关于丢番图方程(an)^x+(bn)^y=(cn)^z

１ 引 言
设 （ ， ｚ）是 本原 商高 数组 ．Ｊｅｇｍａｎｏｗｉｃｚ［ 】曾猜 想对 于任意 正 整数 ｎ，丢番 图方 程 （礼 ） ＋（ｎＹ）ｙ＝ （ｎＺ） 只有正整数解 （ ，Ｙ，Ｚ）＝ （２，２，２）．这是与商高数组有关的未解 决 问题 之 一．很 多数 论工 作 者都 研 究过 该猜 想 ．虽 然 在很 多特 殊情 况 下，Ｊｅｇｍａｎｏｗｉｃｚ猜 想 是正 确 的，但 一般情 形仍 未解 决 ．与 Ｊｅｇｍａｎｏｗｉｃｚ猜想 相类似 的 另一个 问题 是找 出满 足 丢 番 图方 程 ａ ＋ｂｙ＝ Ｃ 只有 正整 数解 （Ｘ，Ｙ， ）＝ （１，１，１）的所 有 三元 正 整数 组 （ａ，ｂ，ｃ）． ２０１２年 ，Ｍｉｙａｚａｋｉ和 Ｔｏｇｂ６［２Ｊ证 明了对 于 任意 一个 奇整 数 ｂ≥ ５且 ｂ≠ ８９，丢番 图方 程 ｂ ＋２ｙ＝ （ｂ＋２） 只有正 整数 解 （Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝ （１，１，１）．２０１３年 ，汤 敏和 杨全会 ［３】考虑 了丢 番 图方程 （ｂｎ）。＋（２ｎ）ｙ＝ （（６＋２）ｎ） ，证 明 了若 ｂ是 一个 不小 于 ５的奇 整数 且丢番 图方 程 （ｂｎ） ＋（２ｎ）ｙ＝（（６＋２）佗） 有正整数解 （ ，Ｙ，Ｚ）≠（１，１，１），则 Ｙ＜ ＜ｘ或 ｘ≤ ＜Ｙ．相 关 问题可 参考 文 『４－６１．
Ｅ－ｍ ａｉｌ：ｃｕｉｆａｎｇｓｕｎ＠ １６３．ｃｏｒｎ ；ｔｍ ｚｚｚ２０００＠ １６３．ｃｏｒｎ
本文 受到 国 家 自然 科 学 基 金 （Ｎｏ．１１ 金 （Ｎｏ．２０１２ｘｍｐｙ００９ Ｎｏ．２０１４ｘｍｐｙｉ１）的 资 助 ．
本文 推 广了汤 敏和 杨全 会 的结论 ＿２Ｊ．
定理 １．１ 设 他，ａ，ｂ，Ｃ是正 整数 ，ｇｃｄ（ａ，ｂ，ｃ）＝ １，ａ，ｂ≥３，且设 丢番 图方程 ａ ＋ｂｙ＝ Ｃ 只有正整数解 （Ｘ，Ｙ， ）＝（１，１，１）．若 （Ｘ，Ｙ， ）是丢番图方程
（ａｎ） ＋（ｂｎ） ＝ （ｏｎ）
（１．１）
本 文 中，对 干正整数 ｎ和 素数 Ｐ，若 非负整数 ｅ满足 Ｐ 整除 ｎ，但 ＋ 不 能整除 ｎ，我 们把 ｅ记为 （佗）．对 于正整数 ａ和 ｍ 满足 ｇｃｄ（ａ，ｍ）＝ １，则使得 同余式 ａ 三１（ｍｏｃｌ ｍ） 成立 的最小 正整数 九我们记 为 ｏｒｄｍ（ａ）．
２ 定理 １．１的证明
是 正整 数．于是 我们可得
ｔ
ｔ
（１１ ｑｉ ） ＋ ＝Ⅱｑ ，
ｉ＝ １
ｉ＝ １
（２．１）
其 中 １，… ， 是 非负整 数． 由 ａ，ｂ≥ ３知，等 式 （２．１）的左边 不小 于 ６，因此 一定存 在
ｉ∈｛１，… ， ｝，使得 ≥１．
若 兀 ｑ ＝２ ，则 １≥３且 ｂ是奇数．于是由 （２．１）可得 （一ｂ） ＋ｂ 三０（ｍｏｄ ４），因
（。佗） ＋（６礼） ≤ （。扎） ＋（６咒） ＜（（ｎ＋６）ｎ）。＝ （ｃｎ） ， 矛盾．因此我们有 ２≤ｚ＜ｍａｘ｛ｘ， ）．现在我们根据 ，Ｙ，ｚ的值分三种情况讨论．
