拟阵下的覆盖模糊粗糙集

拟阵下的覆盖模糊粗糙集
李凯;祝峰;陈文;汤建国;佘堃
【摘要】拟阵是一种图和矩阵的同时推广的概念,而覆盖粗糙集是经典粗糙集的推广.利用拟阵理论研究覆盖模糊粗糙集,从而将两者进行了融合,提出了拟阵覆盖模糊粗糙集的概念,定义了拟阵覆盖近似空间的上下近似.分析了拟阵覆盖模糊粗糙集的相关性质,定义了拟阵覆盖粗糙集下的粗糙度,并通过它来衡量不确定程度,这也进一步推广了粗糙度.
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2010(046)032
【总页数】5页(P29-32,39)
【关键词】粗糙集;模糊集;覆盖;拟阵;粗糙度
【作者】李凯;祝峰;陈文;汤建国;佘堃
【作者单位】电子科技大学,计算机科学与工程学院,成都,610054;电子科技大学,计算机科学与工程学院,成都,610054;电子科技大学,计算机科学与工程学院,成
都,610054;福州职业技术学院,计算机系,福州,350108;电子科技大学,计算机科学与工程学院,成都,610054;电子科技大学,计算机科学与工程学院,成都,610054
【正文语种】中文
【中图分类】TP18
1 引言
随着信息技术的不断发展和普及，各个领域的数据也在以惊人的速度积累。

许多有用的数据都隐藏在这些信息里面，从表面上来看，人们很难获得。

为了从这些数据里面挖掘出有用的信息，许多研究学者提出了有用的方法，粗糙集理论就是其中之一。

粗糙集最初由Pawlak提出[1]，它通过不可分明关系对信息进行分类，进而
来处理不精确、不确定与不完全数据。

它在人工智能、数据挖掘和知识发现等领域得到了广泛的应用。

实践证明，这是一种非常有效的方法，因此越来越受到国际学术界的重视。

而模糊集理论是由美国计算机与控制论专家Zadeh于1965年提出
的刻画模糊现象和模糊概念的数学理论[2]。

它对描述与仿效人的思维有较好的效果，还可以总结和反映人的体会与经验，把模糊控制、模糊识别、模糊推理、模糊决策等方法运用到复杂事物和系统中。

但是，Pawlak粗糙集模型中的经典集合都是精确的，而人们在生活中涉及到许多模糊的、不确定的问题，这两种理论之间有着密切的关系和很强的互补性。

于是，Nanda等于1992年给出模糊粗糙集概念
这一模型[3]，将经典粗糙集合扩展到模糊粗糙集，把两者进行融合，利用各自的
优点，对信息处理更加高效。

本文基于覆盖的模糊粗糙集理论，引入了拟阵，并提出了拟阵覆盖近似空间的定义，同时讨论在这种情况下，对基于覆盖的拟阵模糊粗糙集合进行上、下近似模糊粗集的计算问题，将覆盖的模糊粗糙集研究扩展到拟阵领域。

2 背景知识
本章主要论述的是一些基本知识和概念，如Pawlak粗糙集、覆盖、模糊粗糙集、拟阵。

2.1 Pawlak粗糙集和覆盖的基本概念
定义1设U是经典集合，R是U上的等价类划分。

关系R形成U上的一个划分
U/R={Y1，Y2，...，Yn}，其中 Y1，Y2，...，Yn是由关系R形成的等价类。

∀X⊆U,X的上下近似分别定义如下：
R*(X)=∪{Yi∈U/R|Yi∩X≠Φ}则＜U，R＞为Pawlak近似空间。

定义2设U是一个有限且非空的论域，C⊆U,如果C非空且∪C=U，则C是U上的一个覆盖。

定义3若U是一个非空集，C是U上的一个覆盖，称有序对＜U，C＞为覆盖近似空间。

2.2 模糊粗糙集
Pawlak粗糙集是在经典集合的基础上，通过等价类来定义的，但实际生活中，人们涉及的知识或概念是模糊的，这样就产生了模糊粗糙集。

模糊粗糙集是以隶属函数来定义的。

定义4设＜U，R＞为Pawlak近似空间，即R是论域U上的一个等价关系。

若A 是U上的一个模糊集合，则A关于＜U，R＞的一对下近似-AR和上近似-AR定义为U上的一对模糊集合，其隶属函数分别定义为：
其中[x]R为元素x在关系R下的等价类。

