关于全概率公式和贝叶斯公式教学方法的探讨

关于全概率公式和贝叶斯公式教学方法的探讨
宋明珠;方连娣
【摘要】全概率公式和贝叶斯公式是《概率论与数理统计》课程两个重要的公式,也是教学重难点之一.这两个公式在实际生活中应用广泛,而学生在学习的过程中,很难把握这两个公式的实质、内涵和应用范围.文章在解决生活概率问题的过程中,导入全概率公式和贝叶斯公式,将复杂的问题简单化,激发学生的学习兴趣,从而提高教学效果.
【期刊名称】《铜陵学院学报》
【年(卷),期】2018(017)004
【总页数】3页(P116-118)
【关键词】案例教学;全概率公式;贝叶斯公式;条件概率
【作者】宋明珠;方连娣
【作者单位】铜陵学院,安徽铜陵244000;铜陵学院,安徽铜陵244000
【正文语种】中文
【中图分类】G424
全概率公式和贝叶斯公式是《概率论与数理统计》课程两个重要的公式，也是教学重难点之一。

这两个公式在经济决策、产品检验和传染病诊断等方面有着广泛的应用。

在日常教学过程中发现，如果开门见山给出这两个公式，学生会困惑不解，进而失去学习兴趣，更别说用这两个公式解决实际问题了。

为此，本文通过解决日常
生活的概率问题，在解决问题的过程中导入全概率公式和贝叶斯公式，将复杂的问题简单化。

在解题的过程中，充分发挥学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣，进而提高教学效果。

一、全概率公式的导入
从学生感兴趣的实际问题出发，导入全概率公式。

引例1：设袋中有5个红色的玻璃球和5个蓝色的玻璃球，玻璃球的形状大小完
全相同，从袋中任取3个玻璃球放入盒中，现从盒中任取一球，求该玻璃球是红
色的概率？
分析：完成试验，必须分两步，第一步从袋中取3个球，第二步是在第一步的3
个球中任取一球，第二步能否取到红球，受第一步结果的影响。

为此我们设事件
B={在盒中取一球是红色的}，事件Ai={从袋中取出3个球，放入盒中，其中有i
个球是红色的},i=0,1,2,3。

事件B发生的概率受第一步试验结果的影响，为此我们把复杂的事件B化简成几个互不相容简单事件的和。

因为所以 A0，A1，A2，A3是样本空间Ω的一个完备事件组。

解：由题意可知：
根据互不相容事件的可加性和条件概率公式得：
引例2：某小组有20名选手，其中一、二、三、四级选手分别为3、4、9、4名。

若选一、二、三、四级选手参加比赛，则在比赛中获胜的概率分别为0.9、0.6、0.4、0.3，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中获胜的概率是多少？
分析:设事件B={小组在比赛中获胜},事件Ai={该选手来自 i级}，i=1,2,3,4。

因为样本空间Ω的一个完备事件组。

该组获胜的概率和选手的等级密切相关，因
此需要把复杂的事件B化简为几个互不相容简单事件的和。

解：
在解决上述两个问题的过程中，我们发现一个共同特点：先找出样本空间的一个完备事件组Ai，i=1,2,…,n,将复杂事件B分割成几个互不相容简单事件的和，利用条件概率公式P(AB)=P(B|A)P(A)(P(A)＞0)计算出条件概率，再利用互不相容事件的可加性，计算出简单事件的概率和，从而得出事件B的概率。

总结解题过程，导
入全概率公式：
全概率公式[3]：设A1,A2,…,An为试验E样本空间Ω的一个完备事件组P(Ai)＞0,i=1,2,…,n。

B是任意事件，则(Ai)P(B|Ai)。

证：由集合的运算性质可知
因为 P(Ai)＞0，i=1,2,…,n 且(BAi)(BAj)= ，i≠j则由互不相容事件的可加性和条件概率公式得：
全概率公式的内涵：全概率公式的“全”是指在解题的过程中找出引起B事件发
生的全部“原因”Ai,A2,…,An，这些“原因”构成样本空间的一个完备事件组。

因此，我们在计算P(B)时，首先找出样本空间的一个完备事件组Ai,A2,…,An，再利用全概率公式计算出P(B)。

二、贝叶斯公式的导入
由同学们熟知的经典诚信故事“狼来了”引入贝叶斯公式，激发学生的学习兴趣。

引例 3 （“狼来了”）设农民开始对这个孩子的可信度为0.9，可信的孩子说谎的概率为0.2，不可信孩子说谎的概率为0.8，试求这个孩子第三次喊“狼来了！”时，农民对这个孩子的可信度是多少？
解:设事件B={孩子可信}，事件A={孩子说谎}，由题意知P(B)=0.9，P(A|B)=0.2。

农民第一次听到“狼来了！”赶到山上后，发现小孩说了谎，此时农民对孩子的可信度为：
农民第二次听到“狼来了！”赶到山上后，发现小孩再一次说谎，此时农民对孩子的可信度为：
由上述推算过程可知，小孩第二次说谎后，其可信度由原来的0.9下降到0.36，
如此低的可信度，导致他第三次喊“狼来了！”的时候，再也没有人去救他了。

引例4（产品检验）每箱产品有10件，其中的次品数从0到2是等可能的，开箱试验时，从中一次抽取2件（不重复），如果发现有次品，则拒收该箱产品，试
计算：
（1）一箱产品通过验收的概率；（2）已知该箱产品通过验收，则该箱中有2个
次品的概率。

解：设 Ai={箱内有 i件次品}，i=0，1，2，显然 A0,A1,A2是样本
空间的一个完备事件组，
B={该箱产品通过验收}。

由题意可知
（1）由全概率公式，有
（2）由条件概率公式知
对引例3、4的解题过程归纳总结，得出贝叶斯公式如下：
贝叶斯公式[3]：设A1,A2,…An为试验E样本空间Ω的一个完备事件组，且 P （Ai)＞0，i=1,2,…，n，则对任一事件 B，(P(B))＞0,有
贝叶斯公式的内涵：已知B事件已经发生，导致B事件发生的“原因”共有n个，这n个“原因”构成了样本空间的一个完备事件组。

根据贝叶斯公式计算出，导
致B事件发生的原因可能性有多大。

简而言之，贝叶斯公式就是“由果索因”。

【相关文献】
[1]华东师范大学数学系.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社，1994.
[2]丁万鼎，等.概率论与数理统计[M].上海:上海科学技术出版社，1999.
[3]杨桂元.概率论与数理统计[M].成都:电子科技大学出版社，2002.
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