中考数学培优易错难题(含解析)之反比例函数含答案.doc

中考数学培优易错难题 (含解析 )之反比例函数含答案
一、反比例函数
1．在平面直角坐标系内，双曲线：y=（x＞0）分别与直线OA： y=x 和直线AB： y= ﹣
x+10，交于 C， D 两点，并且OC=3BD．
（1）求出双曲线的解析式；
（2）连结 CD，求四边形 OCDB的面积．
【答案】（ 1 ）解：过点 A 、 C 、 D 作x轴的垂线，垂足分别是M 、 E、 F ，
∴∠ AMO=∠ CEO=∠ DFB=90 ，°
∵直线 OA： y=x 和直线 AB：y=﹣ x+10，
∴∠ AOB=∠ ABO=45 ，°
∴△ CEO∽ △ DEB
∴==3，
设 D（ 10﹣ m， m），其中m＞ 0，
∴C（3m ， 3m），
∵点 C、 D 在双曲线上，
2
∴9m =m （10﹣ m），
解得： m=1 或 m=0（舍去）
∴C（3 ，3），
∴k=9，
∴双曲线 y= （ x＞0）
（ 2）解：由（ 1）可知D（ 9， 1）， C（ 3， 3）， B（ 10， 0），∴ OE=3， EF=6， DF=1，
BF=1，
∴S 四边形OCDB=S△OCE+S 梯形CDFE+S△DFB
=× 3× 3+ ×（ 1+3）× 6+ ∴四边形 OCDB的面积是17 【解析】【分析】（ 1）过点× 1× 1=17，
A、 C、 D 作x 轴的垂线，垂足分别是M 、E、 F，由直线y=x
和 y=﹣ x+10 可知∠ AOB=∠ ABO=45°，证明△ CEO∽ △ DEB，从而可知==3，然后设设D（ 10﹣ m， m），其中m＞ 0，从而可知 C 的坐标为（ 3m， 3m），利用C、D 在反比例函数图象上列出方程即可求出 m 的值．（ 2）求分别求出△OCE、△ DFB△、梯形 CDFE 的面积即可求出答案．
2．如图直角坐标系中，矩形 ABCD的边 BC 在 x 轴上，点 B， D 的坐标分别为 B（1， 0），D （ 3， 3）．
（1）点 C的坐标 ________；
（ 2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过直线m），求 m 的值及反比例函数的解析式；
（3）若（ 2）中的反比例函数的图象与CD 相交于点AC 上的点
F，连接
E，且点
EF，在直线
E 的坐标为（
AB 上找一点
2 ，
P，
使得 S△PEF=S△CEF，求点 P 的坐标．【答案】（1）（ 3， 0）
（2）解：∵ AB=CD=3， OB=1，
∴A 的坐标为（ 1， 3），又 C（3， 0），设直线 AC 的解析式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线 AC 的解析式为y=﹣x+．
∵点 E（ 2， m）在直线AC 上，
∴m= ﹣× 2+=，
∴点 E（ 2，）．
∵反比例函数y=的图象经过点E，∴k=2 × =3，
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：延长 FC 至 M ，使 CM= CF，连接 EM，则 S△
EFM=
△
）．S EFC， M（ 3，﹣ 0.5
在y= 中，当 x=3 时， y=1，
∴F（3， 1）．
过点 M 作直线 MP∥ EF交直线 AB 于 P，则 S△PEF=S△MEF．设直线 EF的解析式为y=a'x+b'，
∴，解得，
∴y=﹣ x+ ．
设直线 PM 的解析式为y=﹣x+c，
代入 M（ 3，﹣ 0.5），得： c=1，
∴y=﹣ x+1．
当x=1 时， y=0.5，
∴点 P（ 1， 0.5）．
同理可得点P（ 1， 3.5）．
∴点 P 坐标为（ 1， 0.5）或（ 1， 3.5）．
【解析】【解答】解：（1）∵ D（ 3， 3），
∴OC=3，
∴C（3 ，0）．
故答案为（ 3， 0）；
【分析】（ 1）由 D 的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出 C 的坐标；（ 2）由矩形的
对边相等，得到AB=CD，由 D 的纵坐标确定出CD的长，即为AB 的长，再由 B 的坐标确定
出 OB 的长，再由 A 为第一象限角，确定出 A 的坐标，由 A 与 C 的坐标确定出直线AC 的
解析式，将 E 坐标代入直线AC 解析式中，求出m 的值，确定出 E 的坐标，代入反比例解
析式中求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC 至 M ，使CM= CF，连接
EM，则 S△EFM= S△EFC， M （ 3，﹣ 0.5）．求出F（ 3，1），过点M 作直线 MP∥ EF交直线AB 于 P ，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得
