福建省2021届高三数学理一轮复习典型题专项训练圆锥曲线

福建省2021届高三数学一轮复习典型题专项训练
圆锥曲线
一、选择、填空题
1、（2018全国I 卷高考题）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为2
3
的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2、（2017全国I 卷高考题）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线
1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
3、（福州市2018届高三上学期期末）已知双曲线()2222:10,0a x y E a b
b >->=的左、右焦点分别为
12,F F ，点,M N 在E 上，12122
//,5
MN F F MN F F =，线段2F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =，则E 的
离心率为（ ）
A B ． D 4、（泉州市2018届高三1月单科质量检查）已知点(2,1)在双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的渐
近线上，则E 的离心率等于
（A
（C （D 5、（龙岩市2018届高三2月学质量检查）已知抛物线2
4y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线
l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)N ，则M 到直线l 的距离为（ ）
A C D 6、（龙岩市2018届高三4月教学质量检查）已知以圆4)1(:2
2
=+-y x C 的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线2C ：y x 82
=上任意一点，BM 与直线2-=y 垂直，垂足为M ，则||||AB BM -的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．8
7、（宁德市2018届高三第二次（5月）质量检查）已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，P 是
C 上的一点，Q 是C 的准线上一点．若ΔPQF 是边长为2的等边三角形，则该抛物线的方程为
A ．28y x =
B ．26y x =
C ．24y x =
D ．22y x =
8、（莆田市2018届高三下学期第二次质量测试（5月））已知21,F F 分别是双曲线E ：
22
221x y a b
-=)0,0(>>b a 的左、右焦点，若E 上存在一点P 使得b PF =+||21，则E 的离心率的取值范围是 A.),25[
+∞ B.]2
5
,1( C.),5[+∞ D.]5,1( 9、（泉州市2018届高三下学期质量检查（3月））已知点P 是双曲线E ：22221x y a b
-= （0a > ，
0b > ）
与圆2222
x y a b +=+ 的一个交点，若P 到x 轴的距离为a ，则E 的离心率等于（ ） A
．1+
B
D
10、（三明市2018届高三5月质量检查）已知双曲线()22
22:10,0x y a b a b
Γ-=>>的左、右焦点分别
为12,F F ，P 是Γ右支上的一点，Q 是2PF 的延长线上一点，且12QF QF ⊥，若1
3
sin 5
PFQ ∠=，则Γ的离心率的取值范围是______________．
11、（厦门市2018届高三上学期期末质检）直线()1y k x =-与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，若
16
3
AB =
，则k = ． 12、（厦门市2018届高三下学期第一次质量检查（3月））双曲线()22
22:10,0x y C a b
b a ->=>的左焦
点为1F ，过右顶点作x 轴的垂线分別交两渐近线于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则C 的离心率是（ ）
A
．2 D
13、（厦门外国语学校2018
,右
焦点分别为12,F F ,若双曲线上存在点P ,
则该双曲线的离心率e 范围为
（ ）
A. （1
B. （1
C. （1
（1
14、（永春一中等四校2018届高三上学期第一次联考）已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的
左焦点为F ,第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为b
a
，则双曲线C 的渐近线方程为 A.y x =±
B.2y x =±
C.3y x =±
D.4y x =±
15、（漳州市2018届高三1月调研）已知直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，l 与C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )
A.x ＝－1
B.x ＝－2
C.y 2＝4(x ＋1)
D.y 2＝4(x ＋2)
16、（漳州市2018届高三5月质量检查）已知椭圆22
:143
x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭 圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的内切圆半径为
A ．
7 B ．7 C ．7 D ．7
17、（福建省2018届高三4月质量检查）已知抛物线E ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为（ ）
A ．2
y x = B ．2
2y x = C ．2
4y x = D ．2
8y x =
参考答案：
一、选择、填空题
1、D
2、A
3、B
4、B
5、B
6、A
7、D
8、C
9、D 10、(1,2)
11、 12、C 13、A 14、A 15、A 16、C 17、C
二、解答题
1、（2018全国I 卷高考题）设椭圆2
212x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，
点M 的坐标为()20，．
⑴当与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； ⑵设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠．
2、（2017全国I 卷高考题）已知椭圆C ：22
221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，
41P ⎛ ⎝⎭
中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．
3、（福州市2018届高三上学期期末）已知F 为椭圆22:143
x y C +=的右焦点，M 为C 上的任意一点.
（1）求MF 的取值范围；
（2）,P N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为3
4
-，证明:,M N 两点的横
坐标之和为常数.