情 况 １ ｚ＜Ｘ：Ｙ．此 时丢番 图方 程 （１．１）可改写 为
一 （ａ ＋ｂ ）＝ （ａ＋６） ．
ｔ
设 ａ＋ｂ＝ 丌 ｑ 是 ａ＋ｂ的标准分解式，其中 ｑｌ，… ，ｑｔ是互不相同的素数， １，… ，ＯＺｔ
数 学 年 刊 Ａ 辑 ２０１８，３９（１）：８７－９４ ＤＯＩ：１０．１６２０５／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃａｍａ．２０１８．０００９
关于丢番图方程 （ａｎ） ＋ （ｂｎ）ｙ＝ （ｏｎ） 冰
孙 翠芳 汤 敏
提 要 设 札，ａ，ｂ，Ｃ是 正整数 ，ｇｃｄ（ａ，ｂ，ｃ）＝ １，ａ，ｂ ≥ ３，且 丢番 图方程 ａ ＋ ｂＹ ＝ Ｃ 只有正整 数解 （ｚ，Ｙ， ）＝ （１，１，１）．证 明了若 （ｚ，Ｙ， ）是丢番 图方程 （ｏｎ） 十 （ｂｎ）ｙ＝ （ｏｎ） 的正整数解 且 （ｚ，Ｙ，Ｚ）≠ （１，１，１），则 Ｙ＜ Ｚ＜。或 ＜ Ｚ＜Ｙ．还证明了当 （ａ，ｂ，Ｃ）＝ （３，５，８），（５，８，１３），（８，１３，２１）， （１３，２１，３４）时，丢番 图方程 （ａｎ） ＋ （ｂｎ）ｙ＝ （ｃｎ） 只有 正整 数解 （ｚ，Ｙ，Ｚ）＝ （１，１，１）． 关键词 Ｊｅ￣ｍａｎｏｗｉｃｚ猜想，丢番图方程，Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ序列 Ｍ Ｒ （２０００）主题分 类 １１Ｄ６１，１１Ｂ３９ 中图法分类 Ｏ１５６ 文献标志码 Ａ 文章编号 １０００—８３１４（２０１８）０１—００８７—０８
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数 学 年 刊 Ａ 辑
３９卷
注 １．１ 设 ｆ １是 Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ序列 ，它的递推 关 系式为
Ｆ０＝ ０， Ｆ１＝ １， ＋２＝ Ｆｋ＋１＋ ， ≥ ０．
由定 理 １．２知，当 ＝ ４，５，６，７时，对 于所 有正 整数 ｎ，丢番 图方 程 （ 凡） ＋ （ ＋１ｎ） ＝ （Ｙｋ＋２ｎ） 只有正 整数解 （Ｘ，Ｙ，ｚ）＝ （１，１，１）．
的正 整数 解且 （Ｘ，Ｙ， ）≠ （１，１，１），则 Ｙ＜ｚ＜ｘ或 ＜ｚ＜Ｙ．
定理 １．２ 若 （ａ，ｂ，Ｃ）＝ （３，５，８），（５，８，１３），（８，１３，２１），（１３，２１，３４），则 丢番 图方 程 （１．１）只 有正整 数解 （ ，Ｙ， ）＝ （１，１，１）．
本 文 ２０１５年 ４ 月 ６ 日收 到 ，２０１６ 年 ５月 １ 日收 到 修 改 稿 ． 安 徽师 范大学数学计算机科学学 院，安徽 芜湖 ２４１００３．
设 ｎ＞ １．若 （Ｘ，Ｙ，Ｚ）是 丢番 图方程 （１．１）的正 整数解 且 （ｚ，Ｙ，ｚ）≠ （１，１，１），则 ≥ ２． 否则 的话，若 ｚ＝ １，则 有
（ａｎ） ＋ （ｂｎ） ＞ａｎ＋ｂｎ （ｃｎ） ， 矛盾．同时我们也可得到 Ｚ＜ｍａｘ｛ｘ， ）．否则的话，若 ｚ≥ｍａｘ｛ｘ， ｝，则有