自控原理读书报告

《自动控制原理》读书报告
课程名称自动控制原理
学院(系)
专业
学生姓名Aaaaa 学号bbbbb
自动控制原理读书报告
II
目 录
1 绪论 ............................................................................................................. 3 1.1 控制工程的学科组成 .................................................................................. 3 1.2 自动控制系统的基本概念 ............................................................................ 3 2 控制系统的数学模型 ........................................................................................ 5 2.1 拉氏变换和反变换 ..................................................................................... 5 2.2 控制系统的微分方程和线性化方程 ................................................................ 7 2.3 传递函数.................................................................................................. 7 2.4 系统框图及其简化 ..................................................................................... 8 3 控制系统的时域分析 ........................................................................................ 8 3.1 时间响应及其典型输入信号 . (8)
3.1.1 典型实验输入信号 .............................................................................. 9 3.1.2 单位阶跃信号瞬态响应指标 ................................................................. 9 3.2 一阶系统的时间响应 . (9)
3.2.1 一阶系统的单位时间响应..................................................................... 9 3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应................................................................... 10 3.3 二阶系统的时间响应 .. (10)
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应................................................................... 10 3.3.2 二阶系统的瞬态响应指标................................................................... 10 3.4 高阶系统的时间响应 ................................................................................ 11 3.5 稳定性及代数稳定判据 ............................................................................. 11 3.6 误差分析和计算 ...................................................................................... 12 4 控制系统的跟轨迹分析 ................................................................................... 13 4.1 跟轨迹的基本概念 ................................................................................... 13 4.2 常规跟轨迹 ............................................................................................ 14 5 控制系统的频域分析 ...................................................................................... 15 5.1 频率特性的基本概念 ................................................................................ 15 5.2 频率特性的图形表示法 ............................................................................. 15 5.3 控制系统的频域指标 ................................................................................ 17 5.4 几何稳定判据 .. (17)
5.4.1 奈氏稳定判据 .................................................................................. 17 5.4.2 对数稳定判据 .................................................................................. 18 5.5 控制系统的相对稳定性 ............................................................................. 18 6 控制系统的综合与校正 ................................................................................... 19 6.1 校正的概念与实质 ................................................................................... 19 6.2 校正方法................................................................................................ 19 6.3 相位超前校正装置的设计 .......................................................................... 19 6.4 PID 调节器 . (20)
自动控制原理读书报告
1 绪论
1.1 控制工程的学科组成
装
订
线
控制系统的课程框架
1.2 自动控制系统的基本概念
控制系统的基本原理
控制系统:使受控对象的状态按照预期规律变化
反馈控制的基本原理：测量、反馈，求偏差，纠正偏差
实例分析：恒温箱自动控制系统：
共21 页第3页
自动控制原理读书报告
共 21 页 第 4 页
开环控制系统：系统的输出端和输入端之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制没有影响。

特点：系统简单，容易建造、一般不存在稳定性问题，精度低、抗干扰能力差。

闭环控制系统：又称反馈控制系统，系统的输出端和输入端存在反馈回路，输出量对控制作用有直接影响。

特点：精度高、抗干扰能力强、系统复杂，容易引起振荡。

控制系统的基本组成：
控制系统的分类：
给定量的运动规律分（输入）：恒值系统、程序控制系统、随动系统 系统线性特性分（模型）：线性、非线性 参数是否变化分（结构）：时变、定常 系统信号类型分（信号形式）：连续、离散、混合 输入输出数量（信号数量）：单变量、多变量 控制系统的基本要求 稳、准、快
稳定性：由于系统存在惯性，当系统的各个参数匹配不妥时，将会引起系统的振荡而失去工作能力。

