2019高中数学 第一章 不等关系与基本不等式阶段质量评估 北师大版选修4-5

阶段质量评估(一) 不等关系与基本不等式
A 卷 (时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1
a
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当0＜ab ＜1时，若b ＞0，则a ＜1b ；若b ＜0，则b ＞1a .反之，a ＜1b ⇒a －1
b
＜0⇒b (ab －1)＜0.当b ＞0
时，ab ＜1；当b ＜0时，ab ＞1.同理，当b ＞1
a
时，若a ＞0，
则ab ＞1；若a ＜0，则ab ＜1.所以“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1
a
”的充分不必要条件．
答案：A
2．不等式|5x －x 2
|＜6的解集为( ) A ．{x |x ＜2或x ＞3} B ．{x |－1＜x ＜6} C ．{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}
D ．{x |2＜x ＜3}
解析：∵|5x －x 2
|＜6⇒－6＜5x －x 2
＜6⇔
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－5x －6＜0，x 2－5x ＋6＞0，
∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.
答案：C
3．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥|x －1－x |＋ |y －1－(y ＋1)|＝1＋2＝3. 答案：C
4．若关于x 的不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a ＝( ) A ．8 B ．2 C ．－4
D ．－8
解析：|ax ＋2|＜6⇒－8＜ax ＜4. 当a ＞0时，－8a ＜x ＜4a
.
∵解集是(－1,2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－8
a ＝－1，4a ＝2.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝8，
a ＝2，两值矛盾．
当a ＜0时，4a ＜x ＜－8
a
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＝－1，－8
a ＝2，得a ＝－4.
答案：C
5．若0＜x ＜12，则x 2
(1－2x )有( )
A ．最小值 1
27
B ．最大值 1
27
C ．最小值 1
3
D ．最大值 1
3
解析：x 2
(1－2x )＝x ·x (1－2x ) ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋x ＋1－2x 33＝127，
当且仅当x ＝1
3时取等号．
答案：B
6．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3
D ．7＋4 3
解析：由题意，得ab ＞0且3a ＋4b ＞0.所以a ＞0，b ＞0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab .所以4a
＋
3
b
＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b
≥
7＋2
4b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3a
b
，即a ＝4＋
23，b ＝3＋2 3 时等号成立． 答案：D
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．设a ，b ∈R ，给出下列条件：
①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2
＋b 2
＞2；
⑤ab ＞1.
其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件是________.
解析：对于①，a ，b 均可小于1；对于②，a ，b 均可等于1；对于④⑤，a ，b 均可为负数；对于③，若a ，
b 都不大于1，则a ＋b ≤2，与③矛盾．故若③成立，则“a ，b 中至少有一个实数大于1”成立．
答案：③
8．函数y ＝4sin 2
x ·cos x 的最大值与最小值的差是________. 解析：∵y 2
＝16sin 2
x sin 2
x cos 2
x ＝8(sin 2
x sin 2
x ·2cos 2
x )
≤8⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2
x 33＝8×827＝6427， 当且仅当sin 2
x ＝2cos 2
x ，即tan x ＝±2时取等号， ∴y 2
≤6427.∴y max ＝893，y min ＝－89 3.
∴y max －y min ＝169 3.
答案：169
3
9．设常数a ＞0，若关于x 的不等式9x ＋a 2
x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则实数a 的取值范围为________.
解析：由题意，可知当x ＞0时，f (x )＝9x ＋a 2
x
≥2
9x ·a 2
x
＝
6a ≥a ＋1，即a ≥15，当且仅当9x ＝a 2
x ，即x ＝a
3
时等号成立．
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫15，＋∞
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 10．(本小题满分10分)已知ab ≠0. 求证：lg |a |＋|b |2≥lg|a |＋lg|b |2.
证明：因为ab ≠0， 所以|a |＞0，|b |＞0.
由平均值不等式，得|a |＋|b |
2≥|a ||b |＞0.
因为函数y ＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数， 所以lg |a |＋|b |2≥lg |a ||b |＝lg|a |＋lg|b |
2，
当且仅当|a |＝|b |时等号成立． 故lg |a |＋|b |2≥lg|a |＋lg|b |
2
.
11．(本小题满分12分)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .
求证：
a a ＋1＋
b b ＋1＞c
c ＋1
. 证明：假设 a a ＋1＋b b ＋1≤c
c ＋1
， 则1－1a ＋1＋1－1b ＋1≤1－1c ＋1， 即1＋
1c ＋1≤1a ＋1＋1
b ＋1
. ∵(1＋a )(1＋b )(1＋c )＋(1＋a )(1＋b )≤(1＋b )(1＋c )＋(1＋a )(1＋c )， 即(c ＋2)(1＋a )(1＋b )≤(1＋c )(a ＋b ＋2)， ∴2ab ＋abc ＋a ＋b ≤c .
