实数单元复习与测试题三套(含答案)

实数单元复习与测试题三套(含答案)
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《实数》复习与回顾
一、知识梳理
1.平方根
（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的的算术平方根是_____。

（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数x 就叫做a的_______。

（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。

（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。

2.立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的立方根。

（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。

正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。

（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。

3.实数
（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。

（2）实数的定义： _____和_____统称实数。

（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。

（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。

（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。

4.实数的运算：
（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。

（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平
方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为__________；__________。

二、考点例析
考点1 平方根、立方根的定义与性质
例1 （1）下列各数是否有平方根若有，求出其平方根；若没有，说明理由。

①625 ②（－2）2 ③（－1）3
（2）下列各数是否有立方根若有，求出其立方根。

①27
1 ②－343 ③－2
2 分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直
到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。

（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。

解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±625=±25；②因为
（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±
2)2(-=±2；③因为（－1）3=－1<0, 故其不存在平方根。

（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。

①3
12713=； ②73433-=- ； ③－22的立方根34-。

说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。

考点2 实数的分类与性质
例2 下列各数中： －4
1，7，, －π,310,－34,0,0.⋅3,38,16,2.… 其中有理数有__________________________；
无理数有__________________________。

分析：对于38、16等应先化简再判断。

解：有理数：－4
1，,0,,38,16 无理数有：7,－π,
310,－34,2.…… 说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。

例3 12-的相反数是 ；11-的绝对值是 ；－121
81的倒数是 。

分析：如果a 表示一个正实数，那么－a 就表示一个负实数，a 与－a 互
为相反数；0的相反数依然是0。

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

非零实数a 的倒数是a
1。

解：12-的相反数是1－2；11-的绝对值是11；－
12181=－119，所以－
12181的倒数是－911。

说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒
数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。

考点3 实数的运算
例4 （1 （2）化简)22(28+-得（ ）
（A ）－2 （B ）22- （C ）2 （D ）224-
分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。

解：（1）原式=×)51(22545-÷-=4
1757541)5(154551=+=-⨯-⨯；
（2）)22(28+-2=-2=-=－2。

故选（A ）。

说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依
然是从高级到低级。

值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。

考点4 非负数
例5 已知x ，y
23(2)0y -=，则x y -的值为（ ）.
（A ）3 （B ）－3 （C ）1 （D ）－1
分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即
正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。

它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。

利用这个性质可解本题，
解：由题意，得10x -=，20y -=，即1x =，2y =，所以1x y -=-。

故选（D ）。

说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。

考点5 数形结合题
例6 已知实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a －b ｜－｜a ＋b ｜
分析：要化简｜a －b ｜－｜a ＋b ｜，需根据数轴上a 、b 的位置判断a －b 和a+b 的符号。

解：因为a>0，b<0，且∣a ∣<∣b ∣，所以a －b>0，a+b<0，
所以原式=（a －b ）+（a+b ）=a －b+a+b=2a
说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。

考点6 探究题
例7 阅读下列解题过程：
()()221⨯===-b a 0
()()
22 1⨯
===
-
请回答下列问题：
（1
= ()2n ≥
（2）、利用上面所提供的解法，请化简：
10++++ 分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。

解：（1
=n n -+1。

（2）原式=91045342312-+⋅⋅⋅+-+-+-+-=110-。

说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。

三、易错点例析
1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透
理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“±”成了平方根等等。

例1 （1）求64
1的平方根 （2）求81的算术平方根 错解：（1）2
5425416==；（2）81的算术平方根是9 错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中81=9，81的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。

正确解法：（1）2
5425416±=±=±；（2）81的算术平方根是3。

例2 求64与－27的立方根。

错解：64的立方根是±4，－27没有立方根。

错解分析：64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为
相反数，是与正数的平方根相混淆；－27的立方根是－3，错
误地认为－27没有立方根是与负数没有平方根相混淆。

