江苏省扬州市江都砖桥中学高二数学理联考试题含解析

江苏省扬州市江都砖桥中学高二数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
是一个符合题目要求的
1. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
2. 设满足不等式组，则的最小值
为（）
A、1
B、5
C、
D、
参考答案：
D
3. 设全集为，集合，则( )参考答案：
B
4. 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
5. 已知，则在复平面内，复数对应的点位于（）
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限参考答案：
A
略
6. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．9πB．10π C．11π D．12π
参考答案：
D
7. 设，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
8. △ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C 的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为
A．7 B．9 C．11 D．13
参考答案：
A
略
9. 已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为
参考答案：
C
，，故选.
10. 函数y=lg 的图象大致是( ) 参考答案：
A
本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点（2，0），（，1）.②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为（1，+∞），在定义域上函数为减函数.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是__________
参考答案：
试题分析：设ξ表示向上的数之积，则P(ξ＝1)＝×＝，P(ξ＝2)＝××＝，P(ξ
＝4)＝×＝，P(ξ＝0)＝.∴Eξ＝1×＋2×＋4×＝
考点：分布列与期望
12. 已知不等式组表示的三角形区域为M，过该区域三顶点的圆内部记为N,在N中随机取一点，则该点取自区域M
的概率为
. 参考答案：
13. 已知直线的方程为，则与
垂直的直线的倾斜角为
参考答案：
14. 已知圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）的内接四边形的面积的最大值为2r 2，类比可得椭圆+=1（a ＞
b ＞0）的内接四边形的面积的最大值为 ．
参考答案：
2ab
将圆的方程转化为+
=1，类比猜测椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的内接四边形的面积的最大值即
可．
解：将圆的方程转化为+=1，
圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）的内接四边形的面积的最大值为2r 2，
类比可得椭圆+=1（a ＞b ＞0）的内接四边形的面积的最大值为2ab ，
故答案为：2ab ．
15. 设函数
．若
，则x =________．
参考答案：
2 【分析】
根据二次函数性质，得到的最小值，由基本不等式，得到的最小值，再结
合题中条件，即可得出结果.
【详解】因为
，当
时，取最小值；
又时，
，当且仅当，即时，取最小值； 所以当且仅当时，取最小值
.
即
时，
.
故答案为2
【点睛】本题主要考查函数最值的应用，熟记二次函数性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.
16. 一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的侧面积为 。

参考答案：
17. 已知
，则
参考答案：
-12
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）=lnx+ax （a∈R）．
（Ⅰ）若函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y=2x 平行，求实数a 的值及该切线方程； （Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f （x ）≤1成立，求实数a 的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，利用切线方程斜率关系求出a ，然后求解切线方程． （Ⅱ）解1：通过函数的导数与函数的单调性关系求出函数的极大值，即可得到a 的范围．
解2：当a≥0时，验证不符题意，当a ＜0时，通过函数的导数与单调性的关系，求出f （x ）的最大值然后求解a 的取值范围． 【解答】（本小题12分）
（Ⅰ）解：
，x ＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由已知可得f'（1）=1+a=2，解得a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为f （1）=1，所以在点（1，f （1））处的切线方程为y=2x ﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）解1：若对任意x∈（0，+∞），都有f （x ）≤1成立，即成立．﹣﹣﹣
设，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
，令g'（x ）=0，解得x=e 2，
则g'（x ），g （x ）的情况如下：
所以，依题意只需实数a 满足a≤﹣e ﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 故所求a 的取值范围是（﹣∞，﹣e ﹣2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解2：当a≥0时，f'（x ）＞0恒成立，所以函数f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）
又因为
，所以不符题意，舍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当a ＜0时，令f'（
x ）=0，得
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以f'（x ），f （x ）随x 的变化如下表所示：
所以f （x ）的最大值为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以，依题意只需
即可，解得a≤﹣e ﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
综上，a 的取值范围是（﹣∞，﹣e ﹣2
]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19. 甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
参考答案：
． ……10分
故甲乙两人至少有一人入选的概率
．
20. 已知的顶点
在椭圆上，在直线上，且
．
（1）当边通过坐标原点
时，求
的长及
的面积；
（2）当
，且斜边
的长最大时，求所在直线的方程．
参考答案：
解：（Ⅰ）因为，且
边通过点
，所以
所在直线的方程为
．
设
两点坐标分别为
．
由得．
所以
．
又因为边上的高等于原点到直线的距离．
所以，．
（Ⅱ）设所在直线的方程为，
由得．
因为在椭圆上，
所以．
设两点坐标分别为，
则，，
所以．
又因为的长等于点到直线的距离，即．所以．
所以当时，边最长，（这时）
此时所在直线的
方程为．
略
21. 、(12分) 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点，点为线段上的动点，
(I) 判断异面直线和所成的角的大小是否变化，并证明你的结论；
(II) 当直线和平面所成角最大时，试确定点的位置．参考答案：
(I) 不变；(II) 为的中点．
22. 某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m2的坝面渗水．经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散．当地政府积极组织工人进行抢修．已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元；另给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元．现在共派去x名工人,抢修完成共用n天．
（Ⅰ）写出n关于x的函数关系式;
（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出)．
参考答案：
（Ⅰ）由题意得所以.
（Ⅱ）所以应派52名工人去抢修,总损失最小.
略。