稳定性是系统工作的首要条件。

准确性：输出量与给定量之间的偏差，随时间变化的程度，称动态精度偏差；调整过程结束后的偏差，称静态精度偏差。

快速性：在系统稳定的前提下，消除偏差过程的快速程度。

性能指标形式：
时域性能指标 频域性能指标
热电偶
量)
工散典型的反馈控制系统框图
自动控制原理读书报告
共 21 页 第 5 页
综合性能指标（最优性能指标）
2 控制系统的数学模型
2.1 拉氏变换和反变换
复变函数的概念 复常数：c=a+jb 复数表示法： 点表示 向量表示：向量表示:模： 2
2ωσ+==r s , 辐角：θ （逆时针）
三角表示：()θθθθωσsin cos sin cos j r jr r j s +=+=+=
指数表示：()θ
θθj re j r s =+=sin cos 复数的运算法则：
复数的加减：111ωσj s += 222ωσj s += ()()212121ωωσσ±+±=±=j s s s
复数的乘除：1
11θj e
r s = 2
22θj e
r s = ()212121θθ+=⨯=j e r r s s s ()212121θθ-==j e
r r s s s
复数的乘方：θ
jn n n e r s = ()
()()()n k j n k e n
k j
n
π
π
π
12sin
12cos
1121
+++==-+
欧拉定理： 可由马克劳林级数(x0=0时的泰勒级数)分别将ejθ、cosθ和sinθ展开即可得到。

θθθsin cos j e j += θθθsin cos j e j -=-
()
θθθj j e e -+=21cos ()
θθθj j e e j --=21sin
拉式变换的概念
拉氏变换定义 ：()[]()()dt
e t
f s F t f L st -+∞
⎰
==0
拉氏变换存在的条件
当0<t 时，f(t)=0。

并在0≥t 的任意有限区间上连续或分段连续；
当∞→t 时，不等式()at Me t f ≤成立， 式中M 、a 为确定的正实数。

则在()a s >Re 半平面内f(t)的拉氏变换一定存在，且复变函数F(s)为解析函数。

几个常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数 ：
()⎩
⎨
⎧≥<=01001t t t ()[]()s s e dt e t t L t
s st
10110=∞+-==--∞+⎰
单位脉冲函数： ()⎩⎨
⎧=∞≠=000t t t δ()[]()1
====--+∞
⎰t st st e dt e t t L δδ
单位斜坡函数：
()⎩⎨
⎧≥<=000t t t t f []22001010s s e dt e s s te dt e t t L t
s st t
s st =∞+-=+∞+-==--∞+--∞+⎰⎰
自动控制原理读书报告
共 21 页 第 6 页
指数函数：()⎩⎨⎧≥<=0
00t e
t t f at
[]()()a
s a s e dt e
dt e e e
L t
a s t
a s st
at at
-=
∞+--===----∞
+-∞+⎰
⎰
100
正弦函数：
()⎩
⎨⎧≥<=0sin 00t t t t f ωj e e t t
j t j 2sin ωωω--=
[]2
20
11212sin sin ωω
ωωωωωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-==⎰
⎰
∞
+--∞
+-s j s j s tdt e j e e tdt te
t L st t j t j st
幂函数：
()()
,2,1,00
00
=⎩⎨⎧≥<=n t t t t f n
[]()1
10
022
210
10!0!!100++--∞
+-∞+----∞+---∞+=∞+-==-+∞+-=
+∞+-==⎰⎰⎰⎰
n n t
s st
n
st
n t
s n st n t
s n st
n n
s
n s e n dt e
s n dt e t s n n s e nt dt e t s n s e t dt e t t
L
拉氏变换的性质
线性定理：()()[]()[]()[]()()s F k s kF t f L k t f L k t f k t f k L 22122112211+=+=+ 延迟定理：()[]()
s F e T t f L Ts
-=-
位移定理：()[]
()
a s F t f e L at +=-
微分定理：
()()
[]
()()()()()()()()()()
()()()()
()()
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛==-=-----=++=+--+-+-+--+-+-∑0)(00000001
1121121t dt t f d f f s s F s f sf f s f s f s s F s t f L i i i n
i i i n n
n n i i n n n n n
积分定理： ()()()()()()()()()()()
()()()
∑⎰⎰⎰=+
-+-+
-+-+-+--+-+=++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n i i i n n n i i n n n n t
n t t f s s s F f s f s
f s f s s s F dt t f L 11121100001
01
010101
初值定理：
()
()()
s sF im l t f im l f s t ∞
→→+==0
终值定理：()()
s sF im l t f im l s t 0→∞→= 用拉式变换解常系数线性微分方程
对微分方程进行拉氏变换，微分方程转换为s 变量的代数方程。