到．此时直线 EF 与直线 PM 的斜率相同，由 F 的横坐标与 C 横坐标相同求出 F S△PEF=S△MEF
的横坐标，代入反比例解析式中，确定出 F 坐标，由 E 与 F 坐标确定出直线 EF 斜率，即为直线 PM
的斜率，再由 M 坐标，确定出直线 PM 解析式，由 P 横坐标与 B 横坐标相同，将横坐标代入直线
PM 解析式中求出 y 的值，即为 P 的纵坐标，进而确定出此时 P 的坐 B
标．
3．如图 1，已知一次函数 y=ax+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点A， B，反比例函数y=经过点M．
（1）若 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点 A、 B 重合）．当 a=﹣ 3 时，设点 M 的横坐标为
m，求 k 与 m 之间的函数关系式．
（2）当一次函数y=ax+2 的图象与反比例函数y=的图象有唯一公共点M，且 OM=，求a的值．
（ 3）当a= ﹣ 2 时，将Rt△AOB 在第一象限内沿直线y=x 平移个单位长度得到
Rt△ A′ O′，B如′图 2， M 是 Rt△ A′ O′斜B边′上的一个动点，求k 的取值范围．
【答案】（1）解：当 a=﹣3 时， y=﹣ 3x+2，
当y=0 时，﹣ 3x+2=0，
x=，
∵点 M 的横坐标为m，且 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点A、B 重合），
∴0＜ m＜，， DANG
则，
﹣3x+2= ，
当x=m 时，﹣ 3m+2= ，
∴k=﹣ 3m2+2m（0＜ m＜）
（2）解：由题意得：，
ax+2=，
ax2+2x﹣k=0，
∵直线 y=ax+2（ a ≠0）与双曲线 y=有唯一公共点M 时，
∴△ =4+4ak=0，
ak=﹣ 1，
∴k=﹣，
则，
解得：，
∵OM= ，
∴12+（﹣）2=（）2，
a=±
（3）解：当 a=﹣2 时， y=﹣ 2x+2，
∴点 A 的坐标为（ 1， 0），点 B 的坐标为（ 0 ，2），
∵将 Rt△ AOB 在第一象限内沿直线y=x 平移个单位得到Rt△ A′ O′， B′
∴A′（ 2，1）， B′（ 1， 3），
点 M 是 Rt△ A′O′斜B′上一动点，边
当点 M′与 A′重合时， k=2，
当点 M′与 B′重合时， k=3，
∴k 的取值范围是 2 ≤ k ≤ 3
【解析】【分析】（ 1）当 a=﹣3 时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出 A 点的横坐标，由于
点 M 的横坐标为m，且 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点A、 B 重合）从而得到m 的取值范围，由﹣ 3x+2= ,由 X=m 得 k=﹣ 3m 2+2m（ 0＜ m＜）；（2）由ax+2= 得 ax2+2x﹣
k=0，直线 y=ax+2（ a≠0）与双曲线 y=有唯一公共点定理即可；（ 3 ）当a=﹣ 2 时， y=﹣2x+2，从而求出M 时，△ =4+4ak=0， ak=﹣ 1，由勾股A、 B 两点的坐标，由平移的知识知
A′， B′点的坐标，从而得到k 的取值范围。

4．如图，矩形OABC的顶点 A、 C 分别在 x、 y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象经过点D（ m ， 2）和AB 边上的点E（ 3 ，
）．
（1）求反比例函数的表达式和m 的值；
（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O 于点 D 重合，折痕分别与x 轴、 y 轴正半轴交于点F， G，求折痕FG所在直线的函数关系式．
【答案】（1）解：∵反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象经过点E（ 3，），∴k=3 × =2，
∴反比例函数的表达式为y=．
又∵ 点 D（m， 2）在反比例函数y=的图象上，
∴2m=2 ，解得： m=1
（2）解：设 OG=x，则 CG=OC﹣ OG=2﹣ x，∵点 D（ 1， 2），
∴C D=1．
在Rt△ CDG中，∠DCG=90°， CG=2﹣ x， CD=1，
DG=OG=x，∴CD2+CG2=DG2，即 1+（ 2﹣ x）2=x2，
解得： x=，
∴点 G（ 0，）．
过点 F 作 FH⊥ CB于点 H，如图所示．
由折叠的特性可知：∠ GDF=∠ GOF=90°， OG=DG， OF=DF．
∵∠ CGD+∠ CDG=90 ，°∠CDG+∠ HDF=90 ，°