若-AR=-AR，则A是可定义的，否则称A是模糊粗糙集（Fuzzy rough set）。

称-AR是A关于＜U，R＞的正域，称 --AR是A关于＜U，R＞的负域，称-AR--AR为A的边界域。

定义5设＜U，R＞为Pawlak近似空间，A是U上的模糊集合，则A关于近似空间＜U，R＞依参数0＜β≤α≤1的下近似-Aα和上近似-Aβ分别定义为：
定义 6 设＜U，R＞为近似空间，A∈F(U)，对于0＜β≤α≤1，定义A在近似＜U，R＞中关于参数α、β的粗糙度如下：约定当=Φ 时，=0。

|X|表示X的基数。

2.3 拟阵的相关知识
以下引入了将要在文中使用的拟阵理论的一些基本概念。

定义7[4]设E是一个非空集合，Α⊆2E是E中子集的一个集族，定义
定义8[4]（独立集公理）一个拟阵（matroid）M是一个有序对（E，I），其中E 是一个有限集合，I⊆2E是E中子集的集合，它们满足以下公理：
(I1)Φ ∈ I。

(I2)若Α∈I，及A′⊆A，则A′∈I。

(I3)若I1，I2∈ I且|I1|＜ |I2|，则存在e∈ I2-I1使得I1∪{e}∈ I。

集合I中的元素称为拟阵M的独立集（independent set），拟阵M通常记为
M=M（E，I）。

若A是论域U上的一个n×m矩阵，又A的列向量的标号集合为U=U（A）。

定义I⊆2U为这样一个集合：X∈I当且仅当由X所标记的列向量在向量空间V（n，U）中线性无关。

那么（U，I）是一个拟阵。

定义9[4]设M（E，I）是个拟阵，X⊆E。

令IX={I′⊆X:I′∈I}，则(X，IX)是个拟阵，记为M|X（这个拟阵称为M在X上的限制）。

定义10[4]（极小圈）设 M（E，I）是个拟阵。

若子集X∈Opp(I)=2E-I，则X称为M的一个相关集（dependent set）。

极小的相关集叫做极小圈（circuit）。

令C（M）表示由拟阵M的全体极小圈组成的集合，则有C（M）=Min（Opp （I））。

由线性代数的知识，称拟阵M中的极大独立子集为M的基（base），记B（M）为M中全体基的集合。

则B（M）=Max（I）。

设U是论域，V=V（n，U）是个线性空间。

C是U上的一个覆盖。

K∈C，对任
意的x∈U ，若r(K∪{x})=r(K)，则K是U的一个最大无关组。

命题1[4]设M（E，I）是个拟阵，令B=B（M），则B有如下性质：
（B1）B至少包含有一个元素（即M至少有一个基）。

（B2）若 B1，B2∈B 且x∈B1-B2，则必有y∈B2-B1使得(B1-x)∪{y}∈B。

定义11[4]设M（E，I）是个拟阵，X⊆E是个子集，∀e∈E，若r M(X∪{e})=r
M(X)，则称e依赖于 X(e dependson X)，并记e～M X,简记为e～X。

全体E中依赖于X的元素构成的子集称为X在M中的闭包(closure)，记作
cl M(X)={e∈E:r(X)=r(X∪{e})}
若子集满足 X=cl M(X)，则称X为M的闭集（closed set）。

