河北省石家庄市高三数学下学期4月一模考试试题 理

河北省石家庄市2018届高三数学下学期4月一模考试试题 理
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ） A ．{1,2} B ．{3,4,5,6,7} C ．{1,3,4,7} D ．{1,4,7}
2.已知i 为虚数单位，(1)2i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi +=（ ） A
． B
．2 D ．4
3.函数()2(0)x
f x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．
12 B ．13 C ．14 D ．23
4.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5. x ，y 满足约束条件：11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．-3
B ．
3
2
C ．3
D ．4 6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）
A ．4?i ≤
B ．4?i ≥
C ．5?i ≤
D ．5?i ≥ 7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以
小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，
一为从隅，开方得积.”（即：S =a b c >>）
，并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）
A ．82平方里
B ．83平方里
C ．84平方里
D ．85平方里 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．83π+
B ．84π+
C ．85π+
D ．86π+ 9.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则
(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）
A ．2
[1,]3- B ．1[1,]3- C ．[1,1]- D ．1[,1]3
10.在ABC ∆中，2AB =，6
C π
=
，则AC 的最大值为（ ）
A B ． C ．．11.过抛物线2
14
y x =
焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线1y =-上，若ABC ∆为正三角形，则其边长为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 12.设xOy ，''x Oy 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox 正方向到'Ox 正方向的角度为θ，那么对于任意的点M ，在xOy 下的坐标为(,)x y ，那么它在''x Oy 坐标系下的坐标(',')x y 可以表示为：'cos sin x x y θθ=+，'cos sin y y x θθ=-.根据以上知识
求得椭圆22
3'''5'10x y y -+-=的离心率为（ ）
A
D
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13.命题p ：01x ∃≥，2
00230x x --<的否定为 ．
14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ． 15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．
16.已知函数31()1x x f x x -+=-，ln ()x
g x x =，若函数(())y f g x a =+有三个不同的零点
1x ，2x ，3x （其中123x x x <<），则1232()()()g x g x g x ++的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22()n n S m m R +=+∈.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足211
(21)log ()
n n n b n a a +=
+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，
222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形
.
（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求二面角A SB C --的余弦值.
19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬
方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.
（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在
2(1)2(
,]1010
n n
-(1,2,3,4,5)n =时，日平均派送量为502n +单. 若将频率视为概率，回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列，数学期望及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.
（参考数据：2
0.60.36=，2
1.4 1.96=，2
2.6 6.76=，2
3.411.56=，2
3.612.96=，
24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）
20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为2，M
为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时，12F MF ∆的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，
2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值.
21.已知函数()()()x
f x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为
(1)10e x ey e -++-=.
（Ⅰ）求a ，b ；
（Ⅱ）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ，且12x x <，证明：21(12)
11m e x x e
--≤+
-.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），
以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
sin()13
π
ρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6
MON π
∠=
，求面积
MON ∆的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数()f x =
R ；
（Ⅰ）求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2
2
2
2
a b c t ++=，求
222
111
123
a b c +++++的最小值.
答案
一、选择题
1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12：BA 二、填空题
13. 2
:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙
15. 2
2,0e e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭
三、解答题 17解：(1) 法一：
由122()n n S m m R +=+∈得122()n n S m m R -=+∈，
当当2n ≥时，12222n
n n n a S S -=-=，即1
2
(2)n n a n -=≥，
又1122
m
a S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=. 法二：
由1
22()n n S m m R +=+∈得123
2;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩，
从而有2213322,4a S S a S S =-==-=， 所以等比数列公比3
2
2a q a =
=，首项11a =，因此通项公式为12n n a -=. （2）由（1）可得1
212log ()log (2
2)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-，
1111
()(21)(21)22121
n b n n n n ∴=
=-+--+，
12111111(1)2335
212121
n n n
T b b b n n n ∴=++
+=-+-+
+
-=
-++. 18.（1）因为//BC 平面SDM ，
BC ⊂平面ABCD ，
平面SDM 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，
因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形， 又CD AB 2=,所以M 为AB 的中点. 因为AB AM λ=，
12
λ∴=
.
（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD
平面ABCD CD =，
在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ， 则SE ⊥平面ABCD ， 在Rt SEA 和Rt SED 中，
因为SA SD =
，所以AE DE ==，
又由题知45EDA ∠=， 所以AE ED ⊥
所以1AE ED SE ===， 以下建系求解.
以点E 为坐标原点，EA 方向为X 轴，EC 方向为Y 轴，ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0)E ，(0,0,1)S ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，
(1,0,1)SA =-，(0,2,0)AB =，(0,2,1)SC =-，(1,0,0)CB =，
设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =，则110
n S A n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以020x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =得
1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量，
同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量，
12121210
cos ,5||||
n n n n n n ⋅<>=
=
⋅，
因为二面角A SB C --为钝角， 所以二面角A SB C --余弦值为5
-
.
19.
解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：
⎩
⎨
⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N)
,55(,140n n n n n y ， （2）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：
所以X 甲的分布列为：
所以()
=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲，
()()()()()222
22
2
=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44
S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，
所以X 乙的分布列为：
所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙，
()()()()222
22
=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64
S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙，
②答案一：
由以上的计算可知，虽然()
()E X
E X <乙甲，但两者相差不大，且2
S 甲远小于2S 乙，即甲
方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：
由以上的计算结果可以看出，()
()E X E X <乙甲，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案. 20解：
（1）设,,2211r MF r MF =
=由题12222
12122241
12
c e a r r a
r r c r r ⎧==⎪
⎪
+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩， 解得1a c =
=，则21b =
，
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x y C x y ， 当直线1AF 的斜率不存在时，设(1,
2A -，则(1,)2
B --，
直线2AF
的方程为1)y x =-代入2
212
x y +=，可得25270x x --= 27
5
x ∴=
，210y =-
7(,510D -
∴直线BD
的斜率为1(10276(1)5
k -
--=
=--，直线OA
的斜率为2
k =
121()626
k k ∴⋅=
⋅-=-， 当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得121
6
k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x
设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由00
22(1)112
y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：
22222
200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=，
又2
2
0012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得
222
0000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，
2
000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000
1000
34(1)13232y x y y x x x --=+=-
+++ 000034(,)2323
x y B x x +∴-
-++，
设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =
--，同理可得00
0034(,)2323
x y D x x ---， ∴直线BD 的斜率为00
000000
122
0000002323434341224362323
y y x x x y x y k x x x x x x +
-+===-+--+
-+，
直线OA 的斜率为0
20
y k x =
， ∴202
0000122
22000011
23636366
x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-
，即121
6
k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫
-=-+-=
⎪⎝⎭
， 又()()1x f x x b e a '=++-，所以1
(1)1b f a e e
'-=
-=-+， 若1
a e
=
，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()
()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=， 设)(x f 在(-1，0)处的切线方程为)(x h ，
易得，
()1()11h x x e ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =-
即()()
()1()1111x
F x x e x e ⎛⎫
=+---+
⎪⎝⎭
，()1()2x F x x e e '=+-，
当2x ≤-时，()11
()20x F x x e e e
'=+-<-< 当2x >-时，
设()1
()()2x G x F x x e e
'==+-
， ()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又(1)0F '-=，
所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故0)1()(=-≥F x F ，
11()()f x h x ≥，
设()h x m =的根为1x '，则111me
x e
'=-+
-， 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤， 设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =， 令()()
()()()11x
T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e '=+-，
当2x ≤-时，()()2220x T x x e '=+-<-<， 当2x >-时，
故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0T '=，
所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>， 所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，
0)0()(=≥T x T ， 22()()f x t x ≥ ，
设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，
又函数()t x 单调递增，故222()()()t x f x t x '=≥，故22x x '≥， 又11x x '≤，
2121(12)1111me m e x x x x m e e -⎛
⎫''-≤-=--+=+ ⎪
--⎝⎭
. 选作题
22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y =+，
曲线C 是圆心为，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；
可知曲线C 的方程为22((1)4x y -+-=，
所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，
即4sin()3
ρθπ
=+.
(2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6
,(2π
θρ+
N ，
（120,0ρρ>>）
6
π
S MON =
∆
.
当12
πθ=
时, 32+≤∆MON S ，
所以△MON
面积的最大值为223. 【解析】
（1）由题意可知32x x m --≥恒成立，令3()2x g x x -=-，
去绝对值可得：36,(3)
()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪
=-=-<<⎨⎪-≤⎩
，
画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-； （2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=， 2222
22222
111
(
)(123)
111
12312315
a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 222222222222
21313239312132315155
b a
c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=
≥=， 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以222
111123a b c +++++的最小值为35
.
答案
一、选择题 （A 卷答案）
1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA （B 卷答案）
1-5BBADC 6-10CCDAD 11-12 AB 二、填空题
13. 2
:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙
15. 2
2,0e e ⎛⎫
-
⎪-⎝⎭
三、解答题(解答题仅提供一种或两种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分） 17解：(1)
法一：
由122()n n S m m R +=+∈得122()n n S m m R -=+∈………………2分
当当2n ≥时，12222n
n n n a S S -=-=，即1
2
(2)n n a n -=≥………………4分
又1122
m
a S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=………………6分 法二：
由1
22()n n S m m R +=+∈得123
2;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩ ………………2分
从而有2213322,4a S S a S S =-==-= ………………4分 所以等比数列公比3
2
2a q a =
=，首项11a =，因此通项公式为12n n a -=………………6分 （2）由（1）可得1
212log ()log (2
2)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-…………………8分
1111
()(21)(21)22121
n b n n n n ∴=
=-+--+………………………10分
12111111(1)2335212121
n n n
T b b b n n n ∴=++
+=-+-+
+-=
-++……………12分
18（1）因为//BC 平面SDM, BC ⊂平面ABCD,
平面SDM 平面ABCD=DM,
所以DM BC // (2)
分
因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形，又， CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。