正确解法：因为43=64，所以64的立方根是4。

因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3。

2、忽略平方根成立的条件
只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。

例3 当m 取何值时，2m -有意义
错解：不论m 取何值时，2m -都无意义。

错解分析：考虑不全，漏掉了m=0时的情况。

正确解法：当m=0时，－m 2=0，此时2m -有意义。

3、实数分类时只看表面形式
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。

例4 下列各数－2、
3π2、51、38中无理数有 ．
错解：无理数有
3
π2、38。

错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。

其实能化简的应先化
－32=7，38=2，所以它们是有理数。

正确解法：无理数有
3π 4、运算错误
在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。

例5 化简（1）5a a 9- （2）)25()9(-⨯-
错解：（1）5a a 9-=5a a 3-=2；
（2）)25()9(-⨯-=)25()9(-⨯-=（－3）×（－5）=15
错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了a 从而出错；（2）中忽略
了公式b a b a ⋅=⋅的应用条件，即a≥0，b≥0，因为负数没有平方根，虽然最后结果正确，但解法是错误的。

正确解法：（1）5a a 9-=5a a 3-=2a ； （2）)25()9(-⨯-=259⨯=259⨯=3×5=15。

四、考点链接
中考中对于实数一章的考查，其题型主要有选择题、填空题、解答题。

近几年题型变化比较大，创设了一些新的情境，考查学生灵活运用所学知识的能力，这也是近几年考查的热点和趋势。

下面是2007年各省市关于实数的中考题的归类说明。

1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题
（1）（资阳市）如果某数的一个平方根是－6，那么这个数为________．
（2的平方根是 ．
（3）(南京市)1
4的算术平方根是（ ）
Ａ．12
- Ｂ．12
Ｃ．12
±
Ｄ．1
16
（4）(遵义市)8的立方根是 ． （5）(永州市)错误!＝________。

（6）（南宁市）若2(1)10x +-=，则x 的值等于（
）
A ．1±
B ．2±
C ．0或2
D ．0或2
-
分析：本组题目主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，其中（6）小题与方程相结合，可由2(1)10x +-=得（x+1）2=1，又由（±1）2=1得x+1=±1，再进一步求出x 即可。

解：（1）36；（2）±2；（3）选B ；（4）2；（5）；（6）选D 2、考查实数的有关概念及实数大小的比较 （7）(金华市
的相反数是 ．
（8）（旅顺口）如图，在数轴上，A B ，两点之间表示整数的点有
个．
（9
的点的距离最近的整数点所表示的数是 ．
（10）(河北省)比较大小：
“＞”、“＝”或“＜”） （11）(广州市)
下列各数中，最小．．的数是（ ） A ．－2 B ．－1 C ．0 D (12)(中山市)在三个数、
35、3
1
-中，最大的数是（ ）。

A 、 B 、
35 C
、3
1
- D 、不能确定 分析：涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等实数的有关概念及实数大小
的比较历来是中考考查的基本内容。

实数进行大小比较的基本原则是：数轴上右边的数总是大于左边的数。

解：（7）；（8）4；（9）2；（
10）＜；（11）A ；(12) B 3、考查非负数的性质及其应用
（132(5)0b +=，那么a b +的值为 ． 分析：先根据非负数的性质求出a 、b 的值，然后代入代数式求解即可。

解：由题意，得a －2=0，b+5=0，即a=2，b=－5，所以a b +=2+(－5)=－3。

故a b +的值为－3。

4、考查实数的化简与运算
（14）（潍坊市）化简40的结果是（ ）
A ．10
B ．210
C ．45
D ．20
（15n 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（16）（南京市）下列各数中，与 ）
Ａ．2+Ｂ．2-
Ｃ．2-
（17）（荆门市）下列计算错误的是( )
A ．27714=⨯
B ．32560=÷
C ．a a a 8259=+ D.3223=-
（181-＝ .
（19）（黄冈市）计算：（5+2）（5－2）= （20）（临沂市）计算}483
1
3
75(12-+的结果是（ ） A ．6
B ．43
C ．263+
D ．12
（21）（嘉兴市）计算：8＋(－1)3－2×2
2．
分析：中考中，有关实数运算的题目一般难度不大。

要注意：化简时把能
开得尽方的因数都开出来，使结果成最简形式；运算时一定要注意运算顺序，另外，应用乘法公式可简化计算，如（19）小题可使用平方差公式。

解：（14）B ；（15）D ；（16）D ；（17）D （18）1；（19）1；（20）D ；（21）原式=212212-=--
第13章《实数》随堂小测（A 卷）
（本试卷满分100分）班级_______ 姓名_______ 分数_______
一、仔细选一选：（每题4分，共24分）
1．16的平方根是
A、4
B、－4
C、±4
D、±2
2．立方根等于3的数是（）
A、9
B、9
±
±C、27D、27
3、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有
-是17的平方根。