4、（龙岩市2018届高三2月学质量检查）平面直角坐标系xOy 中，圆22
2150x y x ++-=的圆心为M .已知点(1,0)N ，且T 为圆M 上的动点，线段TN 的中垂线交TM 于点P . （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P 的轨迹为曲线1C ，抛物线2C ：2
2y px =的焦点为N .1l ，2l 是过点N 互相垂直的两条直线，直线1l 与曲线1C 交于A ，C 两点，直线2l 与曲线2C 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.
5、（龙岩市2018届高三4月教学质量检查）椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为
)0,1(),0,1(21F F -，过2F 的直线l 与椭圆交于B A ,两点，若l 的倾斜角为
2
π
时，AB F 1∆是等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）若21|,|||22≤≤=λλB F A F ，求1ABF ∆中AB 边上中线长的取值范围.
6、（宁德市2018届高三第二次（5月）质量检查）已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>的左、右顶点
分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ．
若四边形ADBC 的面积为4，且恰与圆224
:5
O x y +=
相切．
（1）求椭圆M 的方程；
（2） 已知直线l 与圆O 相切，交椭圆M 于点,P Q ，且点,A B 在直线l 的两侧．设APQ ∆的面
积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，求12S S -的取值范围．
7、（莆田市2018届高三下学期第二次质量测试（5月））在平面直角坐标系xOy 中，圆
P F F y x O ),0,3(),0,3(,4:2122-=+为平面内一动点，若以线段2PF 为直径的圆与圆O 相
切.
(1)证明||||21PF PF +为定值,并写出点P 的轨迹方程；
(2)设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过1F 交C 于,A B 两点,过1F 且与l 垂直的直线与C 交于
,M N 两点,求四边形AMBN 面积的取值范围.
8、（泉州市2018届高三下学期质量检查（3月）） 过圆C ：2
2
4x y += 上的点M 作x 轴的垂
线，垂足为N ，点P 满足3
NP NM = .当M 在C 上运动时，记点P 的轨迹为E . （1）求E 的方程；
（2）过点(01)Q ， 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与圆C 交于S ，T 两点，求AB ST ⋅ 的取值范围.
9、（泉州市2018届高三1月单科质量检查）已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点
(,)(0)4
p
A a a >在C 上，3AF =. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）若直线AF 与C 交于另一点B ，求AF
BF
的值.
10、（三明市2018届高三5月质量检查）在平面直角坐标系xOy 中，已知(0),0)M N -，若直线m ⊥MN 于点D ，点C 是直线m 上的一动点，H 是线段CD 的中点，且8NH MC ⋅=，点H 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；
（2）过点(4,0)A -作直线l 交E 于点P ，交y 轴于点Q ，过O 作直线l l '∥，l '交E 于点R ．试判
断2
||||
||AQ AP OR ⋅是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．
11、（厦门市2018届高三上学期期末质检）已知点()12,0F -，圆()
2
22:216F x y -+=，点M
是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程；
（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB '∆面积的最大值.
12、（厦门市2018届高三下学期第一次质量检查（3月））在平面直角坐标系xOy 中，点
()()2,0,6,0A B -，点C 在直线6x =上，过AB 中点D 作DP OC ⊥，交AC 于点P ，设P 的轨迹为曲线Γ.
（1）求Γ的轨迹方程；
（2）过点()
2,3Q 的直线l 与Γ交于,E F 两点，直线0x x =分别与直线,DE DF 交于,S T 两点.线段ST 的中点M 是否在定直线上，若在，求出该直线方程；若不是，说明理由.
13、（厦门外国语学校2018届高三下学期第一次考试）已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线
22:1C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点． （1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；
（2）过点P 作抛物线2C 的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．
14、（永春一中等四校2018届高三上学期第一次联考）已知定点)1,0(F ，动点)1,(-a M （R ∈a ），
线段FM 的中垂线l 与a x =交于点P ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）当PFM ∆为正三角形时，过点P 作直线l 的垂线，交抛物线于P ，Q 两点， 求证：点F 在以线段PQ 为直径的圆内．
15、（漳州市2018届高三1月调研）已知椭圆C ：的一个焦点与抛物线y 2＝43x
的焦点重合，且过点
.过点P (1，0)的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)求△AMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.