①
∵a ＋b ＞c ，a >0，b >0，c ＞0， ∴a ＋b ＋2ab ＋abc ＞c ，与①矛盾． ∴假设不成立． ∴
a a ＋1＋
b b ＋1＞c
c ＋1
成立． 12．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求实数a 的值； (2)若关于x 的不等式⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪f
x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2.
又关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意． 当a ＞0时，－4a ≤x ≤2
a
，则a ＝2.
(2)法一 记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2，
则h (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1，x ≤－1，
－4x －3，－1＜x ＜－12，
－1，x ≥－1
2
.
所以|h (x )|≤1.所以k ≥1.故实数k 的取值范围是[1，＋∞)．
法二 ⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪f
x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
＝||2x ＋1|－2|x ＋1|| ＝2⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x ＋1|≤1. 由关于x 的不等式⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪f
x －2f x
2≤k 恒成立，可知k ≥1.
所以实数k 的取值范围是[1，＋∞)．
B 卷 (时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x
(x ＜0)，则a 与b 的大小关系是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b
D ．a ≤b
解析：∵a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x
＜1(x ＜0)，∴a ＞b . 答案：A
2．设a ，b 是互不相等的正数，则下列不等式不恒成立的是( ) A ．(a ＋3)2
＜2a 2
＋6a ＋11 B ．a 2
＋1a 2≥a ＋1a
C ．|a －b |＋
1
a －b
≥2 D ．a ＋3－a ＋1＜a ＋2－a
解析：(a ＋3)2
－(2a 2
＋6a ＋11)＝－a 2
－2＜0，故A 恒成立．在B 项中，不等式的两侧同时乘a 2
，得a 4
＋1≥a
3
＋a ⇐(a 4
－a 3
)＋(1－a )≥0⇐a 3
(a －1)－(a －1)≥0⇐(a －1)2
(a 2
＋a ＋1)≥0.所以B 项中的不等式恒成立．对C 项中的不等式，当a ＞b 时，恒成立；当a ＜b 时，不恒成立．由不等式2
a ＋3＋a ＋1＜2
a ＋2＋a
恒成立，知D 项
中的不等式恒成立．
答案：C
3．已知x ＞0，y ＞0，则下列关系式成立的是( )
A ．(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)13
B ．(x 2＋y 2)12＝(x 3＋y 3)1
3
C ．(x 2＋y 2)12＜(x 3＋y 3)1
3
D ．(x 2＋y 2)12≤(x 3＋y 3)1
3
解析：假设(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)1
3成立，下面给出证明．
要证明(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)1
3
，
只需证(x 2＋y 2)3＞(x 3＋y 3)2
，
即证x 6
＋3x 4y 2
＋3x 2y 4
＋y 6
＞x 6
＋2x 3y 3
＋y 6
，即证3x 4y 2
＋3x 2y 4
＞2x 3y 3
. ∵x ＞0，y ＞0，∴x 2y 2
＞0. 即证3x 2
＋3y 2
＞2xy . ∵3x 2
＋3y 2
＞x 2
＋y 2
≥2xy ， ∴3x 2
＋3y 2
＞2xy 成立．
∴(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)13
.
答案：A
4．下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋4
x
B ．y ＝lg x ＋1
lg x
C ．y ＝x 2
＋1＋
1
x 2＋1
D ．y ＝sin x ＋1
sin x
(0＜x ＜π)
解析：y ＝x ＋4
x
≥24＝4，A 项错；当0＜x ≤1时，lg x ≤0，
B 项错；当x 2
＋1＝
1
x 2＋1时，x ＝0，不符合题意，y ＝x 2
＋1＋1x 2＋1
≥2的等号取不到，C 项错；y ＝sin x ＋
1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝1，即x ＝π
2时取等号，D 项正确． 答案：D
5．若△ABC 的三边长a ，b ，c 的倒数依次成等差数列，则( ) A ．∠B ＝π2
B ．∠B ＜π
2
C ．∠B ＞π
2
D ．∠B ＞π
3
解析：假设∠B ≥π
2
，则b 最大．有b ＞a ，b ＞c .
