四川省树德中学2019-2020学年高二上学期期中考试(11月段考)数学(文)试题含答案

高2018级高二上期11月阶段性测试数学（文科） （考试时间：120分钟，试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12个小题．每小题只有一项是符合题目要求的．
1．与直线20x ++=垂直的直线的倾斜角为（）． A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
2．命题“若2
2
0x y +=，则0x =且0y =”的等价命题是（）． A ．若0x ≠或0y ≠，则2
2
0x y +≠ B ．若0x =且0y =，22
0x y +≠ C ．若2
2
0x y +≠，则0x ≠或0y ≠
D ．若2
2
0x y +≠，则0x ≠且0y ≠
3．已知双曲线221y x m -=的一个顶点在抛物线21
2
y x =的准线上，则该双曲线的离心率为（）．
A
B
C ．
D ．4．如图是民航某部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计表，根据此图标，下列叙述不正确．．．
的是（）． 12城市春运往返机票平均价格
A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B ．深圳和厦门的春运期间往返的机票价格同去年同期相比有所下降
C ．平均价格位于前三位的城市是北京、深圳、广州
D ．平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市是天津、西安、厦门
5．下列说法正确．．
的个数是（）． ①“若4m n +≥，则m ，n 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题； ②命题“设,a b ∈R ，若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”是一个真命题； ③命题:p αβ≠，:sin sin q αβ≠，则p 是q 的必要不充分条件；
④命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”． A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（）． A ．
1
2
B ．
13
C ．
14
D ．
16
7．为了解成都锦江区粮丰社区居民的家庭收入和年支出的关系，现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得x ，y 的回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中ˆ0.78b =，由此估计该社区一户收入为14万元，家庭年支出为（）． A ．11.12万元
B ．12.02万元
C ．11.02万元
D ．12.12万元
8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆()()2
2
1:1216C x y -++=与圆()()2
2
2:31C x t y t -+--=交于点A ，B 两点，若AO BO =（O 为坐标原点），则实数t 的值为（）． A ．2
B ．1
C ．1-
D ．2-
9．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，PF 的延长线交l 于点Q ，且PF FQ =，8PQ =，则直线PQ 的方程为（）．
A ．10x --=
B 0y --=
C 0y --=
D ．10x y --=
10．已知集合({
}
,M x y xy =
，(){},2N x y x y =
+≥，
则在平面直角坐标中M N
表示的平面区域的面积是（）． A ．2π
B ．4π8-
C ．4π4-
D ．8
11．点A 、B 为椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足
2MA MB
=，若MAB △面积的最大值为8，MCD △面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）． A
．
3
B
．3
C
．2
D
．
2
12．双曲线2
2:13
x C y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于P 、Q 两点，且190F PQ ∠=︒，则1F PQ △的内切圆半径等于（）． A
B
1
C
1
D
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4个小题，请将答案直接填在答题卡的相应横线上．
13．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按1200~编号，并按编号顺序平均分为40组（15~号，610~号，…，196200~号），若第1组抽出的号码为3，则第6组抽出的号码是______．
14．已知实数x ，y 满足250340x y x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
，则2t x y =-的最大值为______．
15．已知点P 是双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>右支上一点，1F ，2F 分别是双曲线的左右焦点，I 为
12PF F △
的内心，若1122IPF IF F IPF S S =
+△△△，则双曲线的离心率为______． 16．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，其关于直线y bx =的对称点Q 在椭圆上，则
FOQ S =△______．
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知圆C 与直线10x y -+=相切于点()2,1A --，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；
（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．
18．设命题:p 实数m 满足()2
2
3200m am a a -+<>；命题:q 曲线
22
115
x y m m +=--表示双曲线． （1）若2a =，若p 为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
19．为了纪念“一带一路”倡议提出五周年，某城市举办了一场知识竞赛，为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况，从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷，发现成绩都在[]50,100内，现将成绩按区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下的频率分布直方图．
青年组
中老年组
（1）利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；
（2）从青年组[)80,90，[]90,100的分数段中，按分层抽样的方法随机抽取5份答卷，再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会，求选出的3位市民中有2位来自[]90,100分数段的概率．
20．已知B ()1,2B 是抛物线()2
:20M y px p =>上一点，F 为M 的焦点．
（1）若1,2A a ⎛⎫
⎪⎝⎭，5,3C b ⎛⎫
⎪⎝⎭
是M 上的两点，证明：FA ，FB ，FC 依次成等比数列． （2）若直线()30y kx k =-≠与M 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，且12124y y y y ++=-，求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距．
21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>