16、（漳州市2018届高三5月质量检查）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在曲线
222:430C x y y +-+=外，且对1C 上任意一点P ，P 到直线1y =-的距离等于该点与曲线2C 上
点的距离的最小值．
（1）求动点P 的轨迹1C 的方程；
（2）过点(0,2)A -的直线与曲线1C 交于不同的两点M 、N ，过点M 的直线与曲线1C 交于另一点
Q ，且直线MQ 过点)2,2(B ，求证：直线NQ 过定点．
参考答案： 二、解答题
1、（1）如图所示，将1x =代入椭圆方程得
211
2y +=，得22y =±，∴2
(1,)2
A ±，∴22AM k =±
，∴直线AM 的方程为：2
(2)2
y x =±-.
（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为
(1)y k x =-，
1122(,),(,)A x y B x y ，联立椭圆方程有2
2
(1)
,12
y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩即222
2
(21)4220
k x k x k +-+-=，∴
2
122
421
k x x k +=+，
2122
2221
k x x k -=+，
1212121212[(23()4]
22(2)(2)
AM BM y y k x x x x k k x x x x -+++=
+=----22
22124412(4)21210(2)(2)
k k k k k x x --+++==--，∴
AM BM k k =-，∴OMA OMB ∠=∠.
2、（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P
又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将(
)23011P P ⎛- ⎝⎭
，，代入椭圆方程得 2221
13
1
41b a
b ⎧=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=．
（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，
22112
1A A P A P B y y k k m m m
----+=
+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶ ()()1122A x y B x y ，，，
联立22
440
y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()
222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，2122
44
14b x x k -⋅=
+ 则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()212121
12
x kx b x x kx b x x x +-++-= 222
22
8888144414kb k kb kb k b k --++=-+
()()()
811411k b b b -=
=-+-，又1b ≠
21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．
∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，．
3、解：解法一：（1
）依题意得2,a b =
1c =， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 则22143
M M x y +=，
所以()()222
2231134M M M M MF x y x x =-+=-+-
()2
21124444
M M M x x x =
-+=-， 又因为22M x -≤≤，所以2
19MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，
所以MF 的取值范围为[]1,3.
（2）设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ，
设直线PM PN 、斜率分别为12k k 、，则直线PM 方程为()1P P y y k x x -=-， 由方程组()22
11,43
P P x y y y k x x ⎧+
=⎪⎨⎪-=-⎩
消去y ，得 ()()22
2221
1111348484120P P P P P P k x
k k x y x k x k x y y +--+-+-=，
由根与系数关系可得()112
1834P P M P k k x y x x k -+=
+，
故()211112
2
1184833434P P P P P
M P k k x y k x k y x x x k k ---=
-=++，
同理可得()222
2834P P N P k k x y x x k -+=+，
又123
4
k k ⋅=-，
故()22112
221338844343344P P P P N P x y k k x y k k x x k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪
-⎝⎭⎝⎭+===+⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭1216843P P x k y k ++， 则1216843
P P N P x k y x x k +=
-+2112148334P P P
M k x k y x x k --=-=-+， 从而0N M x x +=.
即M N 、两点的横坐标之和为常数.
解法二：（1
）依题意得2,a b ==
，所1c ，
所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 设C 上的任意一点M
的坐标为()
2cos αα， 则(
))
()2
2
2
2
2cos 1cos 2MF αα
α=-+
=-，
又因为1cos 1α-≤≤，所以2
19MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，
所以MF 的取值范围为[]1,3.
（2）设P M 、两点坐标分别为()(),,,P P M M x y x y ，线段PM PN 、的中点分别为E F 、，点E 的坐标为(),E E x y ，直线PM PN OE 、、的斜率分别为123k k k 、、， 由方程组22
22
1,431,
4
3P P M M x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222234P M P M y y x x -=--， 所以34
P M P M P M P M y y y y x x x x -+⋅=--+，
所以
23
24
P M E P M E y y y x x x -⋅=--，
所以1334k k ⋅=-，
又因为123
4
k k ⋅=-，
所以23k k =， 所以//PN OE ，
所以MN 的中点在OE 上， 同理可证：MN 的中点在OF 上， 所以点O 为线段MN 的中点. 根据椭圆的对称性，
所以M N 、两点的横坐标之和为常数. 4、解：（Ⅰ）∵P 为线段TM 中垂线上一点， ∴PM PN PM PT +=+4TM ==，
∵(1,0)M -，(1,0)N ，∵42MN >=，
∴P 的轨迹是以(1,0)M -，(1,0)N 为焦点，长轴长为4的椭圆，
它的方程为22
143
x y +=. （Ⅱ）∵2
2y px =的焦点为(1,0)，
2C 的方程为24y x =，
当直线1l 斜率不存在时，2l 与2C 只有一个交点，不合题意. 当直线1l 斜率为0时，可求得4AC =，4BD =， ∴1
82
ABCD S AC BD =
⋅⋅=. 当直线1l 斜率存在且不为0时，
方程可设为(1)(0)y k k k =-≠，代入22
143x y +=得 222(34)8k x k x +-24120k +-=，2144(1)0k ∆=+>，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=+，2122
412
34k x x k -=+，
12AC x =
-=22
12(1)34k k +=+.
