(优辅资源)山西省太原市第五中学高三上学期10月月考试题数学(理)Word版含答案(1)

太原五中2017-2018学年度第一学期阶段性检测
高 三 数 学
出题人、校对人：王文杰、李廷秀、闫晓婷（2017.10）
一、选择题（共12小题，每题5分）
1.已知集合{
}7,5,3,1=A ，{}
A x x y y
B ∈-==,12，则=⋂B A （ ） A ．{
}1 B.{}3 C.{}3,1 D.φ 2.命题p ：R x ∈∃，使0)2
1
(<x ；命题q ：2>a ，2>b 是4>ab 成立的充分条件，则下列命题为假命题的是（ ）
A. q p ∧⌝
B. q p ∧
C. q p ∨
D. q p ∨⌝ 3.由曲线x y x y cos ,sin ==和直线π==x x ,0所围成的平面图形的面积，用定积分表示为（ ） A ．
⎰-π
)sin (cos dx x x B. ⎰-40
)sin (cos π
dx x x +⎰-π
π4
)cos (sin dx x x
C.
(sin cos )x x dx π
-⎰
D. ⎰-40
)cos (sin π
dx x x +⎰-π
π4
)sin (cos dx x x
4.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时为减函数，且0)2(=f ，则
=>-}0)2({x f x （ ）
A. ),4()2,0(+∞⋃
B. ),4()0,(+∞⋃-∞
C. ),2()2,0(+∞⋃
D. )4,2()0,(⋃-∞ 5.已知函数1
ln 2
)(--=
x x x f ，则)(x f y =的图象大致为（ ）
A. B.
C. D. 6.已知函数1)sin()(++=ϕωx x f 0(>ω，)2
0π
ϕ≤
≤的图象相邻两条对称轴之间的
距离为π，且在3π=x 时取得最大值2，若58)(=αf ，且653π
απ<<，则
=+)32sin(π
α（ ）
A. 2512
B. 2512-
C. 2524
D. 25
24-
7.已知2,1
()(4)2,12
x ax x f x a
x x ⎧->⎪
=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） A.(,2]-∞- B.[2,8) C. (,8)-∞ D. (,10]-∞-
8.已知函数()2,0
1,0
x
e x
f x x ax x ⎧≤⎪=⎨++>⎪⎩，()()1F x f x x =--，且函数()F x 有2个
零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (],0-∞
B. [)1,+∞
C. ()0,+∞
D. )1,(-∞
9.定义在R 上的函数)(x f 满足：(1))()(x f x f -=-，(2))()2(x f x f =+，(3)]1,0[∈x
时，)1(log )(2
4
3+-=x x x f ，则函数x x f y 3log )(-=的零点个数是
（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
10.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，1()(1)2
n n n n S a +=-，*N n ∈，则该数列前9 项和9S = （ ） A.1012-
B.921-
C.921
D. 102
1
11.已知,,A B C 是直线l 上的不同三点，点O 不在l 上，则关于x 的方程
22=++x x 的解集为（ ）
A.10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
B.11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭
C.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
D. {}0 12.设定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且x
x f x x f )
(2)(->'，则下面 结论正确的是（ ） A.3(sin )(cos )33f f ππ≤ B.3(sin )(cos )33f f ππ
< C.3(sin
)(cos )33f f π
π
≥ D.3(sin )(cos )33
f f π
π
> 二、填空题（共4小题，每题5分） 13.不等式2320x x -+>的解集是 .
14.已知正数,a b 满足2ab a b =+，则a b +的最小值为 .
15.函数2()2f x x =
在区间[0,1]上的值域为 .
16.已知函数221
()2(1)4,()(1)f x x a x a g x a x
=+--=-+，则()f x 和()g x 图象的公切线条数的可能值是 .
三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(12分)已知向量(cos ,0),(0,3sin )a x b x ==，函数2
()()3sin 2f x a b x =++
（1）求函数()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合； （2）求()f x 的单调递增区间.
18.（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d . （1）已知1315
,,222
n n d a S =
==-，求1a 和n . （2）设1m >且满足2
11210,30m m m m a a a S -+--+==，求m 的值.
19.（12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2A C =. （1
）若a =，求角C 的大小；
（2）若,,,C B A c b a <<是三个连续的正整数，求ABC ∆的面积.
20.（12分）已知函数121)(-++=x x x f （1）求关于x 的不等式()2f x <的解集； （2）R x ∈∀，00>∃x ，使得0
0)(x a
x x f +≥)0(>a 成立，求实数a 的取值范围．
21.（10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数）,在极
坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρsin 52=． （1）求圆C 的圆心到直线l 的距离；
（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为3(，)5，求PB
PA 1
1+
．
22.（12分）已知函数2
()ln(1)ln 2f x ax x ax =+-+-（a 是常数，0a >）. （1）求证：02a <≤时，()f x 在1[,)2
+∞上是增函数；
（2）若对于任意的(1,2)a ∈，总存在01[,1]2
x ∈，使不等式2
0()(1)f x m a >-成立，求
实数m 的取值范围.
太原五中2017-2018学年度第一学期阶段性检测答案
高三数学（理）
命题、校对：王文杰、李廷秀、闫晓婷（2017. 10）
一、选择题(每小题5分，共60分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. (,2)(1,1)(2,)-∞-⋃-⋃+∞ 14.