∴1a ＞1b ，1c ＞1b .∴1a ＋1c ＞2b ，与题意中的1a ＋1c ＝2b 矛盾．∴∠B ＜π2. 答案：B
6．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y
＝2，a ＋b ＝4，则2x ＋1y
的最大值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：依题意，得4＝a ＋b ≥2a b .则a b ≤4，即a 2
b ≤16，当且仅当b ＝a 2
＝4时等号可以取到．因为
x ＝log a 2，y ＝log b 2，所以2x ＋1y ＝2log 2a ＋log 2b ＝log 2a 2b ≤log 216＝4，即2x ＋1
y
的最大值为4.
答案：A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．使关于x 的不等式|x ＋1|＋k ＜x 有解的实数k 的取值范围是________. 解析：|x ＋1|＋k ＜x ，即|x ＋1|＜x －k ，
若x ≥－1时有解，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥－1，
x ＋1＜x －k 有解，则1＜－k 成立．故k ＜－1.若x ＜－1时有解，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＜－1，
－x －1＜x －k 有解，则
k －1
2
＜－1，即k ＜－1.综上，k ＜－1.
答案：(－∞，－1)
8．设函数f (x )＝|x －1|＋|2x －a |，若关于x 的不等式f (x )≥14a 2
＋1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围
是________.
解析：当a
2
＜1，即a ＜2时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－3x ＋a ＋1，x ＜a
2
，
x ＋1－a ，a 2
≤x ≤1，
3x －1－a ，x ＞1，
则有f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2＝
－12a ＋1≥14
a 2
＋1恒成立．解得－2≤a ≤0. 当a
2
＞1，即a ＞2时， f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－3x ＋a ＋1，x ＜1，
－x －1＋a ，1≤x ≤a 2，
3x －1－a ，x ＞a
2
，
则有f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1
2
a －1≥14a 2＋1恒成立，该不等式无实数解．
当a ＝2时，f (x )＝3|x －1|，则有f (x )min ＝f (1)＝0≥14a 2
＋1恒成立，该不等式无实数解．
综上，实数a 的取值范围是[－2,0]． 答案：[－2,0]
9．已知a ＞0，b ＞0，给出下列四个不等式： ①a ＋b ＋
1
ab
≥22；
②(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ≥4；
③a 2＋b 2
ab
≥a ＋b ；
④a ＋
1
a ＋4
≥－2.
其中正确的不等式有________.(只填序号) 解析：由a ＞0，b ＞0，得 ①a ＋b ＋
1
ab
≥2ab ＋1
ab
≥22ab ·
1
ab
＝2 2.
②(a ＋b )⎝
⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b
≥4ab · 1
ab
＝4.
③∵
a 2＋
b 22
≥
a ＋b
2
，
∴a 2
＋b 2
≥
a ＋b
2
2
＝(a ＋b )·
a ＋b
2
≥(a ＋b )ab .
∴a 2＋b 2ab
≥a ＋b .
④a ＋1a ＋4＝(a ＋4)＋1a ＋4
－4 ≥2
a ＋
1
a ＋4
－4＝2－4＝－2， 当且仅当a ＋4＝
1a ＋4
，即(a ＋4)2
＝1时等号成立，∵a ＞0， ∴(a ＋4)2
≠1.∴等号不能取得． 答案：①②③
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 10．(本小题满分10分)若n ∈N ＋，求证：1×2＋2×3＋…＋n n ＋＜
n ＋
2
2
.
证明：∵n n ＋
＜
n ＋n ＋12
＝
2n ＋1
2
，
∴1×2＋2×3＋…＋n n ＋
＜32＋5
2
＋…＋ 2n ＋12
＝n
＋2n ＋4
＝
n 2＋2n
2
＜
n ＋
2
2
.
故原不等式得证．
11．(本小题满分12分)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋
x ＋
x ＋1
的最小值．
解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0. ∴y ＝
x ＋
x ＋
x ＋1
＝
x ＋＋x ＋
＋1]
x ＋1
＝(x ＋1)＋5＋
4x ＋1
x ＋
x ＋当且仅当x ＋1＝
4
x ＋1
，即x ＝1时等号成立． ∴函数y 的最小值是9.
12．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m ∈R ，且关于x 的不等式f (x －2)≤0的解集为[－3,1]． (1)求实数m 的值；
(2)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥94
. (1)解：f (x －2)＝|x －2＋3|－m ≤0， 即|x ＋1|≤m ，
所以m ≥0，且－m ≤x ＋1≤m . 所以－1－m ≤x ≤－1＋m .
又原不等式的解集为[－3,1]，故m ＝2. (2)证明：由(1)，得m ＝2.则a ＋b ＋c ＝2.所以
1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝12(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝
14[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a a ＋b ＋a ＋b c ＋a ＋a ＋c b ＋c ＋b ＋c a ＋c ≥14×(3＋2＋2＋2)＝94，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立．。