直线2l 的方程为1
(1)y x k
=-
-与24y x =可联立得22(24)10x k x -++=， 设33(,)B x y ，44(,)D x y ，则2
12244BD x x k =++=+， ∴四边形ABCD 的面积
12
S AC BD =22
2112(1)(44)234k k k +=+⋅+222
24(1)34k k +=+. 令2
34k t +=，则2
3
(3)4
t k t -=
>， 2
324(1)
4()t S t t
-+=
31(2)2t t =++，
∴()S t 在(3,)+∞是增函数，()S(3)8S t >=， 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[8,)+∞.
5、解：（Ⅰ）由已知得：1c =，2
2
1a b -=
，2c =
所以
22a =
220a -=
，解得a b ==椭圆的方程22
132
x y += （Ⅱ）①当直线的斜率为0时，显然不成立．
②设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，
联立222361
x y x my ⎧+=⎨=+⎩得22
(23)440m y my ++-=
则1212
2244
,2323
m y y y y m m --+=
⋅=++ 1ABF ∆中AB 边上的中线长为
1111
2
F A F B +=
=
===令223t m =+则223m t
=-
得
111
2F A F B
+=== 由22F A F B λ=，得1
122
,y y y y λλ=--=
， 22
121222112()1
42223
y y y y m y y y y m λλ+---+=++==
+ 12λ≤≤，22
1
42(3)1
2[0,]232
m t m t λλ-+-==∈+ 11134,
43t t ∴≤≤
≤≤，111
2
F A F B +2]∈
1ABF ∆中AB
边上中线长的取值范围是2]4
6、解法一：（1）根据题意，可得：
1
224,2
112
2a b ab ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即2,ab =⎧⎪=………………………………………………………2分 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩
………………………………………………………4分
∴椭圆M 的方程为2
214
x y +=．………………………………………………………5分
（2）设:l x my n =+，(2,2)n ∈-，直线l 与圆O 相切，得
=，即22
4(1)
5m n +=，………………………………6分 从而[)20,4m ∈.
又1121(2)2S n y y =+-，2121
(2)2
S n y y =--，
∴1212121
(2)(2)2
S S n n y y n y y -=⨯--+⋅-=⋅-.………………………………7分
将直线l 的方程与椭圆方程联立得 222(4)240m y mny n +++-=，
显然0∆>.
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得122
24mn
y y m +=-
+，2
12
244n y y m -=+． (8)
∴12y y -==.
∴12S S n -== 85， 当20m =时，128
5
S S -=；………………………………10分
当2(0,4)m ∈
时，122S S -=
=， (11)
分
且128
5
S S ->.
综上，128,25S S ⎡⎫
-∈⎪⎢⎣⎭
．………………………………12分
解法二：（1）同解法一；
（2）当直线l
的斜率不存在时，由对称性，不妨设:l x =，
此时直线l
与椭圆的交点为，
1218
2)(225
S S ⎡⎤-=
+-=⎢⎥⎣⎦. 直线l 的斜率存在时，设:l y kx b =+，由直线l 与圆O 相切，得
=，即22
4(1)5k b +=. 又点,A B 在直线l 的两侧，
∴(2)(2)0k b k b +-+<，2240b k -<，
∴224(1)405k k +-<，解得12k >或12k <-.
点,A B 分别到直线l 的距离为
1d =
2d 将直线l 的方程与椭圆方程联立得 222(14)8440k x kbx b +++-=，
显然0∆>.
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得122
814kb
x x k +=-+，21224414b x x k -⋅=+．…………………………………7分
∴12PQ x =-=.………………………8分
∴121212S S d d AB -=-
⋅=
b =
b =
=
=
=
2==<，
且128
5
S S ->.