其中正确的有理数；③负数没有立方根；④17
（）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
4、下列各式中，正确的是（）
A. 2)2(2-=-
B.332=-
C. 393-=-
D. 3
9±=±
5、估计76 的大小应在( )
～8之间 之间 C. ～之间 D. ～之间 6、下列计算中，正确的是（ ）
3+32=55 B.（3+7）·10=10·10=10
C.（3+23）（3－23）=－3
D.（b a +2）(b a +2)=2a +b 二、细心填一填：（每题5分，共30分）
12-的相反数是 ；绝对值是 。

2、下列各数：1
2、0.32、π、－7
22、…中是无理数的有_____________.
3； 32．
4、利用计算器计算142.3≈ ；382≈ （结果保留4个有效数字）。

5、一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，则a 的值为____________．
6、绝对值小于7的整数有____________． 三、用心解一解：（共46分）
1、求下列各式中未知数x 的值（每小题4分，共8分）
（1）2
16250x -= （2）()3
18
x -=
2、化简（每小题5分，共20分）
（1）48－33 （2）12×3+5 （3）
3
1
(212－75) （4）)52)(53(-+
3、（8分）用铁皮制成一个封闭的正方体，它的体积是立方米，需要多大面积
的铁皮才能制成
4、（10分）观察
=== =
=== 即=；猜想：么，并通过计算验证你的猜想。

随堂小测（A 卷）答案： 一、CCBDCC
二、1、2－52- 2、π、… 3、＜；＞
4、；
5、－2
6、－2、－1、0、1、2 三、1、（1）x=±
2
5
（2）x=3 2、（1）原式=333343331633316=
-=-⨯=-⨯
（2）原式=11565365312=+=+=
+⨯；
（3）原式=2
1542542753
11231-=-=-=⨯-⨯； （4）原式=6－3515525-=-+ 3、设正方体的边长为
x
米，则
x 3=，x=，×6=平方米。

4265
2652526125⨯==526
5。

第13章《实数》随堂小测（B 卷）
（本试卷满分100分） 班级_______ 姓名_______ 分数_______ 一、仔细选一选：（每题4分，共20分） 1、81的平方根等于（ ）
（A ）9 （B ）±9 （C ）3 （D ）±3 2、下列说法正确是（ ）
A 不存在最小的实数
B 有理数是有限小数
C 无限小数都是无理数
D 带根号的数都是无理数 3、下列计算正确的是（ ）
A ．－=1 C ．=2 4、若m 是9的平方根，n=（3）2，则m 、n 的关系是（ ）
（A ）m=n （B ）m=－n （C ）m=±n （D ）｜m ｜≠｜n ｜ 5、已知738.128.53=，1738.03=a ，则a 的值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 二、细心填一填：（每题5分，共25分） 1、请你任意写出三个无理数： ；
2、满足32<<-
x 的整数是 ．
3、化简
644
⨯得
4、若031=-++y x ,则x=________，y=________.
5、观察下列式子，根据你得到的规律回答：
=3；= 33；
=333；…….请你说出
的值是 ．
三、用心解一解：（共55分） 1、计算：（1）（61154452012535
（2）（7分）122323
-++-
2、（10分）若xy=－2,x －y=52－1,求(x+1)(y －1)的值。

3、（10分）已知2a－1的平方根是±3，3a+b－1的平方根是±4，求a+2b的平方根.
4、（1）计算（12分）____32=,____7.02=,
____)6(2=-,____)2
1
(2=-,____)28.0(2=-,____02=。

（2）（6分）根据（1）中的计算结果可知，2a 一定等于a 吗你发现其中的规律了吗请你用自己的语言描述出来。

（3）（4分）利用上述规律计算：2)14.3(π-= 。

随堂小测（B 卷）答案： 一、DADCC
二、1、答案不唯一，如,5,23π等。

2、－1 0 1. 3、66.
4、－1，3.
5、33…3(共n 个3)
三、1、（1）原式=3525555=-+-。

（2）原式=322312-+-+-=1。

2、(x +1)(y －1)=xy －x+y －1= xy －(x －y)－1
=－2－(52－1)－1=－2－52+1－1=－62
3、由2a －1的平方根是±3得2a －1=9，故a=5；由3a+b －1的平方根是±4得3a+b －1=16，故3×5+b －1=16，得b=2。

