲线为双 S 形 ( 见图 4 ) ,
dx x dx
t= i
≈
x t=
i+ 1
- x t= 2x t= i
i- 1
( 8)
其中 x t 为 t 时刻种群数量,
dx dt
t
为 t 时刻种群的相对增长率 . 然后用最小二乘法估计 ( 6 ) 式
中的参数 r, k , a , b, c. 得到各参数后, 求解微分方程 ( 7) , 从而得到各个时刻的 x 值 . 由于对数据进行了差分处理, 在一定程度上降低了拟合精度, 但还是给出了无显式关系 式的曲线拟合方法, 并且在实例应用中得到了很好的效果 .
实际值
( 台 百户) 72 75 85 84 93 105 107 109 109 114. 63
双 S 形曲线模型 拟合值 ( 台 百户)
75. 596 79. 392 83. 24 87. 241 91. 469 95. 944 100. 6 105. 23 109. 51 113. 12
L og istic 模型拟
(k - x ) dx = r ( r > 0, k > 0, Μ Ε(k + Μ x dx x)
1, x Ε 0)
( 5)
62
数 学 的 实 践 与 认 识
38 卷
当 v = - 1 时 ( 5) 式称为指数增长模型, 当 v = 0 时 ( 5) 式称为经典的L og ist ic 模型, 当 - 1 c
( 6)
式中 r 为内秉增长率, k 为最终状态的空间饱和容量, b 为种群第一段 S 形曲线向第二段 S 形曲线转变时的空间饱和容量, a、 c 为控制曲线线态的参数 . 当 a = 0 时微分方程即为L o 2
17 期
刘加奇, 等: L ogistic 模型的改进——双 S 形曲线模型的研究
38 卷
年
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
实际值
( 台 百户) 3 8 18 34 51 54 54 54 58 67
双 S 形曲线模型 拟合值 ( 台 百户)
3 8. 8588 19. 761 32. 371 43. 087 51. 357 57. 813 63. 089 67. 627 71. 727
刘加奇, 等: L ogistic 模型的改进——双 S 形曲线模型的研究
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型中种群相对增长率为
dx = r 1x dx
x k
( 1)
( 1) 式称为L og ist ic 方程, 相对增长率与种群数量 x 成线性关系 ( 见图1) , 其中常数 r > 0 为内秉增长率, 它表示每个个体没有受到抑制时的最大增长率, 反映了物种内在的特性 . k 为空间饱和容量, 当物种数量达到饱和容量值时, 种群不再增长 . 种群增长率为