自动控制原理读书报告
共 21 页 第 7 页
整理代数方程，求拉氏反变换即可得微分方程得解。

2.2 控制系统的微分方程和线性化方程
电气系统的微分方程 四种电子元件
电阻 Ri u R = ；电容 dt i C u C ⎰=
1；电感 dt di
L u L =；线性放大器：虚短和虚断
基尔霍夫定律
电流定律 ∑i=0；电压定律 ∑u=0 电枢控制式直流电动机： 根据基尔霍夫定律得
()()()()t e dt t di L t i R t e m a a
a a i ++=
()()dt t d K t e o e
m θ=；()()t i K t T a T =；()()()22dt t d J dt t d f t T o o θθ+=
简化后可得
()()()()()()t e K dt t d K K f R dt t d J R f L dt t d J L i T o e T a o a a o a =++++θθθ2
233
通常电枢电感L a 较小，若忽略不计，则可得
()()()()t e K dt t d K K f R dt t d J R i T o e
T a o a =++θθ22
若电感L a 和电阻Ｒa 均较小时，则可得
()
()
t e dt
t d K i o e
=θ
建立系统微分方程的一般步骤
系统分析，确定输入变量和输出变量； 系统简化假设；
列出各部分方程，可考虑一个环节列一个方程； 若有非线性方程，进行线性化；
联立，消去中间变量。

输出变量有关的项放在等式的左边，输入变量有关的项放在等式的右边，并按照导数的阶次依次排列。

2.3 传递函数
传递函数的概念
定义：当初始条件为零时，输出量有y(t)的拉氏变换Y(s)与输入量x(t)的拉氏变换X(s)之比 ()()[]()[]()()s X s Y t x L t y L s G =
=
当初始条件为0时，传递函数的表达式为：
()()()()()()()()s X b s X s b s X s b s X s b s Y a s Y s a s Y s a s Y s a m m m m m m n n n n n n 022*******++++=+++--------
()()()0
1101
1a s a s a b s
b s b s X s Y s G n n n n m m m
m ++++++=
=
----
传递函数的性质：
传递函数表示系统本身的动态特性，与输入量的大小和性质无关。

自动控制原理读书报告
共 21 页 第 8 页
传递函数不说明被描述系统的物理结构，只要动态特性相同，不同的物理系统可用同一传递函数表示。

传递函数是复变量s 的有理分式，对于实际系统。

分母多项式中的最高幂次n 代表系统的阶数，称为n 阶系统。

基本环节的传递函数
环节：从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些基本环节组成，能组成独立的运动方程的一部分称为一个环节。

环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，各环节不能有相互影响（无负载效应）。

典型的基本环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节、延时环节等。

比例环节：()()()K
s R s C s G == 微分环节：()()()s s R s C s G τ==
积分环节：
()()()Ts s R s C s G 1
==
惯性环节：
()()()1+=
=Ts K s R s C s G ，含有储能元件，对于突变形式的输入信号，不能立即复现，输出总落后于输入。

传递函数相关的MATLAB 命令：
g=tf(num,den) %transfer function models g=zpk(z,p,K) % Zero-Pole-Gain Models [num,den] = zp2tf(z,p,K) [z,p,k] = tf2zp(num,den) Z=zero(g) P=pole(g)
2.4 系统框图及其简化
框图结构
系统构成方式及运算法则 框图变换法则
引出点：前移，后移
比较点：前移，后移；引出点前移越过比较点 本章总结：
3 控制系统的时域分析
3.1 时间响应及其典型输入信号
自动控制原理读书报告
共 21 页 第 9 页
瞬态响应 ：系统在某一输入信号作用下，输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。

稳态响应：时间趋于无穷大时系统的输出。

3.1.1 典型实验输入信号
选取实验信号的原则
具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。

形式应尽可能简单，便于分析处理。

能使系统在最不利的情况下工作。

阶跃信号：()()[]s A t r L t t A t r =
⎩⎨⎧<≥= ; 000 单位阶跃信号：()()[]s t L t t t 1
1 ; 00011=
⎩⎨⎧<≥=
斜坡信号：
()⎩⎨⎧≥<=000t At t t r ()[]2s A At L s R == 单位斜坡信号：
()⎩⎨⎧≥<=000t t t t r ()[]21s t L s R == 加速度信号：()⎪⎩⎪⎨
⎧≥<=021002t At t t r
()3221s A At L s R =⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 正弦信号：
()()⎩⎨⎧≥<=0sin 00t t A t t r ω ()[]22
)sin(ωωω+==s A t A L s R 3.1.2 单位阶跃信号瞬态响应指标
上升时间tr ：第一次达到稳定态所需的时间（输出产生振荡时）或从稳定态的10%上升到稳态值的90%所需的时间（无振荡时）
调整时间ts ：第一次达到并保持在允许误差范围（一般为稳态值的Δ=5%或Δ=2%）内所需的时间。