3+ 15. 3[1,]8
- 16.1,2,3 解析：
()22(1),f x x a '=+-设公切线与()f x 相切于2(,2(1)4),A m m a m a +--则切线方程
为
2[2(1)4][22(1)]().y m a m a m a x m -+--=+--21
(),g x x
'=-设公切线与()g x 相切于21(,(1)),B n a n -+则切线方程为221
[(1)](),y n a n x n --+=--整理得
222(1).y n x n a =-+-+
因此有222222
22(1)22(1),.42(1)2(1)
m a n n m a m a n a m n a ⎧⎧+-=-+=-⇒⎨⎨--=-++=-⎩⎩整理可得212
14a n n -=+. 令322
124
(),().42x h x x h x x x
-'=+=易知()h x 在(,0)-∞
单调递减，在)单调递
减，在)+∞
单调递增，结合图像可知，当1a <+
时，有一条公切线，当1a =+
1a >+. 三、解答题(本大题6小题，共70分) 17.(本小题满分12分） 解：：
,
0)()6
2sin(22)2cos 212sin 23(
222sin 32cos 2)(),
sin 3,(cos )1(min =∴-+=-+=+-==+x f x x x x x x f x x π
当且仅当1)6
2sin(-=-
π
x 时取到等号，此时2
26
2π
ππ
-
=-k x ，解得ππ
k x +-
=6
.
所以x 的取值集合为,6x x k k Z π
π⎧
⎫
=-+∈⎨⎬⎩
⎭
. (2)令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，解得6
3
k x k π
π
ππ-≤≤+
.
所以()f x 的单调递增区间是[,],.63
k k k Z ππ
ππ-+∈
18.(本小题满分12分） 解：
（1）由题意得
11
11(1)22
(1)115222
a n n n na ⎧
+-=⎪⎪⎨
-⎪+=-⎪⎩ 解得1310a n =-⎧⎨=⎩
(2)由{}n a 是等差数列，可得2
11,0m m m m a a a a -++=∴=或2m a =.
12121(21)()
(21)30
2
2,21158
m m m m m a a S m a a m m ---+=
=-=
∴=-=∴= 19.(本小题满分12分）
（1）解:
3,a c =∴由正弦定理可得sin ,A C =又
2,sin 2sin cos ,cos .6
A C A C C C C π=∴=∴=
∴= （2）
,c b a <<故设*,1,2,,c n b n a n n N ==+=+∈由2A C =可得
sin sin sin 22sin cos ,cos .2sin 2A a
A C C C C C c
==∴=
=由余弦定理可得
22222a b c a
ab c
+-=
，代入可得：222(1)
(2)22(1)(2)2n n n n n n n +++-+=++，解得
314,6,5,4,cos ,sin sin 242a n a b c C C S ab C c =∴===∴==∴=== 20．(本小题满分10分）
解：
（1）⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
≥<<-+--≤-=-++=)21(3)211(2)1(3121)(x x x x x x x x x f ， 由2)(<x f 得：
⎩⎨⎧<--≤231x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧<+-<<-22211x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥
2
32
1x x 解得：210<<x 或3221<≤x 所以不等式的解集为：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<
<320x x . （2）R x ∈∀，00>∃x ，使得00)(x a x x f +≥)0(>a 成立，
等价于min 0
0min )()(x a
x x f +≥， 由（1）知2
3
)(min =x f ， 当00>x 时，a x a x 200≥+（当a x =0时取等号），所以a x a x 2)(min 0
0=+ 从而232≤
a ，故实数a 的取值范围为]16
9,0(.
21．(本小题满分12分）
（1） θρsin 52:=C ∴θρρsin 52:2
=C
∴052:22=-+y y x C ，即圆C 的标准方程为5)5(22=-+y x ．
直线l 的普通方程为035=--+y x ．
所以，圆C 的圆心到直线l 的距离为
2
2
32
3
550=
--+． （2）设直线l 圆C 的两个交点A 、B 分别对应参数1t ，2t ，则
将方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=-=t y t x 225223代入052:22=-+y y x C 得：04232=+-t t ∴2321=+t t ，421=⋅t t ∴01>t ，02>t
由参数t 的几何意义知：11t t PA ==，22t t PB ==
∴
4
231111212121=⋅+=+=+t t t t t t PB PA . 22．(本小题满分12分） （1）解：当02a <≤时，
22222122(2)(1)
()()()01212212ax a ax a ax a a f x x ax a ax a ax a
---+'=
-≥-=>+++ 所以()f x 在1
[,)2
+∞单调递增.
（2）由（1）可知，当1[,1]2x ∈时，max 11
()(1)ln()122
f x f a a ==++-， 所以只需证明：对2
11
(1,2),(1ln )12
a a m a a +∀∈>
---恒成立.设 2
11(1)()ln(),(1,2),228
x x x x x ϕ+--=-+∈
211121
()0,()1244(1)x x x x x x x ϕϕ--+'=-+=>∴++单调递增，又(1)0,()0x ϕϕ=∴>
2
221111(1)(1ln )[1].12128
a a a a a a a +--∴--<--+--
问题等价于：
2
2
11(1)
(1,2),[1]
128
a a
a m a
a
--
∀∈>--+
-
恒成立，
即
311
8(1)84(1)
a
m
a a
+
>=+
++
恒成立，
1
4
m
∴≥.。