河北省枣强中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案

2015-2016学年高三第一学期期中考试
文科数学 试卷 本试卷第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间：120分钟
第I 卷（选择题）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合P={x|y=lg （2﹣x ）}，Q={x|x 2﹣5x+4≤0}，则P∩Q=( )
A ．{x|1≤x＜2}
B ．{x|1＜x ＜2}
C ．{x|0＜x ＜4}
D ．{x|0≤x≤4}
2. 已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3. 函数f （x ）=ln （x 2+1）的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 4. 己知
，则m 等于（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5. 函数()20.5log (4)f x x =-的单调递增区间是（ ）
A ．(),0-∞
B ．(,2)-∞-
C ．()0,+∞
D ．(2,)+∞
6. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有
()()2f x f x +=-，若()12f =，则(2015)f =（ ）
A ．-2
B ．2
C ．2013
D ．2012
7. 设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则（ ）
A ．c a b <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
8. 已知函数f （x ）＝131()2
x x －, 那么在下列区间中含有函数f （x ）零点的是（ ） A ．（23，1） B ．（12，23） C ．（13，12） D ．（0，13
） 9. 若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ
文科数学试卷 第1页 （共4页）
的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.38π D.34
π 10. 向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1），若与夹角为钝角，则λ取值范围是（ ）
A ． （，2）∪（2，+∞）
B ． （2，+∞）
C ． （﹣，+∞）
D ． （﹣∞，﹣）
11. 如图，甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是（ ）
A ．3
340 B ．320 C ．40 D ．210
12. 己知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，
()()22f x f x +=-，()41f =，则不等式()x f x e <的解集为( )
A ()2,-+∞
B ()1,+∞
C ()4,+∞
D ()0,+∞
第II 卷（非选择题）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________．
14.双曲线1y x
=上任一点的切线与坐标轴围成的面积为_____. 15．已知α为第二象限的角，sin α＝35
，则tan 2α＝________. 16. 已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,1,,1,41)(x a x x a x f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________.
三、解答题（本大题共6小题， 共70分）
17(10分)已知向量a ＝(sin x ，32
)，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；
(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2
，0]上的最大值．
18.（12分）已知命题p ： x R ∃∈，2+20x x m -=；
命题q ：2,10x mx mx ∀∈++>R .
（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；
（3）若命题p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.
19.（12分）已知偶函数()f x 的定义域为[1,1]-，且f(-1)=1,若对任意[]1212,1,0,,x x x x ∈-≠
都有()()1221
0f x f x x x ->-成立. （1）解不等式1
()(1)2f x f x +<-；
（2）若2
(x)t 21f at ≤-+对[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围.
20.（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足． （1）求角A 的大小；
（2）若
，求△ABC 面积的最大值．
21.（12分）已知R a ∈,函数x ax x f ln 2
1)(2-=. (1) 当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线的斜率；
(2) 讨论)(x f 的单调性；
(3) 是否存在实数a ，使得方程2)(=x f 有两个不等的实数根？若存在，求出a 的取值范
围；若不存在，说明理由.
文科数学试卷 第3页 （共4页）
22.（12分）已知函数f（x）=x•lnx（e为无理数，e≈2.718）
（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（2）设实数a＞，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；
（3）若k为正数，且f（x）＞（k﹣1）x﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大整数值．
文科数学试卷第4页（共4页）
高三文数参考答案
一、选择题：1-6 ADAABA 7-12 DCCAAD
二、填空题： 13. 2105 14. 2 15. －247 16. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛41,0 三、解答题：
17. 解： (1)∵a ∥b ，∴32
cos x ＋sin x ＝0， ∴tan x ＝－32
， 2cos2x －sin 2x ＝2cos2x －2sin xcos x sin2x ＋cos2x ＝2－2tan x 1＋tan2x ＝2013
. ……………………5分 (2)f(x)＝(a ＋b)·b＝
22sin(2x ＋π4)． ……………………7分 ∵－π2≤x≤0，∴－3π4≤2x＋π4≤π4
， ∴－1≤sin(2x＋
π4)≤22， ……………………9分 ∴－22≤f(x)≤12
， ∴f(x)max ＝12
. ……………………………10分 18.解：（I ）若命题p 为真命题，则22040,1x x m m m +-=∴∆+≥∴≥-有实根，＝4 即m 的取值范围为[1,)-+∞ ……………………………………4分 （II ）若命题q 为假命题，则
（1）0m =时,不合题意 ；
（2）2040,4m m m m >∆-≥≥时,=得 ；
（3）0m <时,合题意。