综上，128,25S S ⎡⎫
-∈⎪⎢⎣⎭
．…………………………………………………………………………12分
7、解(1)设2PF 的中点为G ，连接OG PF ,1，
在21F PF ∆中，G O ,分别为221,PF F F 的中点，所以||2
1
||1PF OG =
, 又圆O 与动圆相切，则||212||2PF OG -=，所以||2
1
2||2121
PF PF -=,……1分 即4||||21=+PF PF 为定值，………………………………………………2分
32||4||||2121=>=+F F PF PF ,
所以点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆，……………………………3分
设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ,
则1,3,2===b c a ,所以点P 的轨迹方程为14
22
=+y x .……………4分
(3)(法一)①当直线l 的斜率不存在时，
不妨设11
(),(),M(2,0),(2,0)22
A B N --，则4||,1||==MN AB ，
四边形AMBN 面积2||||2
1
==MN AB S ;
②当直线l 的斜率为0时,同理可得四边形AMBN 面积2=S ;…………5分 ③当直线l 的斜率存在且不为0时,
可设直线l
的方程为(y k x =+设),(),,(2211y x B y x A ,
联立22
(440,y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩
得2222(14)1240k x x k +++-=，……………6分
212122124
,14k x x x x k -+==+ ………………………………………7分
2
122
4(1)
|||
14
k
AB x x
k
+
=-==
+
，
同理
2
2
2
2
1
4[()1)]4(1)
|MN|,
14
4()1
k
k
k
k
-++
==
+
-+
……………………………………8分
四边形AMBN面积
)1
4
)(
4
(
)1
(8
|
||
|
2
1
2
2
2
2
+
+
+
=
⋅
=
k
k
k
MN
AB
S，………………9分
设1
1
2>
=
+t
k，
则()))1,0(
1
(
4
9
9
8
9
9
4
8
3
4
)3
(
8
)(
2
2
2
2
∈
+
+
-
=
-
+
=
-
+
=
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
S，…………10分
所以2
25
32
<
≤S；…………………………………………………………11分
综上所述,四边形AMBN面积的取值范围是]2,
25
32
[.…………………12分
(法二)①当x
AB⊥轴时，不妨设)
2
1
,3
(
),
2
1
,3
(-
-
-B
A，则4
|
|,1
|
|=
=MN
AB，四边形AMBN面积2
|
||
|
2
1
=
=MN
AB
S，
②当y
AB⊥轴时,同理可得四边形AMBN面积2
=
S.………………………5分③当直线AB不垂直坐标轴时,
设AB方程为)0
(3≠
-
=m
my
x，)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A,
联立
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
+
-
=
4
4
3
2
2y
x
my
x
得0
1
3
2
)4
(2
2=
-
-
+my
y
m，………………………6分
,
4
1
,
4
3
2
2
2
1
2
2
1+
-
=
+
=
+
m
y
y
m
m
y
y……………………………………………7分
4
)1
(4
4
)
(
1
|
|
1
|
|
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
+
+
=
-
+
+
=
-
+
=
m
m
y
y
y
y
m
y
y
m
AB，
同理
1
4
)1
(4
4
)
1
(
)]
1
)
1
[(
4
|
MN
|
2
2
2
2
+
+
=
+
-
+
-
=
m
m
m
m，…………………………………8分
四边形AMBN面积
)1
4
)(
4
(
)1
(8
|
||
|
2
1
2
2
2
2
+
+
+
=
⋅
=
m
m
m
MN
AB
S，………………9分
设112>=+t m ，
则()))1,0(1
(4998994834)3(8)(2222∈++-=-+=-+=
t
t t t t t t t t t S ，……………10分 所以
225
32
<≤S ；……………………………………………………………11分 综上所述,四边形AMBN 面积的取值范围是]2,25
32
[.………………………12分
8、解：（1）设M 点坐标()00,x y ，N 点坐标()0,0x ，P 点坐标(),x y ，
由3NP NM =
可得00
=,
,x x y y ⎧⎪⎨=⎪⎩
因为M 在圆C :2
2
4x y +=上运动，
所以点P 的轨迹E 的方程为22143
x y +=． （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =
，此时AB =，4ST =，
所以AB ST ⋅=
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立方程组22114
3y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
，消去y ，整理得()2243880k x kx ++-=，
因为点()0,1Q 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆恒交于两点， 由韦达定理，得122843k x x k -+=+，12
28
43
x x k -=+， 所以
AB =
=
，
2
43k =+， 在圆C :22
4x y +=，圆心()
0,0到直线l 的距离为d =
，
所以ST ==
所以AB ST⎡
⋅=⎣．
又因为当直线l
的斜率不存在时，AB ST
⋅=
所以AB ST
⋅
的取值范围是⎡⎣．
9、解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义，得3
42
p p
AF=+=， ................................................................... 2分解得4
p=， ........................................................................................................................................... 3分所以C的方程为28
y x
=. ....................................................................................................................... 4分（Ⅱ）由（Ⅰ），得(1,)
A a，因为(1,)(0)
A a a>在C上，所以28
a=，
解得a=
a=-（舍去），.................................................................................................. 5分故直线AF
的方程为2)
y x
=--，............................................................................................ 6分
由
2
2),
8,
y x
y x
⎧=--
⎪
⎨
=
⎪⎩
消去y，得2540
x x
-+=， ............................................................................................................... 7分
解得
1
1