峰值时间tp ：达到超调量的第一个峰值所需的时间。

最大超调量Mp 或σp%：超出稳态值（一般为1）的最大偏离量Mp ，采用百分比表示时：
()()()%
100%⨯∞∞-=C C t C p p σ
延迟时间td ：第一次达到稳定态的一半所需的时间。

3.2 一阶系统的时间响应
3.2.1 一阶系统的单位时间响应
()s s R 1=
()T s s s Ts s C 1
1
1111+-
=•+=
()()[]0
11
≥-==-
-t
e
s C L t c T t
，　
T ：时间常数，具有时间量纲，T 越小，系统的响应越快
t=T 时，c(T)=0.632，故Ｔ为系统时间响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。

自动控制原理读书报告
共 21 页 第 10 页
允许误差范围为±5%时，t=３T 。

而允许误差范围为±２%时，t=４T 。

MATLAB 解系统的时间响应： num=[1] den=[3,1]
g=tf (num,den) subplot(2,1,1) step (g)
subplot(2,1,2) impulse (g) grid hold
title (‘时间响应’) xlabel (‘时间’) ylabel (‘幅值’) x=0 y=0
text (x,y,’原点’) figure (1) plot (x,y)
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应
21
)(s s R =
11111)(2
22++
-=+=Ts T s T s s Ts s C ()()[]0
1
≥+-==-
-t
Te
T t s C L t c T t
，　
速度误差：)
1()()()()(T
t T
t e
T Te T t t t c t r t e -
-
-=+--=-=
稳态速度误差：
T
t e e t ssv ==∞
→)(lim
3.3 二阶系统的时间响应
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
重根时 :临界阻尼情况 1=ς n s ω-=2,1
()()()n n n n n s s s s s s C ωωωωω+-
+-=•+=1
11222 ()()[]()t e s C L t c n t n ωω+-==--111 无超调，无振荡。

两个不相等的负实根时：过阻尼情况，无超调，无震荡
一对共轭复根时：欠阻尼情况。

衰减振荡，振荡频率为阻尼自然频率ωd ，振幅为指数衰减，由系统参数ωn 、ζ决定。

随着ζ的减小，调整时间ts 变短，但振荡变严重，一般阻尼比=0.4～0.8
3.3.2 二阶系统的瞬态响应指标
上升时间：
d
k t ωθ
π-=
峰值时间：
2
1ςωπωπ-=
=
n
d p t
最大超调量：
()
π
ςς
2
11--
=-==e
t t t c M p
p
调整时间：
n T ςω1
=
二阶系统的瞬态指标由ζ和ωn 共同决定。

增大无阻尼自然频率ωn ，可提高系统的快速响应性能，而不会改变超调量。

增大阻尼比，可减小最大超调量，减弱系统的振荡性能，使系统的相对稳定性增加，但会使系统的快速性变差，当允许误差范围为0.02--0.05时调整时间在ζ=0.7左右时最小。

一般综合考虑系统的稳定性和快速性能，选择在ζ=0.4～0.8的范围内。

称ζ=0.707为最佳阻尼比。

3.4 高阶系统的时间响应
闭环主导极点：在高阶系统得闭环极点中，如果距虚轴最近的闭环极点，其周围没有零点，而且其它闭环极点与该极点的实部之比超过五倍以上，则这种极点称为闭环主导极点。