综上：实数m 的取值范围为(,0)[4,)-∞⋃+∞ ……………………………8分 （III ）由（I ）得p 为真命题时，1m ≥-；p 为假命题时，1m <-，………9分 由（II ）得q 为真命题时，04m ≤<；q 为假命题时，04m m <≥或，……10分 p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，∴ “p q 真,且假”或“p q 假,且真” ∴ 11{{04
04m m m m m ≥-<-≤<<≥或或
解得实数m 的取值范围为[1,0)[4,)-⋃+∞ . …………………………12分
19.解：（1）由对任意[]1212,1,0,,x x x x ∈-≠都有()()1221
0f x f x x x ->-成立知，()f x 在[]1,0- 上单调递减，又()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，所以
11()(1)()(1)22f x f x f x f x +<-⇔-+<--1112111112x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪⎪⇔-≤-≤⎨⎪⎪-+>--⎪⎩
，⇔410<≤x 故不等式1()(1)2f x f x +<-的解集为10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. ……………………………6分
(2)由已知max ()(1)1f x f =-=，又2(x)t 21f at ≤-+对[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-恒成立， 所以22
12120t at at t ≤-+⇔-≤，在[]1,1a ∈-上恒成立， 只需222020
t t t t ⎧--≤⎪⎨-≤⎪⎩，即t=0或2t ≤-或2t ≥，所以实数t 的取值范围是(]{}[),202,-∞-+∞. ……………………………12分
20.解：（Ⅰ）∵
，
所以（2c ﹣b ）•cosA=a•cosB
由正弦定理，得（2sinC ﹣sinB ）•cosA=sinA•c osB ．…………………………2分
整理得2sinC•cosA﹣sinB•cosA=sinA•cos B ．
∴2sinC•cosA=sin（A+B ）=sinC ． …………………………4分
在△ABC 中，sinC≠0． ∴，． …………………………6分 （Ⅱ）由余弦定理，．…………………………8分
∴b 2+c 2﹣20=bc≥2bc﹣20 ∴bc≤20，当且仅当b=c 时取“=”． …………………………10分
∴三角形的面积
． ∴三角形面积的最大值为． …………………………12分
21.解:（1）当1=a 时，01)(>-='x x
x x f ， 0)1(='=∴f k 所以曲线y=f (x)在点))1(1(f ，处的切线的斜率为0. …………………………3分 (2)011)(2>-=-='x x
ax x ax x f ， …………………………………………4分 ① 当)0()(,0)(0∞+<'≤，在时，x f x f a 上单调递减； ………………………5分 ② 当a
a x x f a =='>解得时，令,0)(0. 0)()(0)()0(>'∞+∈<'∈x f a
a x x f a a x 时，，；当时，，当. 内单调递增，内单调递减；在，在函数)()0()(∞+∴a
a a a x f ………………7分 （3）存在)0(3
e a ，∈，使得方程2)(=x
f 有两个不等的实数根. ………………8分 理由如下： 由（1）可知当)0()(,0)(0∞+<'≤，
在时，x f x f a 上单调递减，方程2)(=x f 不可能有两个不等的实数根； ………………………10分 由（2）得，内单调递增，，内单调递减，在，在函数)()0()(∞+a
a a a x f 使得方程2)(=x f 有两个不等的实数根，等价于函数)(x f 的极小值2)(
<a a f ，即2ln 2121)(<+=a a a f ，解得30e a <<
所以a 的取值范围是)0(3
e ， ………………………………12分
22.解：⑴∵()(0,)()ln 1,()()2f x f x x f e e f e ''+∞=+==定义域为又 ():2(),2y f x e y x e e y x e ∴==-+=-函数在点(，f(e))处的切线方程为即………4分
（2）∵()ln 1f x x '=+()0f x '=令1x e =得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
当时,()0F x '<，()f x 单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0F x '>，()f x 单调递增. 当min 1
,()[,2],[()]()ln ,a f x a a f x f a a a e ≥==时在单调递增
min 111112,[()]2a a a f x f e e e e e ⎛⎫<<<<==- ⎪⎝⎭
当时,得 ………………8分 （3）()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立，
即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立， 即
ln 1x x x k x +>-对任意1x >恒成立 令2
ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x -=-->⇒=
>⇒在(1,)+∞上单调递增。

∵(3)1ln 30,(4)2ln 40,h h =-<=->
∴所以()h x 存在唯一零点0(3,4)x ∈，即00ln 20x x --=。

…………………10分 当0(1,)x x ∈时，0()()0'()0h x h x g x <=⇒<；
当0(,)x x ∈+∞时，0()()0'()0h x h x g x >=⇒>；
∴()g x 在0(1,)x x ∈时单调递减；在0(,)x x ∈+∞时，单调递增； ∴0000min 0000(ln 1)(1)[()]()11
x x x x g x g x x x x +-====--由题意min 0[()]k g x x <=，又因为k Z ∈，所以k 的最大值是3 …………………12分。