在不强调拟阵M时，简记为cl(X)。

因X的cl M(X)是唯一确定的，可以定义闭包算子（closure operator）cl M:2E
→2E 。

命题2[4]设M（E，I）是个拟阵，cl M是M的闭包算子，则cl M的性质有：（CL1）对任意子集 X⊆E，均有 X⊆cl M(X)。

（CL2）诺 X⊆Y⊆E，则cl M(X)⊆cl M(Y)。

（CL3）对任意子集 X⊆E，均有cl M(cl M(X))=cl M(X)。

（CL4）设 x，y∈E ，若y∈cl M(X∪x)-cl M(X)，则y∈cl M(X∪y)。

命题3[4]设X⊆E是个子集，则下列性质成立：
（1）对任意x∈E，cl M(X∪x)=cl M(X)当且仅当x∈cl M(X)。

（2）cl M(X)=X∪{e∈E：存在C∈C(M)，满足e∈C⊆X∪{e}}。

命题4[4]设X⊆E是个子集。

若BX∈B(M|X)，则cl M(BX)=cl(X)。

3 拟阵下的覆盖模糊粗糙集
覆盖粗糙集中涉及到论域U和覆盖C，如果把覆盖C理解成拟阵中的向量，则覆
盖粗糙集和拟阵就有了相似之处。

这样，可以将拟阵的相关理论运用到覆盖粗糙集中，并与模糊集相结合，这便是拟阵下的覆盖模糊粗糙集，以下就是它的一些定义
和相关的性质。

3.1 覆盖模糊粗糙集的基本定义
定义12设＜U，C＞是覆盖近似空间，即∪C=U。

A͂是U上的Fuzzy集。

在拟
阵M(U，2U)下的闭包算子cl M:2U→2U,定义
A是由A͂中元素组成的集合，则 -R(A͂)和Rˉ(A͂)分别称为 Fuzzy集A关于拟
阵覆盖近似空间M(U，2U)的下近似和上近似（在没有特殊说明时，以下都是在拟阵下讨论的）。

模糊集合BnC=-RC(A͂)--RC(A͂)称为模糊集合A͂的关于拟阵覆盖C的边界域；PosC(A͂)=--RC(A͂)称为A͂的C正域，NegC(A͂)=1--RC(A͂)称为A͂的 C
负域。

由于 U=A͂∪-A͂不一定成立，则-R(A͂)=PosC(A͂)∪ BnC(A͂)不一定成立。

如果∀x∈ U，-RC(A͂)(x)=-RC(A͂)(x)，则称模糊集合A͂是可定义的，否则称
A͂是拟阵覆盖模糊粗糙集。

若A是闭集，则A͂是可定义的。

当A͂是经典集合时，-RC(A͂)(x)=1 ，并且 -RC(A͂)(x)=1 当且仅当
cl(A)=cl(A∪{y})。

例1设
3.2 覆盖模糊粗糙集的性质
命题5 如果C是U的一个划分，则 -RC(A͂)、-RC(A͂)下上近似就是A͂的模糊
粗糙集。

命题 6 由定义 4 给出的下近似 -RC(A͂)和上近似RˉC(A͂)满足下列（对偶）性质：
证明只证（5L）、（5H）、（8L）、（8H），其他略。

设A͂的闭包为 cl M(A)，Fuzzy集A͂对应的下近似为 -RC(A͂)，由闭包cl M
的性质（CL3）有：对任意子集A⊆U,均有cl M(cl M(A))=cl M(A)。

即不存在
y∈U且y∉cl(A)使cl(cl(A))=cl(cl(A)∪{y})。

从而由定义 8 可知 -RC(-
RC(A͂))(x)=-RC(A͂)(x)。

所以 -RC(-RC(A͂))=-RC(A͂)，同理 -RC(-RC(A͂))=-RC(A͂)。

结论成立。

另证（8L）、（8H）。

直接由性质（5L）可得 -RC(--RC(A͂))=--RC(A͂)。

从而（8L）得证。

同理可证（8H）。

从下列例子中可有命题7。

命题7以下属性通常不成立。

例2 设
（4L）和（4H）令
（6L）和（6H）令，则
（7L）和（7H）令，则不成立。

若A͂=。

则。

也不成立。

（9L）和（9H）令,则X∈C,而
命题8 设覆盖空间＜U，C＞，X͂,Y͂∈F͂(U)，X、Y分别由X͂、Y͂的元素组成的普通集合，有
（1）若X ⊆ Y且r(X)=r(Y)，则-RC(X͂)⊆ -RC(Y͂)。

