高中数学 基础知识篇 第9章9.1数列的概念同步练测 湘

9.1 数列的概念 同步测试试卷（数学湘教版必修4）
建议用时 实际用时
满分 实际得分
90分钟
100分
一、选择题（每小题5分，共20分） 1.已知数列{a n }中，a 1=1，
1
n
n a a +=2，则此数列是（ ）
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.常数列
2. 把1，2，3，4，5，6六个数排成：①6，5，4，3，2，1；②1，2，3，4，6，5；③2，1，3，4，5，6.其中与数列1，2，3，4，5，6为同一数列的个数有（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3 3. 下列定义域为正整数集N +的函数：
①f （n ）=2n-1，②f （n ）=n 2
-n+1，③f （n ）=n 3-6n 2+13n-7，④f （n ）=-n 3
+6n-9n+5.
其中，能作为数列1，3，5，…的一个通项公式的是（ ）
A.①
B.①②
C.①③
D.①④
4. 已知a n =
98
99
n n --，则这个数列的前30项中最
大项和最小项分别是（ ） A.a 1，a 10 B.a 1，a 9 C.a 10，a 9 D.a 9，a 10
二.填空题(每小题5分，共10分)
5. 已知数列{a n }的通项公式为a n =3n 2
-20n ，则{a n }中的最小项为第 项. 6. 若数列{a n }的通项a n =1+
12+13+…+141
n +，则a n+1= .
三、解答题(共70分)
7.(20分) 已知{a n }是递增数列且对于任意的正整
数n ，a n =n 2
+λn 恒成立，求实数λ的取值范围.
8.(15分) 已知数列{a n }的通项为a n = (n+1)(
1011
)n
（n ∈N +），试问数列{a n }中有没有最大项？若有，求出最大项，并求出最大项是第几项；若没有，说明理由.
9.(15分) 已知函数f （x ）=2
21
x x +，设f （n ）=a n
（n ∈N +）.
（1）求证：a n <1；
（2）问：{a n}是递增数列还是递减数列？为什么？
10.(20分) 已知数列{a n}中，a1=1，a2=5，
a n+2=a n+1-a n，求a2 009.
9.1 数列的概念同步测试试卷（数学湘教版必修2）
答题纸
得分：一、选择题
题号 1 2 3 4
答案
二、填空题
5． 6．
三、解答题
7.
8.
9.
10.
9.1 数列的概念 同步测试试卷（数学湘教版必修2）
答案
一、选择题 1. B 解析：由
1
n
n a a +=2可知该数列的前一项是后一项的2倍，而a 1=1>0，所以数列{a n }的项依次减小为其前一项的一半，故为递减数列.
2. A 解析：判断同一数列应同时满足两个条件：①构成数列的元素全部相同；②这些元素排列的顺序也完全相同.本题中构成的数字虽然相同，但顺序不同，故不是同一数列.故选A.
3. C 解析：验证当n=1时，得到①②③④都有f （1）=1；当n=2时，得到①②③都有f （2）=3，而④不符合要求；当n=3时，得到①③都有f （3）=5，而②不符合要求.所以满足前三项为1，3，5的只有①③，故选C.
4. C 解析：变形得a n =1+
9998
99
n --，知a 1，a 2，…，a 9组成递减数列，a 10，a 11，…，a 30组成递减数
列，计算知a 1<a 10，a 9<a 30，故a 10最大，a 9最小.
二、填空题
5. 3 解析：∵ a n =3n 2
-20n=3（n-103）2-1003
，
∴ 当n=
10
3
时，a n 取最小值. ∵ n ∈N +，∴ n=
9
3
=3，即最小项为第3项. 6. 1+
12+13+…+141n + +142n ++143n ++144n ++1
45
n + 解析：其内在规律是分母是正整数，是连续的，增加了4项，所以a n+1=1+
12+13+…+141n + +142n ++143n ++144n ++1
45
n +. 三、解答题
7. 解：由数列{a n }递增得到a n+1-a n >0对于一切n ∈N +恒成立，即2n+1+λ>0恒成立. 所以λ>-（2n+1）对一切n ∈N+恒成立. 设f （n ）=-（2n+1），则只需求出f(n)的最大值即可.
显然f(n)有最大值f （1）=-3，所以λ的取值范围是λ>-3. 8. 解：a n+1-a n =（n+2）（
1011）n+1-（n+1）（1011）n =（1011）n ·911
n
-.当n<9时，a n+1-a n >0，即a n+1>a n ；当n=9时，a n+1-a n =0，即a n+1=a n ；当n>9时，a n+1-a n <0，即a n+1<a n .
故a 1<a 2<a 3<…<a 9=a 10>a 11>a 12>….
∴数列中有最大项，最大项为第9，10项，即a9=a10=
10
9 10
11
.
9. （1）证明：由题可得a n=
2
21
n
n+
=
2
2
11
1
n
n
+-
+
=1-
2
1
1
n+
.
∵ n2+1>1，∴ a n<1.
（2）解：a n+1-a n=
2
2
(1)
(1)1
n
n
+
++
-
2
21
n
n+
=
2222
22
(1)(1)[(1)1]
(1)[(1)1]
n n n n
n n
+•+-++
+++
=
22
21
(1)[(1)1]
n
n n
+
+++
.
由n∈N+，得a n+1-a n>0，即a n+1>a n.
∴数列{a n}是递增数列.
10.解：由a n+2=a n+1-a n，得a n+3=a n+2-a n+1. 两式相加，得a n+3=-a n.
再进行递推，得a n+6=-a n+3=a n，
故数列{a n}是周期为6的数列.
所以a2 009=a5=a4-a3=a3-a2-a3=-a2=-5.。