所以a+2b=5+2×2=9，它的平方根是±3.
4、（1）3，，6，21
，，0.
（2）不一定等于a.规律：当a≥0时2a =a ，当a≤0时2a =－a. （3）由－π≤0得2)14.3(π-=－（－π）=π－.
第13章《实数》实战演练
（本试卷满分100分）
班级_______ 姓名_______ 分数_______
考场秘诀：谁沉着、冷静、认真、细心，谁就一定能够在考场上赢得最大的胜利！！祝你成功！！
一、 仔细选一选：（每题3分，共30分）
1．下列实数: 3
2-，0，141592.3-,•59.2，2π
，25，3， 0．0……中,无理数
有( )个．
2．25表示的意义是( )
的立方根 的平方根 的算术平方根 的算术平方根 3．下列语句正确的是( )
A. －2是－4的平方根;
B. 2是(－2)2的算术平方根;
C. (－2)2的平方根是2;
D. 8的立方根是±2． 4．下列各数中，互为相反数的是( )
A.－2与2)2(-；
B.－2与38-；
C.－2与2
1
-； D.2-与2． 5.算术平方根等于它本身的数是（ ）
A .1和0
B .0
C . 1
D . 1±和0
6. 某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图1），即“以数轴的单位线段为边做一个正方形，然后以O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x 轴上于一点A”。

则OA 的长就是2个单位长度，想一想：作这样的图可以说明什么 A.数轴上的点和有理数一一对应 B.数轴上的点和无理数一一对应 C.数轴上的点和实数一一对应 D.不能说明什么
7．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图2: 则化简 c b a +-的结果是( )
－b －c; －b+c; C.－a+b+c; D.－a+b －c ． 8．绝对值小于5的所有实数的积为 ( ) ; ; ; D. 10
9、若实数x 满足｜x ｜+x=0，则x 是（ ）。

A. 零或负数
B. 非负数
C. 非零实数
D.负数． 10. 11的整数部分为a ，小数部分为b ，则b 2为( )
A ．2
B ．20
C ．20－611
D ．20+611
二、细心填一填（每题4分，共32分） 1、－3的倒数是________，绝对值是________
图2
2．9的算术平方根是______ 3．若33-x =－2，则x 的值是 4、如果3+a =3，那么（a+3）2的值为 5、计算：3
164
37
-＝ 6、=-2)4( . )81()64(-⨯-
7、若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2－4a+4+3-b =0,则笫三边c 的取值范围是_____________
8、计算: )23)(23(+-=_____,)32)(32(+-=_____,)25)(25(+-= ____;……．通过以上计算,试用含n(n 为正整数)的式子表示上面运算揭示的规律:__________________ 三、解答题：（共38分） 1、（6分）求下列各式的值： （1）49±； （2）256
121
； （3）－09.0
2、（6分）化简:（1）453227+- （2）⨯3）（632-
3、（6分）已知31-x =x －1，求x 的值。

4、（6分）一个长方体的长为5 cm，宽为2 cm，高为3 cm，而另一个正方体的体积是它的3倍，求这个正方体的棱长(结果精确到 cm).
5、(7分) 已知三角形的三边a、b、c的长分别为45cm 、80cm、125cm，求这个三
角形的周长和面积.
图3
6、（7分）．如图3所示，某计算装置有一数据入口A和一运算结果的出口B，
下表给出的是小红输入的数字及所得的运算结果：
A0149162536
B－1012345
若小红输入的数为48，输出的结果应为多少若小红输入的数字为a,你能用a表示输出结果吗
《实数》实战演练参考答案 一、BCBAA ，CCCAC 二、1、－
3;33 2、±3；11 3、－5 4、81 5、4
3
- 6、4；72 7、1<c<5 8、1,1,1, .1)1)(1(=++-+n n n n 三、1、（1）±7 （2）
16
11
（3）－ 2、（1）原式=533533233+=+- （2）原式=⨯3=⨯-63326－32。

3、因为立方根等于它本身的数是1,－1,0，所以有x －1=1, x －1=－1或x －1=0, 所以x=2,0或1
4、33325⨯⨯⨯=390≈
5、周长=45+80+125=125cm ； 因为（45）2+（80）2=125=（125）2， 所以三角形是直角三角形，故面积=
2
1
×45×80=30cm 2
6、（111= （21(0)a ≥。