巧用奇函数的性质解题

○短文集锦○
巧用奇函数的性质解题
徐　勇
(江苏省连云港市板浦高级中学,222241)
在解题中,有时遇到的函数并不是奇函数,但若仔细观察函数结构特征,会发现与奇函数有着密切的联系,由此切入,思路豁然开朗,常能简化运算,使问题巧妙获解.
例1　函数f (x )=
4x
-1
2
x +1
-2x +1,已知f (m )=2,求f (-m ).
解　令g (x )=f (x )-1,则g (x )=4x
-12
x +1-2x =12
(2x -2-x
)-2x .因为g (-x )=-g (x ),故g (x )为奇函数.由f (m )=g (m )+
1=2,得g (m )=2-1,g (-m )=1-2,故
f (-m )=
g (-m )+1=1-2+1=2-2.
例2　(2008年福建高考题)已知f (x )=
x 5
+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则f (-a )
的值为( )
(A )3　(B )0　(C )-1　(D )-2
解　令g (x )=x 5
+sin x,易知g (x )为奇函数,且f (x )=g (x )+1,由f (a )=2,得
g (a )=1,由g (x )为奇函数,得g (-a )=
x 2
2a
2
+
y 2
2b
2
=1.⑧
1
a
2
×⑤+
1
b
2
×⑥,结合⑦⑧与
m x 0a
2
+
ny 0b
2
=1,得
　(λ-λ′
)x 1x 2a 2
+y 1y 2b
2
-1=0.⑨
因为
x 1x 2a
2
+
y 1y 2
b
2
-1≠0(否则点A 、B 在椭
圆的一条切线上),所以λ-λ′=0,所以
A P ・Q
B +PB ・AQ =0.
至此性质1得证.仿上可得:
性质2　设双曲线C:x 2
a 2-y
2
b 2=1(a >0,
b >0)(或双曲线y 2
a 2-x
2
b
2=1(a >0,b >0)).
(1)若过不在双曲线C 上的定点P (m ,n ),作直线交双曲线C 于A,B 两点,又在该直
线上另有异于P,A,B 的一点Q 满足A ・QB +
PB ・AQ =0,则点Q 在定直线m x a 2-ny
b
2=1(或ny a 2-m x
b
2
=1)上.(2)若过不在双曲线C 上的定点P (m ,
n ),作直线交双曲线C 于A,B 两点及定直线m x a 2-ny b 2
=1(或ny a 2-m x
b
2=1)于点Q,则A ・QB +PB ・=0.
性质3　若抛物线C:y 2
=2px (p >0)(或
x 2
=2py (p >0)).
(1)若过不在抛物线C 上的定点P (m ,
n ),作直线交抛物线C 于A,B 两点,又在该直
线上另有异于P,A,B 的一点Q 满足A P ・QB +
PB ・AQ =0,则点Q 在定直线ny =p (x +m )(或m x =p (y +n ))上.
(2)若过不在抛物线C 上的定点P (m ,n ),作直线交椭圆C 于A,B 两点,交定直线ny =p (x +m )(或m x =p (y +n ))于点Q,则
A ・Q
B +PB ・=0.
・
44・高中数学教与学 2010年
-1,故f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0,选B.
评注　例1的常规思路是先求出m,再代入求f(-m),思路虽自然但计算繁琐.例2中根本就无法求出参数a,联想函数性质,发现函数f(x)“部分”具有奇偶性,运用奇函数性质,回避了求m与a的困难,巧算而使问题简捷获解.
例3　已知a>0,设函数f(x)=
2010x+1+2008
2010x+1
+sin x(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,则M+N=.
解　f(x)可变形为
f(x)=2010+
-2
2010x+1
+sin x
=2009+2010x-1
2010x+1
+sin x.
令g(x)=2010x-1
2010x+1
+sin x,则f(x)=
2009+g(x).由g(-x)=-g(x)知g(x)是奇函数.设g(x)在x∈[-a,a]的最大值与最小值分别为M′与N′,则M′+N′=0.因为f(x)=2009+g(x),所以M+N=2009+M′+2009+N′=2×2009=4018.
评注　本题若直接求f(x)的最值,会碰到困难受阻.由定义域x∈[-a,a]及sin x可联想到奇函数,奇函数在对称区间上的最值刚好互为相反数,即和为0.巧妙利用此性质,避免直接求最值而将问题解决.
例4　已知函数f(x)=x-1+
2
x-1
,是
否存在实数m,k,使得f(x)+f(m-x)=k对于定义域内的任意x都成立.
解　令g(x)=f(x+1),则g(x)=x+ 2
x
,此时y=g(x)是奇函数,g(-x)+g(x) =0.由g(x)=f(x+1),可得
f(-x+1)+f(x+1)=0,
再用x-1替换上式中的x,得
f(-x+2)+f(x)=0.
故存在实数m=2,k=0,使得f(x)+f(m -x)=k对于定义域内的任意x都成立.
例5　(2009年全国高考题)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( )
(A)f(x)是偶函数
(B)f(x)是奇函数
(C)f(x)=f(x+2)
(D)f(x+3)是奇函数
解　因为f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,所以函数f(x)关于点(-1,0)与(1,0)对称,其周期为T=2[1-(-1)]=4,而f(x+ 3)=f[(x+4)-1]=f(x-1),又f(x-1)是奇函数,故f(x+3)也是奇函数,选D.
评注　由奇函数的对称中心为坐标原点,由图象平移知识得函数图象的对称中心,进而由双对称中心可得函数的周期,具有周期的奇函数,左(右)平移周期整数倍个单位仍是一个奇函数.
例6　已知函数f(x)=1
4-2x
的图象关于点P对称,则点P的坐标是( )
(A)2,1
2
(B)2,1
4
(C)2,1
8
(D)(0,0)
解　f(x+2)=1
4-2x+2
=
1
4(1-2x)
=
2
8(1-2x)
=
1
8
1+
1+2x
1-2x
=
1
8
+
1
8
・
1+2x
1-2x
.
令g(x)=
1
8
・
1+2x
1-2x
,则g(x)为奇函数,
图象关于原点对称.又f(x+2)=g(x)+1
8
, f(x)=g(x-2)+
1
8
,其图象可由g(x)图象向右平移2个单位,再向上平移
1
8
个单位得
到,故对称中心为2,1
8
,故选C.
评注　本题可由选项验证,但略显繁琐.若能联想到奇函数图象关于原点对称,由此启发,便知函数f(x)图象可由一个奇函数经过平移变换得到,那么其对称中心便可顺利求出.
・
5
4
・
第3期 高中数学教与学。