0x y +-=过椭圆C 的右焦点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若不过椭圆C 上顶点M 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且1MA MB k k +=-．求证：直线l 恒过定点，并求出该定点．
22．已知抛物线2
1:1C y x =-与y 轴交于点M ，直线1:l y kx =与抛物线1C 交于点A ，B 两点．直线MA ，
MB 分别交椭圆2
22:14
x C y +=于点D 、E （D ，E 与M 不重合）
（1）求证：MD ME ⊥； （2）若
17
32
MAB MDE S S =△△，求直线1l 的斜率k 的值；
（3）若O 为坐标原点，直线2l 交椭圆2C 于P ，Q ，
若O N O P O Q =+，且14
O P O Q
k k ⋅=-，则22
ON PQ +是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
参考答案
13．28
14．5
15
16．
12
17．（1）设圆心为(),2C a a ，
∴
d =
=
1a =-．
所以圆心()1
,2--，r =C 的方程()()2
2
122x y +++=．
（2）由垂径定理知2211d =-=． ①k 不存在时，0x =，满足条件； ②k 存在时，设:l y kx
=，1d =
=，得34k =
，所以3:4
l y x =． 综上，直线l 的方程为0x =或3
4
y x =
． 18．（1）:24p m <<；:15q m <<．
由题意知，p 假q 真24
1215m m m m ≤≥⎧⇒<≤⎨
<<⎩
或或45m ≤<．
综上，12m <≤或45m ≤<．
（2）由条件得q 是p 的必要不充分条件， ∴()(),21,5a a ⊂，即15
125
2a a a ≥⎧⇒≤≤⎨≤⎩，
所以5
12
a ≤≤
． 19．解：（1）由青年组的频率分布直方图可知，前3个小矩形的面积和为0.5，后2个小矩形的面积和为0.5，所以中位数为80．
中老年组成绩的平均数为()550.01650.03750.03850.025950.0051073.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． （2）青年组[)80,90，[]90,100的分数段中答卷分别为12份，8份，
抽取比例为
51
1284
=+，所以两段中分别抽取的答卷分别为3份，2份． 记[)80,90中的3位市民为a ，b ，c ，[]90,100中的2位市民为x ，y ， 则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：
(),,a b c ，(),,a b x ，(),,a b y ，(),,a c x ，
(),,a c y ，(),,a x y ，(),,b c x ，(),,b c y ，(),,b x y ，(),,c x y ．
其中，有2位来自[]90,100的有3种：(),,a x y ，(),,b x y ，(),,c x y ． 所以所求概率310
P =
． 20．（1）∵()1,2B 是抛物线()2
:20M y px p =>上一点， ∴422p p =⇒=，∴2
4y x =． 根据题意可得13122FA =+=，112FB =+=，58133
FC =+=． ∵238
2423
=
⨯=，∴FA ，FB ，FC 依次成等比数列． （2）由2
3
4y kx y x
=-⎧⎨
=⎩，消x 可得2
4120ky y --=
∴124y y k +=
，1212y y k
=-． ∵12124y y y y ++=-，∴412
42k k k
-=-⇒=-．
设PQ 的中点()00,x y ，∴()0121212y y y k =+==，()001
322
x y =+=，
∴线段PQ 的垂直平分线的斜率为1
2
-．
故其直线方程为()1
1_22
y x -=-．当0y =时，4x =．
21．解：（1
）c =
22c e a a ==
⇒=，1b =，椭圆C 的方程为2214
x y +=． （2）上顶点()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ，
1212
1111MA MB y y k k x x --+=-⇒
+=-，
即
()12121212
11211kx m kx m x x
k m x x x x +-+-++=+-=-． ① 联立直线和椭圆得()
222418440k x kmx m +++-=，
1222
1282441
x x km km
x x m m +--==--，代入①式得，21m k =--， ∴:21l y kx m kx k =+=--恒过定点()2,1-． 22．解：（1）由题意知，直线l 的方程为y kx =．
由2
1
y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x ，2x 是上述方程的两个实根， 于是12x x k +=，121x x =-． 又点M 的坐标为()0,1-， 所以()()()2
221212121212121211111111
MA MB
kx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x +++++++-++⋅=⋅====--
故MA MB ⊥，即MD ME ⊥．
（2）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-， 由12
1
1
y k x y x =-⎧⎨
=-⎩，解得01x y =⎧⎨
=-⎩，或12
11
x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为()2
11,1k k -． 又直线MB 的斜率为
11
k ，同理可得点B 的坐标为21111,1k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
．
于是，21111111122k S MA MB k k k +=⋅==．
由122
1440
y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得()22
111480k x k x +-=， 解得01x y =⎧⎨=-⎩或1212
12
1
8144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪
⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
．
又直线的斜率为11
k ，同理可得点E 的坐标211221184,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
． 于是，()()()
211222
113211
2144k k S MD ME k k +⋅=⋅=++． 因此，
21122111
174176432
S k S k ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭． 由题意知，解得2
14k =或2114
k =
． 又由点A ，B 的坐标可知，21211111
111k k k k k k k -
=
=-+，所以32k =±． （3）设()33,P x y ，()44,Q x y ，四边形OPNQ 为平行四边形， 由余弦定理有2
22
2cos ON
OP PN OP PN OPN =+-⋅⋅∠，
2
2
2
2cos PQ OP OQ OP OQ POQ =+-⋅⋅∠，
两式相加得(
)2
2
22
2ON PQ OP OQ +=+．
又34341
44
OA OB k k x x y y ⋅=-
⇒=-． 又223344x y +=，22
4444x y +=，
上面两式移项相乘得()()2
2
222222
34
3434344
4164x x
y y x x x x --==⇒+=，
上面两式相加得()
222222
3434344441x x y y y y -+-=-+⇒+=．
所以(
)()22
2
2
22223
4342210ON PQ OP OQ x
x y y +=+=+++=．
因此2
2
ON PQ +为定值10．。