∴∠ CGD=∠ HDF，
∵∠ DCG=∠ FHD=90 ，°
∴△ GCD∽ △ DHF，
∴=2，
∴DF=2GD=，
∴点 F 的坐标为（，0）．
设折痕 FG 所在直线的函数关系式为y=ax+b，
∴有，解得：．
∴折痕 FG 所在直线的函数关系式为y=﹣x+
【解析】【分析】（ 1）由点 E 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值，再由点 B 在反比例函数图象上，代入即可求出m 值；（ 2）设 OG=x，利用勾股定理即可得出关于 x 的一元二次方程，解方程即可求出x 值，从而得出点G 的坐标．再过点 F 作FH⊥CB 于点 H，由此可得出△ GCD∽△ DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF 的长度，从而得出点 F 的坐标，结合点G、 F 的坐标利用待定系数法即可求出结论．
5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为.
（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；
（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；
（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.
【答案】（ 1）；
（2）解：∵双曲线过点和点，
∴，解得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
把
点的坐标代入，解得，
∴双曲线表达式为
（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，
当点在双曲线，得到，
∴的取值范围.
【解析】【分析】（1）由四边形坐标相同，横坐标相差2，得出C 与 D 横纵坐标乘积相等，求出ABCD 为平行四边形，得到 A 与 B 纵坐标相同， C 与 D 纵
B、 C 坐标即可；（ 2）根据 B 与 D 在反比例图象上，得到 b 的
值确定出 B 坐标，进而求出 k 的值，确定出双曲线解
析式；（ 3）抓住两个关键点，将 A 坐标代入双曲线解析式求出 b 的值；将 C 坐标代入双
曲线解析式求出 b 的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时 b 的范围．
6．理数学兴趣小组在探究如何求tan15 °值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：的
思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB 至点 D，使 BD=BA，连接
AD ．设AC=1，则BD=BA=2， BC=．tanD=tan15 =°== ．
思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan （α±β）=．假设
α =60，°β =45代°入差角正切公式：tan15 °=tan（ 60°﹣ 45°） ==
=．
思路三在顶角为 30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以思路四
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75 °的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30 米，在地平面上有一点A，测得 A， C 两点间距离为 60 米，从 A 测得电视塔的视角（∠CAD）为 45°，求这座电视塔 CD
的高度；
（3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y 轴交于点C，将直线 AB 绕点 C 旋转 45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：方法一：如图1，
在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=30°，延长 CB 至点 D，使 BD=BA，连接 AD．设 AC=1，则BD=BA=2， BC=．tan∠ DAC=tan75°====；
方法二： tan75 °=tan（45°+30°）====
（2）解：如图2，
在Rt△ ABC 中， AB===，sin∠BAC=，即
∠BAC=30 ．° ∵ ∠ DAC=45 ∴DB=AB?tan∠ DAB= °，∴ ∠ DAB=45
+30° ?（） =