高阶系统的瞬态响应特性主要由闭环主导极点决定。

如存在一对主导极点，则该高阶系统可以近似按二阶系统来分析。

3.5 稳定性及代数稳定判据
稳定性的概念与基本准则
系统在一定的干扰作用下，偏离了稳定的平衡状态，在干扰消除后，能以足够的精度逐渐恢复到原来的状态的能力。

它是系统固有的特性。

稳定系统的闭环传递函数特征方程 0
011=+++--a s a s a n n n n
所有根必须全部具有负实部。

或者说系统的传递函数的极点全部位于s 复平面的左半部。

如有实部为零的根，则出现临界稳定状态（振荡）;如有零根存在，则出现常数项，则出现临界稳定状态（无振荡），相当于系统偏离了平衡状态，所以工程上也认为系统不稳定。

系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根全部在s 复平面的左半平面。

如果有根在右半平面，系统不稳定，如果有根在虚轴上，系统处于临界稳定状态（振荡），如果有根在原点上，系统偏离平衡点，也为临界稳定。

代数稳定判据
罗斯（Routh ）稳定判据 求罗斯计算表
011=+++--a s a s a n n n n
43214321432175316420
4321d d d d c c c c b b b b a a a a a a a a s s s s s s
n n n n n n n n n n n n n
-----------
第一列各数的符号全为正，则说明无正实部的根，系统稳定。

否则系统不稳定，第一列各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。

第一列出现零的情况时，用一个小的正数ε代替０进行计算后，再令ε→0+求极限来判别第一列系数的符号。

实际上在无符号变化是表示有一对虚根存在，有符号变化时则同上。

如出现一行全零时，此时存在一些对称（大小相等，符号相反）的根（包括实根和共轭虚根，系统处于临界稳定状态）。

则用上一行的系数组成一个辅助方程，对方程求导后得到的系数代替原为零的各项，再继续。

解辅助方程得的根即为特征方程根的一部分 。

赫尔维茨（Hurwitz ）稳定判据
列赫尔维茨行列式：主行列式及其主对角线上的各子行列式均大于零时，则方程无正根，系统稳定。

2
10231425310
000000000000000a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n
--------=
∆
3.6 误差分析和计算
误差的基本概念
误差：瞬态误差和稳态误差 稳态误差：
()()
s sE t e e s t ss 0
lim lim →∞
→==
稳态误差包括给定稳态误差ess 和扰动误差essd
给定稳态误差：给定输入信号作用下的稳态误差，表征了系统的精度。

显然给定稳态误差与开环传递函数及输入信号有关。

()()()()s R s H s G s E +=
11 ()()()()()
s R s H s G s
s sE t e e s s t ss +===→→∞→1lim lim lim 00
误差的计算 系统的类型：
把系统按开环传递函数中积分环节的个数λ进行分类： λ=0，无积分环节，称为0型系统。

λ=1，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统。

λ=2，有两个积分环节，称为Ⅱ型系统。

一般Ⅲ型及Ⅲ型系统很难稳定，所以在工程上一般不采用。

稳态误差计算表：
位置误差、速度误差和加速度误差是指系统的输入信号分别为阶跃信号、斜坡信号和加速度信号时，系统产生的输出误差（偏差）。

对于线性系统，稳态误差具有叠加性质。

求正弦输入信号的稳态误差可用频率特性的定义求得幅值 稳态误差只对稳定系统有意义。

4 控制系统的跟轨迹分析
4.1 跟轨迹的基本概念
定义：开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s 平面上的变化轨迹。

是1948年由W.R.Evans 在《控制系统的图解分析》一文中提出的。

可变参量为系统的增益时的根轨迹称常规根轨迹。

例如单位反馈传递函数())
2(1
a s s K s G +=
开环极点p1 = 0, p2 =-2a 。

系统闭环传递函数()()()()()1
2
121K as s K s H s G s G s R s C ++=+=
系统特征方程的根为：1
22,1K a a s -±-=
如果a 不变，K1从零变到无穷大 可见，二阶系统有两条根轨迹
起点（K1=0）为开环极点p1 = 0, p2 =-2a 。

K1从0向a 2增加时，两个根在负实轴上沿相反方向朝（-a ，j0）点移动，过阻尼状态。

K1=a2时，两个根会合于（-a ，j0）点，对应于临界阻尼状态。

K1增加K1>a 2时，两个根从（-a ， j0）点分离，变为共轭复数，为欠阻尼状态，其实部始终为-a ，调整时间不变，虚部变大时，振荡频率变大，超调量变大，上升时间和峰值时间变小。