（2）若X、Y为闭集，则 -RC(X͂∩Y͂)⊆ -RC(X͂)∩ -RC(Y͂),-RC(X͂)∪-
RC(Y͂)⊆ -RC(X͂∪ Y͂)。

（3）若X ⊆ cl(Y)⊆ cl(X)，则-RC(cl(Y))⊆ -RC(cl(X))，-RC(cl(X))⊆-RC(cl(Y))。

证明（1）设BX∈B(M|X)。

由于 X⊆Y且r(X)=r(Y)，则有BX∈B(M|Y)。

由命题5可知cl(X)=cl(BX)=cl(Y)。

从而有LC(X͂)⊆ LC(Y͂)。

（2）由于X、Y都是闭集，则有 cl(X)=X，cl(Y)=Y ，从而-RC(X͂)=X͂,-
RC(Y͂)=Y͂。

那么 -RC(X͂)∩ -RC(Y)=X͂∩ Y͂。

由命题7可知 -RC(X͂∩ Y͂)⊆
X͂∩Y͂。

从而 -RC(X͂∩ Y͂)⊆ -RC(X͂)∩ -RC(Y͂)。

同理可证 -RC(X͂)∪ -
RC(Y͂)⊆ -RC(X͂∪ Y͂)。

（3）若 X⊆cl(Y)⊆cl(X)则有cl(Y)⊆cl(X)，又 X⊆cl(Y)，由命题3的（CL2）有
cl(X)⊆cl(cl(Y))，再由（CL3）可得cl(X)⊆cl(Y)，从而 cl(X)=cl(Y)，再由（1）可
知 -RC(cl(Y))⊆-RC(cl(X))，同理可得-RC(cl(X))⊆-RC(cl(Y))。

4 拟阵覆盖模糊粗相等
诸多学者也提出了模糊粗糙集的粗相等的相应定义，如下就是：
定义13设＜U，R＞为Pawlak近似空间，对于U上的模糊子集 X、Y，若 -
R(X)=-R(Y)，称 X与 Y 下粗相等，记作 X-～Y ；若-R(X)=-R(Y)，称X与Y上粗
相等，记作 X-～Y ；若X与Y既下粗相等又上粗相等，称X与Y粗相等，记作
X≈Y。

那么拟阵下的覆盖模糊粗糙集也可采用上述相似的定义，以及是否也具有原来的性质，又有哪些相似和不同呢?这就是下面要讨论的问题。

定义14（拟阵下的覆盖模糊粗相等）设（U，C）是拟阵覆盖近似空间，
∀A͂,B͂∈ F͂(U),若 -RC(A͂)=-RC(B͂)，则称模糊集合A͂和B͂为覆盖模糊粗
下相等，记为A͂-～C B͂；若 -RC(A͂)=-RC(B͂)，则称模糊集合A͂和B͂为覆
盖模糊粗上相等，记为A͂-～C B͂；若-RC(A͂)=-RC(B͂)∧ -RC(A͂)=-RC(B͂)，则称模糊集合A͂和B͂为覆盖模糊粗相等，记为A͂≈CB͂。

显然，对于论域U上的覆盖C，-～C、-～C、≈C都可导出模糊关系F（U）上的覆盖关系，正如粗糙集中的粗相等、模糊粗糙集中的粗下相等、模糊粗上相等、模糊粗相等都是指定在某个特定知识（等价关系）R意义下的相等。

以下就是拟阵下的覆盖模糊粗相等的一些性质。

命题9 设一个覆盖近似空间＜U，C＞，X͂,Y͂,A͂,B͂∈ F͂(U)，则有下列性质成立：
（5）若X͂⊆Y͂且Φ，则Φ ；
（6）若X͂⊆Y͂且U，则U ；
（7）若Φ或Φ，则X͂∩Φ ；
（8）若U或U，则X͂∪U ；
（9）Φ⇔X͂=Φ ；
（10）U ⇔X͂=U 。

证明由定义可直接证明。

命题10下列性质通常不成立：
（1）Y͂⇔X͂∩ X͂且X͂∩ Y͂；
（2）Y͂⇔X͂且Y͂；
（3）若A͂且B͂，则A͂∪ B͂；
（4）若A͂且B͂，则X͂∩A͂∩ B͂。

由定义给出的拟阵下的模糊粗糙集的下近似和上近似是论域U上的一对模糊集合，如果希望将模糊集合A͂用覆盖近似空间＜U，C＞中经典集合来表示，则要借助
于模糊集合中的截集来过渡。