…………………4分
因为AM λ=
1
2
λ∴=
………………5分
（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD 平面ABCD CD =，
在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ， 则SE ⊥平面ABCD ，………………6分 在Rt SEA 和Rt SED 中， 因为SA SD =
，所以AE DE ==，
又由题知45EDA ∠=， 所以AE ED ⊥ 所以
1AE ED SE ===， (7)
分
以下建系求解。

以点E 为坐标原点，EA 方向为X 轴，EC 方向为Y 轴，ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系，则
(0,0,0)E ，(0,0,1)S ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，
(0,2,0)C ，…………………………………………………………8分
(1,0,1)SA =-，(0,2,0)AB =，(0,2,1)SC =-，(1,0,0)CB =，
设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =，则110
n S A n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以020x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =得
1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量，…………………………………………9分
同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量， ……………10分
12121210
cos ,5||||
n n n n n n ⋅<>=
=⋅，
因为二面角A SB C --为钝角 所以二面角A SB C --
余弦值为5
-
…………………………………………12分
19. 解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：
N ,100∈+=n n y …………………………2分
乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：
⎩
⎨
⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N)
,55(,140n n n n n y ………………………4分
所以X 甲的分布列为：
-----------5分
所以()
=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲----6分
()()()()()222
22
2
=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44
S ⨯-⨯-⨯
-⨯-⨯-甲-------7分
所以X 乙的分布列为：
-----------8分
所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙-----------9分
()()()()222
22
=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64
S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙-------10分
②答案一：
由以上的计算可知，虽然()
()E X E X <乙甲，但两者相差不大，且2
S 甲远小于2
S 乙，即甲
方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案。

--------12分 答案二：
由以上的计算结果可以看出，()
()E X E X <乙甲，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案。

--------12分 20解：
（1）设,,2211r MF r MF ==
由题12222
12122241
12
c e a r r a
r r c r r ⎧==⎪
⎪
+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，--------------------2分
解得1a c =
=，则21b =，
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.-------------------------------------------4分
（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x y C x y ， 当直线1AF
的斜率不存在时，设(1,
2A -，则(1,)2
B --， 直线2AF
的方程为1)y x =-代入2
212
x y +=，可得25270x x --= 27
5
x ∴=
，210y =-
7(,510D -
∴直线BD
的斜率为1(10276(1)5
k -
--=
=--，直线OA
的斜率为2
k =
121()626
k k ∴⋅=
⋅-=-， 当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得121
6
k k ⋅=-.----------------------------5分 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x
设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由00
22(1)112
y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：
22222
200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=，
又2
2
0012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得
222
0000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，
2
000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000
1000
34(1)13232y x y y x x x --=+=-
+++ 000034(,)2323
x y B x x +∴-
-++ 7分
设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得0
0034(,)2323
x y D x x --- ----------------------------9分
∴直线BD 的斜率为00
000000
122
0000002323434341224362323
y y x x x y x y k x x x x x x +
-+===-+--+
-+----------------11分 直线OA 的斜率为0
20
y k x =
， ∴202
0000122
22000011
23636366
x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-
，即121
6
k k ⋅=-. -----------------12分 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫
-=-+-=
⎪⎝⎭
， 又()()1x f x x b e a '=++-，所以1
(1)1b f a e e
'-=
-=-+，…………2分
若1
a e
=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =…………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()
()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，…………5分 设)(x f 在(-1，0)处的切线方程为)(x h ，
易得，
()1()11h x x e ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =-
即()()
()1()1111x
F x x e x e ⎛⎫
=+---+
⎪⎝⎭
，()1()2x F x x e e '=+-，
当2x ≤-时，()11
()20x F x x e e e
'=+-<-< 当2x >-时，
设()1
()()2x G x F x x e e
'==+-
， ()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又(1)0F '-=，
所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故0)1()(=-≥F x F ………… 7分
11()()f x h x ≥
设()h x m =的根为1x '，则111me
x e
'=-+
- 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤，………… 8分 设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x = 令()()
()()()11x
T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e '=+-，
当2x ≤-时，()()2220x T x x e '=+-<-< 当2x >-时，
故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0T '=，
所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>， 所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，
0)0()(=≥T x T ………… 10分 22()()f x t x ≥
设()t x m =的根为2x '，则2x m '=
又函数()t x 单调递增，故222()()()t x f x t x '=≥，故22x x '≥，……… 11分 又11x x '≤，
2121(12)1111me m e x x x x m e e -⎛
⎫''-≤-=--+=+ ⎪
--⎝⎭
………… 12分
选作题
22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y =+，………… 2分
曲线C 是圆心为，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；
可知曲线C 的方程为22((1)4x y -+-=，…………4分
所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，
即4sin()3
ρθπ
=+ …………5分
(2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6
,(2π
θρ+
N ，
（120,0ρρ>>）
6
π
S MON =
∆ …………7分
………………9分
当12
πθ=
时, 32+≤∆MON S
所以△MON 面积的最大值为2………………10分
21 23. 【解析】
（1）由题意可知32x x m --≥恒成立，令3()2x g x x -=-， 去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩
，
………………3分
画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-； ………………5分
（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=，
2222
22222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ ………………7分
22222222222221313239312132315155
b a
c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=………………9分 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以222111123a b c +++++的最小值为35
. ………………10分。