°=75 °．在R t△ ABD 中， tan∠ DAB=
，∴ DC=DB﹣ BC=
，
=
．
答：这座电视塔CD的高度为（）米
（3）解：①若直线AB 绕点 C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点 C 作CD∥ x 轴，过点 P 作 PE⊥ CD于 E，过点 A 作 AF⊥ CD于 F．
解方程组：，得：或，∴点A（4，1），点B（﹣ 2，﹣ 2）．对于，当x=0 时， y=﹣ 1，则C（ 0 ，﹣ 1 ）， OC=1，∴ CF=4， AF=1﹣
（﹣ 1 ） =2 ，∴ tan∠ACF=，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan
（45°+∠ACF） ===3，即=3．设点P 的坐标为（ a， b），
则有：，
解得：或，∴点 P 的坐标为（﹣ 1，﹣ 4）或（，3）；
②若直线 AB 绕点 C 顺时针旋转45°后，与 x 轴相交于点 G，如图 4．
由①可知∠ ACP=45°， P （，3），则C P⊥ CG．过点P 作PH⊥ y轴于H ，则
∠GOC=∠ CHP=90 ，°∠ GCO=90 ﹣°∠ HCP=∠ CPH，∴△ GOC∽△ CHP，∴．∵CH=3 ﹣（﹣ 1） =4， PH=，OC=1，∴，∴ GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG 的解析
式为，则有：，解得：，∴直线CG的解析式为
．联立：，消去y，得：，整理得：
，∵ △ =，∴方程没有实数根，∴ 点P
不存在．
综上所述：直线AB 绕点 C 旋转 45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为（﹣1，﹣ 4）或
（， 3）．
【解析】【分析】 tan∠DAC=tan75°， tan∠ DAC 用边的比值表示 .在 Rt△ ABC 中，由勾股定
理求出 AB，由三角函数得出∠ BAC=30°，从而得到∠ DAB=75°，在 Rt△ ABD 中，可求出
DB， DC=DB﹣ BC.分两种情况讨论，设点 P 的坐标为（ a， b），根据 tan∠ PCE 和 P 在图像上
列出含有 a， b 的方程组，求出 a，b.利用已知证明△ GOC∽ △ CHP，根据相似三角形的性
质可求出 G 的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，△ <0点P不
存在 .
7．如图，一次函数 y=﹣ x+3 的图象与反比例 y= （ k 为常数，且 k≠0）的图象交于 A（ 1，a）， B 两点．
（1）求反比例函数的表达式及点 B 的坐标；
（2）在 x 轴上找一点P，使 PA+PB的值最小，求满足条件的点P 的坐标．
【答案】（1）解：∵点 A（ 1， a）在一次函数y=﹣ x+3 的图象上，
∴a=﹣ 1+3=2，
∴点 A（ 1， 2）．
∵点 A（ 1， 2）在反比例y=（k为常数，且k ≠0）的图象上，
∴k=1 × 2=2，
∴反比例函数的表达式为y=．
联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：
，解得：，，
∴点 B（2， 1）
（2）解：作 B 点关于 x 轴的对称点 B′（ 2，﹣ 1），连接 AB’，交 x 轴于点 P，连接 PB，如图
所示．
∵点 B、B′关于 x 轴对称，
∴P B=PB．′
∵点 A、 P、 B′三点共线，
∴此时 PA+PB取最小值．
设直线 AB′的函数表达式为y=mx+n （m≠0），
将A（ 1， 2）、 B（ 2，﹣ 1）代入 y=mx+n，
，解得：，
∴直线 AB′的函数表达式为y=﹣ 3x+5．
当 y=﹣ 3x+5=0 时， x=，
∴满足条件的点P 的坐标为（，0）．
【解析】【分析】（ 1）将 x=1 代入直线AB 的函数表达式中即可求出点 A 的坐标，由点 A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表
达式成方程组，通过解方程组即可求出点 B 的坐标；（ 2）作 B 点关于x 轴的对称点B′（2，﹣ 1），连接AB’，交 x 轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次
函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标．
8．【阅读理解】
我们知道，当a＞ 0 且 b＞ 0 时，（﹣）2≥0，所以a﹣ 2+≥0，从而a+b ≥ 2 （当 a=b 时取等号），
【获得结论】设函数y=x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=即x=时，函数