跟轨迹与系统性能： 稳定性：
根轨迹位于左平面时，系统稳定，当有根轨迹穿越虚轴进入右平面，则表明系统有可能不稳定，根轨迹和虚轴的交点所对应的K 即为系统的临界增益。

稳态性能：
根轨迹从原点出发时，表示有开环0极点，系统为Ⅰ或Ⅱ型，离起点越远K 越大，稳态误差系数越大，精度越高。

可根据稳态误差的要求获得闭环极点在根轨迹图上的范围。

动态性能：
根轨迹位于负实轴时，系统处于过阻尼或临界阻尼状态，无振荡。

当离开实轴后，系统为欠阻尼状态，将发生阻尼振荡。

离虚轴越远（闭环极点实部大），衰减越快，动态性能好；离实轴越远（闭环极点虚部大），振荡越厉害，超调量越大，上升时间和峰值时间越小。

4.2 常规跟轨迹
绘制根轨迹的相角条件和幅值条件： 闭环特征方程：
()()01=+s H s G 幅值条件：()()1
=s H s G
（可用于确定对应点的根轨迹增益K1）
()
()
1
1
11
=--∏∏==n
j j m
j j p s z s K 或()
()
∏∏==--=
m
j j n
j j z s p s K 1
11
相角条件：决定根轨迹的充要条件
()()()()
0,1,2,q , 12180=+±=∠q s H s G
()()()()
0,1,2,q , 121801
1
=+±=-∠--∠∑∑==q p s z s n
j j m
j j
MATLAB 跟轨迹图： rlocus(g)
rlocus(num,den,K) [r,K]=rlocus(num,den) 绘制跟轨迹的基本规则：
法则1：根轨迹的连续性和对称性。

根轨迹各分支是连续的；由于特征方程为实数的代数方程，代数方程的系数连续变化时根也是连续变化的。

根轨迹对称于实轴。

代数方程的根或为实数、或为共轭复根。

法则2：根轨迹的起点、终点和分支数。

起点：开环极点；（n<m 时，有m-n 个无限极点） 终点：开环零点；（n>m 时，有n-m 个无限零点，即有n-m 条趋向无穷的根轨迹 ） 分支数：n 或m 中的大值。

（一般m<n ，所以分支数为n ） 法则3：根轨迹在实轴上的分布。

实轴上存在根轨迹，则其右边开环实数极点和开环实数零点的数目只和为奇数。

对于实轴上的一点：
右边实轴上的开环零点或极点指向该点的相量的相角为180° 左边实轴上的开环零点或极点指向该点的相量的相角为0° 一对共轭极点或零点提供的相角相互抵消，其和为零。

由相角条件可知只有其右边开环实数极点和零点的总数为奇数的实轴线段上才有根轨迹，而且必为根轨迹。

法则4：根轨迹渐近线的夹角。

根轨迹中n-m 条趋向无穷远处分支的渐近线相角为：
() 1-m -n ,1,0q , 12180 a ，=-+±=m n q ϕ
()()
1-m -n ,1,0q , 12180 a 1
p
1
z i
i
，=+±=--=-∑∑==q m n n
i m i ϕϕϕ
法则5：根轨迹渐近线与实轴的交点
渐近线与实轴的交点：m n z p n
i m
j j
i --=∑∑==11
a
σ
法则6：根轨迹的分离点
复平面上的分离点（两条以上根轨迹分支的交点）必须满足方程
0 ds dK 1
=
分离角（根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角，分离点在实轴上时，则为离开实轴根轨迹的相角）
法则7：跟轨迹的入射角和出射角
出射角：()() q q p ,2,1,012180=++±=
ϕϕ p z ∑∑-=θθϕ
入射角：
()() q q z ,2,1,012180=-+±= ϕϕ 法则8：跟轨迹与虚轴的交点及根之和。

5 控制系统的频域分析
5.1 频率特性的基本概念
定义：频率响应是指控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦响应。

即系统稳定状态时输
出量的振幅和相位随输入正弦信号的频率变化的规律。

输出的稳态信号是同频率的正弦信号；
输出稳态正弦信号的幅值及相对于输入信号的相位变化是输入信号频率ω的函数；
()()()()()22Im Re ωωωj G j G j G += ()()
()()ωωφj G j G Re Im arctan
=
()ωj G 称为系统的频率特性，当令传递函数G(s)的s=jω时即可得之。