5 拟阵覆盖模糊粗糙集的近似精度和粗糙度
定义15设＜U，C＞为拟阵覆盖近似空间，A͂是U上的Fuzzy集，则A͂关`-*
于近似空间＜U，C＞依参数0＜β≤α≤1的下近似(A͂)和上近似(A͂)分别定义为：
其中，(A͂)则可认为U中肯定属于模糊集合A͂的隶属程度不小于α的对象的全体，-Rβ C(A͂)可认为U中可能属于模糊集合A͂的隶属程度不小于β的对象的全体。

于是
当A͂是普通集合时，对∀α，β∈(0，1]，(A͂)和(A͂)分别退
化为在覆盖下的关于近似空间＜U，C＞的闭包。

命题11设＜U，C＞为拟阵覆盖近似空间，A͂是U上的Fuzzy集，对于0＜
β≤α≤1有
（1）(A͂)⊆ (A͂)；
（2）(-cl(A͂))=-(cl(A͂)),(-cl(A͂))=-(cl(A͂))；
（3）或X、Y为闭集，则(X͂∩Y͂)⊆(X͂)∩(Y͂),(X͂)∪(Y͂)⊆ (X͂∪ Y͂)；
（4）若 X ⊆ cl(Y)⊆ cl(X)，则(cl(Y))⊆(cl(X))(cl(X))⊆(cl(Y))。

证明（1）（2）由定义和命题7可直接得出。

（3）（4）可由定义和命题9得出。

定义16设＜U，C＞为覆盖近似空间。

A͂是U上的Fuzzy集，称A͂关于＜U，C＞上的近似精度和粗糙度为：
ρA͂(A͂)=1- αC(A͂)
显然，0≤ αC(A͂),ρA͂(A͂)≤1，当 -RC(A͂)=Φ 时，规定ρA͂=0 ；若A是闭集，则αC(A͂)=1，ρA͂(A͂)=0 。

定义17设＜U，C＞为覆盖近似空间。

A͂是U上的Fuzzy集，对于0＜β≤α≤1，称定义A͂在近似覆盖空间＜U，C＞上的关于参数α、β的粗糙度为：
规定当(A͂)=Φ 时，(A͂)=0。

命题12（1）0≤(A͂)≤ 1 ；
（2）若固定参数β ，则(A͂)|随α 的增加而减少，从而(A͂)随α 的增加而增加；若参数α 固定，则随β 增加而减少，从而 (A͂)随β 增加而减少。

命题13（1）在＜U，C＞中，若对任意的覆盖集K∈C，都存在x∈K 使得A（x）＜α ，则(A͂)=Φ ，从而 (A͂)=1 。

（2）若模糊集合A在给定的覆盖近似空间＜U，C＞的每个覆盖集中的隶属函数
都是常数，则对任意的α∈(0，1]都有(A͂)=(A͂)。

从而 (A͂)=0 。

证明由定义可直接得出。

命题14若模糊集A͂的隶属函数恒为常数，即存在δ＞0，使∀x∈U，有=δ，则（1）当 0＜β＜δ＜α≤1时，有(A͂)=1 ；
（2）对于0＜β≤α≤1时，δ的其他情形，有(A͂)=0 。

证明（1）当0＜β＜δ＜α≤1时，显然有(A͂)=Φ，(A͂)=A，所以(A͂)=1 ；（2）对于0＜β≤α≤1有两种情形：当δ＜β≤α时，则(A͂)=(A͂)= Φ ，由定义
12的规定有(A͂)=0。

当β≤α＜δ时，有(A͂)=(A͂)=A ，根据定义有 (A͂)=0 。

6 结束语
拟阵是一种图和矩阵的推广，它主要研究的是幂集的抽象相关关系。

覆盖模糊粗糙集主要处理一些模糊的、不确定的知识和概念。

本文将拟阵和模糊粗糙集加以融合，提出了拟阵覆盖的模糊粗糙集，讨论了拟阵覆盖的模糊粗糙集的上、下近似的性质，并与原来的覆盖粗糙集的一些性质对比，从中找出区别来，此外拟阵覆盖模糊粗相等和拟阵覆盖粗糙集的粗糙度，这也将是图和矩阵的进一步推广，从而对其应用领域进行扩充。

对于其应用领域的研究是下一个值得研究的方向。

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