x=，
2
4
x=，............................................................................................................................ 8分由抛物线的定义，得426
BF=+=， .............................................................................................. 9分所以
1
2
AF
BF
=. .................................................................................................................................. 10分解法二：（Ⅰ）由题意，可得
2
22
2,
()9,
42
a p
p p
a
⎧=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
............................................................................. 2分
解得
4,
p
a
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
....................................................................................................................................... 3分所以C的方程为28
y x
=. ....................................................................................................................... 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）
，得(1,
A，故直线AF
的方程为2)
y x
=--， ................................... 6分
由
2
2),
8,
y x
y x
⎧=--
⎪
⎨
=
⎪⎩
消去y，得2540
x x
-+=，......................................................................... 7分
由韦达定理，得124x x =，又11x =，所以24x =， ........................................................................ 8分
故129AB x =-=，从而6BF AB AF =-=， ............................................. 9分
所以
1
2
AF BF =. 10分 10、解：（1）设(,)H x y ，由题意得(,2)C x y (0)y ≠，
所以(22,),(2)NH x y MC x y =-=+， …………………………2分
所以2
2
828NH MC x y ⋅=-+=，化简得22
1168
x y +=，
所以所求点H 的轨迹E 的方程为22
1168
x y +=(0)y ≠． ………………………5分
（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =+(0)k ≠， 令0x =，得4y k =，即(0,4)Q k ．
由2
2(4),1,168
y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 解得222488,1212P P k k x y k k -==++，即2
22
488(,)1212k k P k k -++，…8分 因为l l '∥，所以l '的方程为y kx =，
由22,
1,168
y kx x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 解得222221616,1212R R k x y
k k ==++， ……………10分
所以||AQ =||AP =，22
2
16(1)||12k OR k +=+，
所以
2
||||
||
AQ AP OR ⋅＝2． …………………………………………………12分 11、解：（1）由已知得：1NF NM =，所以1
224NF NF MN NF +=+= 又12F F =N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，
所以点N 的轨迹方程是22
142
x y +=. （2）设直线():10AB y kx k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-，
联立直线AB 与椭圆得2224
1
x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，
得()
2212420k x kx ++-=，
∴()2
122
1228140,4,12212k k x x k x x k ⎧∆=+>⎪⎪
-⎪
+=⎨+⎪
-⎪
=⎪+⎩
∴1212AB y y k x x '-=
+，所以直线()12
1112
:y y AB y y x x x x -'-=-+，
所以令0x =，得1221
12
x y x y y x x +=
+，
()()122112
1212
11212x kx x kx kx x x x x x +++=
=+=++，
所以直线AB '过定点()0,2Q ，
所以PAB '∆的面积122
21
212PQB PQA k S S S x x k '∆∆=-=
+=+
21
2
2k k
=
≤
+
，当且仅当2k =±时，等号成立.
所以PAB '∆
. 12、（1）法一：设()(),,6,P x y C n ，因为D 为AB 中点，故点D 的坐标为()2,0； 当0n =时，点P 的坐标为()2,0；当0n ≠时， 由,,A P C 三点共线知，PA CA k k =，即()28
n
y x =+ ① 0OC PD OC PD ⊥⇔⋅=，即()6
2y x n
=-
- ②；
⨯①②得()
22434y x =--，
化简得曲线Γ的轨迹方程为()22
1243
x y x +=≠-.
法二：设(),P m n ，则直线AP 的方程为()22
n
y x m =++，
令6x =，得点C 的坐标为86,2n m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，即86,2n OC m ⎛
⎫= ⎪+⎝⎭
，
又()2,DP m n =-及OC DP ⊥,0OC DP ⋅=.即()2
86202
n m m -+=+，
化简得22
3412m n +=，即22143m n +=，
故曲线Γ的轨迹方程为()22
1243
x y x +=≠-.
（2）法一：由题意知，直线l 的斜率恒大于0，且直线l 不过点A
，其中AQ k = 设直线l
的方程为()
2x ty =+
，则t ⎛⎫
∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 设()()()112200,,,,,E x y F x y M x y ， 直线DE 的方程为()1122y y x x =--，故()10122
S y
y x x =--， 同理()2
0222
T y y x x =
--； 所以()()120001222222
S T y y
y y y x x x x =+=-+---， 即
()
0120122222y y y x x x =+=---
2y y y y +=
③ 联立()
22234120
x ty x y ⎧=+⎪⎨⎪+-
=⎩，化简得(
)()
2222341290t y t y t ++-+
-=，
所以1212y y y y +==
代入③得，(
)00222y x ⨯--
0020y ==+-
所以点M
2012x y ⎛⎫
+-=+= ⎪⎝⎭上.