系统频率特性可唯一地确定系统的性能，因此只需对系统的频率特性进行分析，即可得到系统的相关性能。

频率特性的性质：
幅频特性和相频特性是系统的固有特性，与外界因素无关； 一般系统的频率特性具有低通滤波的作用
频率特性随频率变化，是因为系统中含有储能元件，他们在进行能量交换时，对不同的信号使系统有不同的特性。

5.2 频率特性的图形表示法
奈氏图：
博德图：半对数坐标系
幅值为对数坐标(dB)、相位为角度值坐标与频率(采用对数分度)的横坐标所形成坐标系 横坐标： ()ωlg 分度，但只标频率值 ,为不等分坐标。

如横坐标两点满足ω2/ω1=10 的关系，则距离为一个“十倍频程”，以dec 表示
分贝：()()ωωj G L lg 20=
奈氏图和博德图的绘制方法和步骤： 奈氏图
将传递函数转化为由典型环节组成的形式（串联）,并写出频率特性； 起点
()λωωK
j G =
λ为积分环节的个数
()︒⨯-=∠90λωj G 终点
()()()⎩⎨⎧=>=*
m n K m n j G ，
，
0ωK *为开环根轨迹增益（首一型） ()()︒⨯-=∠90n m j G ω
与坐标轴交点 ：分别令实、虚部为零，得相交频率和虚、实部 。

参考幅值、相位、虚部、实部的变化趋势。

时间常数（分子、分母部分）对相角的影响(大者先影响，在1/T 附近有大的变化)。

中间补点修整。

博德图
将传递函数转化为由典型环节组成的形式（串联） 列出各环节的转角频率，从小到大排列
画初始段 ：斜率为-20×λ的斜线 ，零分贝线的交点频率等于 λ1
K
从第一个转角频率开始沿轴向右，每经过一个转角频率斜率变更一次。

惯性环节为－２０
dB/dec ，振荡环节为－4０ dB/dec 等
修正渐近线（一般ζ＝０.３８～０.７１之间时可不进行修正），得精确曲线 对数相频特性曲线为各典型环节的相频特性曲线的叠加
αββαβα 1arctan
arctan arctan ±=±
反之可由博德图求传递函数 （最小相位系统 ） 5.3 控制系统的频域指标
系统的闭环频率特性可由开环频率特性通过三频段法近似求得 低频段为0dB 线
中频段采用描点法获得 高频段同开环频率特性 频域特性的性能指标： 截止频率和带宽 ：
幅值下降到零频幅值的－３dB 时的角频率ωb ，０～ωb 称为系统的带宽ωBW 。

带宽越宽，响应越快，但高频干扰越大
谐振峰值Ｍｒ和谐振频率ωｒ：2211ςω-=T r 2121
ςς-=r M
Ｍｒ越大阻尼比越小越易振荡。

反映了系统的相对稳定性。

一般取4.1≤r M （即dB M r 3≤）时，阻尼比为 4.0707.0≥≥ς
剪切率 ：
截止频率处的斜率 ，表征了辨别信号的能力 最小相位系统
复平面s 的右半部没有零点和极点的传递函数称为最小相位传递函数 。

具有最小相位传递函数的系统，称最小相位系统。

最小相位系统相位滞后最小 系统辨识
通过实验的方法获得系统的频率特性曲线（一般为BODE 图），通过系统辩识得到系统得到系统的频率特性
对于实验BODE 曲线采用水平线、-20dB/dec 、 -40dB/dec 等线段作近似，之后根据所得的近似BODE 图写出系统得频率特性，再根据系统谐振情况及从相频特性曲线所获得的非最小相位环节和延时环节的信息进行修正。

5.4 几何稳定判据
几何判据是根据闭环系统的开环传递函数的奈氏图或博德图来判断系统的稳定性及稳定性储备
5.4.1 奈氏稳定判据
当在[s]平面上ω从-∞变化到+∞时，在[GH]平面所的奈氏曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数为N ０=PR-ZR ，其中PR 为开环右极点个数，ZR 为闭环右极点的个数。