法二：设()()()112200,,,,,E x y F x y M x y ，
设直线,DE DF 的方程分别为()12122,20x t y x t y t t =+=+≠， 则0012
22
,S T x x y y t t --=
=，
故000012012
22211
22S T x x y y y y t t x t t --=+=
+⇒=+- ①， 联立22134120,2,
x y x t y ⎧+-=⎪
⎨=+⎪⎩得()
221134120t y t y ++=，
所以11211234t y t =-
+，同理，2
2
221234
t y t =-+. 由,,E F Q 三点共线知，
12EQ FQ k k =⇔
=(
))121211220t t y y t y t y ⇔---= 即()()(
)2212
12122222
12121441212034343434t t t t t t t t t t ⎫
---=⎪++++⎭
， (
))221212121440t t t t t t ⇔-+-=(
))()121212121440t t t t t t t t ⇔-++-= ②
又12t t ≠
(
)21212
11
0t t t t t ++=⇔+=
代入①式，得
0002202
y y x =+-=-. 所以点M
2012x y ⎛⎫
+-=+= ⎪⎝⎭上.
法三：设()()()112200,,,,,E x y F x y M x y ，
设直线,DE DF 的方程分别为()12122,20x t y x t y t t =+=+≠， 则00
12
22
,S T x x y y t t --=
=， 故000012012
22211
22S T x x y y y y t t x t t --=+=+⇒=+-
设直线,DE DF 方程的统一形式为()20x ty t =+≠， 直线EF
的方程为(2x n y =+，
联立(2
2x ty x n y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩
，得点,E F
的统—形式为+⎝⎭， 又,E F 均在椭圆2234120x y +-=上，故其坐标满足椭圆的方程，即
2
2
324120⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得(
)
22229120n t t n -++=，
即2
114433430n n n t t ⎛⎫
+⋅+-= ⎪⎝⎭
，
12
11
,t t 为该二次方程的两根，由韦达定理得12113t t +=-，
代入①式，得0
00023322302
y x y x =-⇒+-=-.
所以点M 都在定直线32230123x x y ⎛⎫
+-=+= ⎪⎝⎭
上.
13、（Ⅰ）1C 的方程为24x y = 其准线方程为1y =-．…………4分
（Ⅱ）设22P t t （，）
，()11,A x y ，()22,B x y ， 则切线PA 的方程： ()1112y y x x x -=-，即211122y x x x y =-+，又2111y x =+， 所以1122y x x y =+-，……………………………………………………………6分 同理切线PB 的方程为2222y x x y =+-，
又PA 和PB 都过P 点，所以211222420
{
420
tx y t tx y t -+-=-+-=， 所以直线AB 的方程为2420tx y t -+-=. ………………………………………………8分
联立2242{ 1
y tx t y x =+-=+得22
410
x tx t -+-=，所以122124{ 1x x t x x t +=⋅=-。

所以22212116116124AB t x x t t =+-=++． 点P 到直线AB 的距离222
22
2
826+2116116t t t t d t
t
-+-=
=
++．
所以PAB ∆的面积()()3
222
21231312312
S AB d t t t ==++=+………………10分
所以当0t =时， S 取最小值为2。

即PAB ∆面积的最小值为2.……………12分
14、解法1：（Ⅰ）依题意，
PM PF =，且F 不在直线1-=x 上．…………1分
故动点P 的轨迹Γ为以点)1,0(F 为焦点，直线1-=x 为准线的抛物线．…………2分
故其对应的方程为y x 4:2
=Γ．…………4分
依题意可得：直线FM 的倾斜角︒=∠+︒=15090PMF θ， 故直线FM 的斜率：3
3tan -
==θk . 则直线FM 的方程为：13
3
+-
=x y .…………6分 令1-=y ，可得点)1,32(-M ，故点)3,32(P . 因为直线PQ 与直线l 垂直,并且直线l 的倾斜角为︒60， 所以直线PQ 的倾斜角为︒150，
所以直线PQ 的方程为：)32(3
3
-
3-=-x y ，即0353=-+y x .…………8分 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+y
x y x 403532，消去y ，整理可得：0320432
=-+x x
设),(11y x Q ，由韦达定理可得：-20321=x ，故3
3
10-
1=x .…………9分 所以点)3
25
,3310-
(Q ，又)1,0(F ，)3,32(P . 所以)2,32(=，)3
22
,3310-
(=…………11分 所以03
16-344-20)322,3310-
()2,32(<=+=⋅=⋅FQ FP . 所以PFQ ∠为钝角，故点F 在以线段PQ 为直径的圆内. …………12分 解法2：（Ⅰ）设动点),(y x P ．…………1分 依题意，M F ,中点坐标为)0,2(a ，a k FM 2-
=，故中垂线l 的方程为)2
(2a
x a y -=．…………2分 ），（1-0T 联立)2(2a x a y -=与a x =，可得⎪⎩
⎪⎨⎧==,4,
2a y a x 消去a 可得点P 轨迹方程y x 4:2
=Γ．
……4分
）
，（10F 设），（1-0T ，依题意可得： ︒=︒-︒=∠306090FMT ， 在FMT RT ∆中，已知2FT =， 故32=TM .可得点)1,32(-M ， 又Γ∈P ，并且TM PM ⊥，故点)3,32(P .