系统稳定（闭环右极点个数为零ZR=0）的充要条件为：ZR=PR-N ０=0 ω从０变化到+∞时 ,ＺR ＝ＰR －２Ｎ 奈氏稳定判据注意事项：
开环稳定，闭环不一定是稳定的；反之开环不稳定，闭环有可能是稳定的。

对于最小相位的开环传递函数，并且开环增益大于零时，则只有三阶或三阶以上的闭环系统才可能不稳定。

虚轴上及原点上的开环极点为左极点。

当曲线通过（－１，j0）点时，表示闭环系统有极点位于虚轴上，为临界稳定状态，工程上归为不稳定。

若开环传递函数含有积分环节（即有位于原点的极点），当ω→０时，奈氏曲线沿某一坐标轴
趋向∞开环曲线不封闭，可以通过作辅助曲线（圆弧）后再进行判别，辅助曲线是一半径为∞的圆弧，从奈氏曲线的起始端开始反时针方向绕过λ×90o 和实轴相交后即可。

对于比较复杂的系统，不容易直接看出包围的圈数时，可采用“穿越”的概念：
所谓“穿越”是指奈氏开环曲线穿过（-1,j0）点左侧的实轴。

若由上向下穿越时为正穿越，反之由下向上穿越为负穿越。

穿越一次，则穿越次数为１，若曲线始于或止于（-1,j0）点左侧的实轴上时，则穿越次数为1/2。

穿越次数即为包围点的圈数，正穿越时为逆时针包围，圈数为正，反之负穿越则包围圈数为负。

5.4.2 对数稳定判据
对数稳定判据的原理
开环幅相频率特性在奈氏图上与单位圆相交的频率即为对数幅频特性曲线Ｌ（ω）和０ｄＢ线相交的幅值穿越频率ωc 。

在奈氏图上与负实轴相交的频率即为对数相频特性曲线Φ（ω）和-180o 线相交的相位穿越频率ωg 。

对数判据：正穿越为相角增大（向上）穿越-180o 线，负穿越则反之。

在ω从０变化到+∞时，在()0>ωL 的区段，穿越次数Ｎ＝正穿越次数Ｎ＋－负穿越次数Ｎ－。

与奈氏判据相类似地，２
Ｎ＝ＰR ，系统稳定，否则系统不稳定。

对数判据注意事项：
对于开环稳定系统，在ω从0变化到+∞时，在幅值大于０dB 的区间，若相角不穿越-180o 线，则系统稳定。

当()0=ωL 时正好发生相频曲线穿越-180o 线，系统临界稳定状态。

对于有积分环节的开环传递函数，应同样添补辅助线：在相频特性曲线上，从除积分环节外的其他环节在ω＝0时的相角和φ０开始连接到相频线的ω＝0＋处 (相位差:λ×90o)
5.5 控制系统的相对稳定性
幅值裕量
在相位穿越频率（ωg ）上使系统达到临界稳定所需要的附加增益量。

(
()︒
-=180g ωφ)
()(
)
g
g g j H j G K ωω1
=
以分贝表示时：
()()(
)g
g g g j H j G K dB K ωωlg 20lg 20-== 对于开环稳定的闭环系统，()()
1
<g g j H j G ωω，即Kg>1或Kg （dB ）>0时系统稳定，一般
Kg （dB ）>6dB ，(Kg>2)。

对于开环不稳定的闭环系统，则可能要求()(
)
1
>g g j H j G ωω，即Kg<1或Kg （dB ）<0时系统稳定。

相位裕量和幅值裕量应同时进行考虑，其中一项达到要求并不能说明系统的稳定储备就满足了。

对于开环为最小相位系统，应具有正相位裕量和正幅值裕量。

最小相位系统的幅值和相位有确定的对应关系，要求达到γ＝30︒～60︒ 、Kg （dB ）>6 dB ，则在幅值穿越频率处的斜率应大于-40dB/dec ，一般应为-20dB/dec ，否则幅值裕量达到了则相位裕量就无法达到。

影响系统稳定性的主要因素 ：
系统开环增益：降低系统开环增益，可增加系统的幅值和相位储备，从而提高系统的相对稳定性。

积分环节：积分环节越多，稳定性越差，一般开环系统中的积分环节不能超过２个。