因为直线PQ 与直线l 垂直,所以直线PQ 与直线FM 平行，
所以直线PQ 的方程为：)32(3
3
-
3-=-x y ，即0353=-+y x .…………8分 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+y
x y x 403532，消去y ，整理可得：0320432
=-+x x
设),(11y x Q ，由韦达定理可得：-20321=x ，故3
3
10-
1=x .…………9分 所以点)3
25
,3310-
(Q ，又点)3,32(P ， 所以以线段PQ 为直径的圆的方程为：9
364
)317)33422=-++y x （（.…………10分 因为
9
364
9304)3171)334022<=-++（（, 故点F 在以线段PQ 为直径的圆内，若0<a ，由图象的对称性可知也成立. …………12分 15、解：(Ⅰ)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，所以椭圆C 的半焦距c ＝3，即a 2－b 2
＝3. ①
把点Q ⎝⎛⎭⎫－3，12代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得3a 2＋14b
2＝1. ②
由①②解得a 2＝4，b 2
＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.(4分)
(Ⅱ)设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24
＋y 2
＝1，
得(t 2＋4)y 2
＋2ty －3＝0.(5分)
设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2t t 2＋4，y 1y 2＝－3
t 2＋4
.(7分)
则|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝
⎝⎛⎭⎫－2t t 2＋42－4⎝⎛⎭⎫－3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋4＝4t 2＋3t 2＋3＋1＝
4t 2＋3＋1
t 2
＋3
.(9分)
令t 2＋3＝m (m ≥3)．
易知函数y ＝m ＋1
m 在[3，＋∞)上单调递增，
则t 2＋3＋1t 2＋3
≥3＋13＝43
3，
当且仅当m ＝3，即t ＝0时，取等号．(10分)
所以|y 1－y 2|≤ 3.
所以△AMN 的面积S ＝12|AP||y 1－y 2|≤12×3×3＝33
2
，(11分)
所以S m a x ＝33
2
，此时直线l 的方程为x ＝1.(12分)
16、（1）由已知得曲线2C 是以2(0,2)C 为圆心，1为半径的圆． ····································· 1分 设(,)P x y ，则P 到直线1y =-的距离等于1y +， ·····················
····································· 2分 又P 到圆2C 上的点的距离的最小值为21
1PC -=， ··························· 3分
所以由已知可得1y +1=
，化简得28x y =，
所以曲线1C 的方程为2
8x y =． ····························································································· 5分 （2）设点)8
1,(),8
1,(),8
1
,(2
222
112
t t Q t t N t t M ，易得直线NQ MQ ,的斜率均存在，
从而直线MN 的斜率221
12111188()8t t k t t t t -==+-， 所以直线MN 的方程是21211
()()88
y t t t x t -=+-，
即08)(11=--+tt y x t t ， ······································································································ 7分
同理直线MQ 的方程为08)(22=--+tt y x t t ，
直线NQ 的方程为08)(2121=--+t t y x t t ， ··································································· 8分 点)2,0(-在直线MN 上，所以116tt =，即1
16
t t =
， ·························································· 9分 点)2,2(B 在直线MQ 上，222()160t t tt +--=，即01616)16(
21
221=--+t t
t t ， 化简得16)(82121-+=t t t t ， ································································································ 10分 代入直线NQ 的方程得016)(88)(2121=++--+t t y x t t ， 即12()(8)8(2)0+---=t t x y ∴直线NQ 过定点)2,8(． 12分。