y 有最小值为 2
（1）【直接应用】
若 y1=x（x＞ 0）与 y2 =（x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】
若 y1=x+1（ x＞﹣ 1）与 y2=（ x+1）2 +4（ x＞﹣ 1），则的最小值是 ________
（3）【探索应用】
在平面直角坐标系中，点 A（﹣ 3，0），点 B（ 0，﹣ 2），点 P 是函数 y= 在第一象限内图象上的一个动点，过 P 点作 PC⊥ x 轴于点 C， PD⊥ y 轴于点 D，设点 P 的横坐标为 x，四
边形 ABCD的面积为S
①求 S 与 x 之间的函数关系式；
②求 S 的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】（1） 1； 2
（2） 4
（3）解：①设 P（ x，），则 C（ x， 0）， D（ 0，），
∴AC=x+3， BD= +2，
∴S= AC?BD= （ x+3）（+2）=6+x+ ；
② ∵x＞ 0，
∴x+ ≥ 2 =6，
∴当 x=时，即x=3时，x+有最小值6，
∴此时 S=6+x+有最小值12，
∵x=3，
∴P（ 3， 2）， C（ 3，0）， D（0， 2），
∴A、C 关于 x 轴对称， D、 B 关于 y 轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，
∴四边形 ABCD为菱形．
【解析】【解答】解：（1）∵ x＞ 0，∴y1+y2=x+≥ 2=2，∴当 x=时，即x=1时，
y1+y2有最小值 2 ，故答案为： 1 ； 2 ；（ 2 ）∵ x＞﹣ 1，∴x+1＞ 0，∴==
（ x+1） +≥2=4，∴当 x+1=时，即x=1 时，有最小值
4，故答案为： 4；
【分析】（ 1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x 的值；（ 2）可把x+1 看成
一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设 P（ x，），则可表示出C、 D 的坐
标，从而可表示出AC和 BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到 S
与 x 的函数关系式；② 再利用结论可求得其最得最小值时对应的x 的值，则可得到 P、 C、
D 的坐标，可判断A、 C 关于 x 轴对称， B、 D 关于 y 轴对称，可判断四边形ABCD 为菱
形．
9．在平面直角坐标系xOy 中，对于双曲线y=（m＞0）和双曲线y=（n＞0），如果
m=2n ，则称双曲线y=（m＞0）和双曲线y=（n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=
（m＞ 0）是双曲线 y= （ n＞ 0）的“倍双曲线”，双曲线 y= （ n＞ 0）是双曲线 y= （ m＞0）的
“半双曲线”，
（ 1）请你写出双曲线y=的“倍双曲线”是________；双曲线y=的“半双曲线”是
________；
（2）如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A 是双曲线y=在第一象限内任意一点，
过点 A 与 y 轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；
（3）如图2，已知点M 是双曲线y=（k＞0）在第一象限内任意一点，过点M 与 y 轴
平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点
y=的“半双曲线”于点 N，过点 M 与 x 轴平行的直线交双曲线
P，若△ MNP 的面积记为S△MNP，且 1≤S△MNP≤2，求 k 的取值范围．
y=
【答案】（1） y= ；y=
（2）解：如图1，
∵双曲线 y=的“半双曲线”是y=，
∴△ AOD 的面积为2，△ BOD 的面积为 1，
∴△ AOB 的面积为 1
（3）解：解法一：如图2，
依题意可知双曲线的“半双曲线”为，
设点 M 的横坐标为m，则点 M 坐标为（ m，），点N坐标为（m，），∴CM=，CN=．
∴MN=﹣=．
同理 PM=m﹣=．
∴S△PMN= MN?PM=
∵1 ≤S△PMN≤2，
∴1 ≤ ≤2．
∴4≤ k ≤8，
解法二：如图 3，
依题意可知双曲线的“半双曲线”为，
设点∴点M 的横坐标为 m，则点 N
为 MC 的中点，同理点
M 坐标为（ m，
P 为 MD 的中点．
），点N 坐标为（m，），
连接OM ，
∵，
∴△ PMN∽ △OCM．
∴
∵S△OCM=k，
．
∴S△PMN=．
∵1 ≤S△PMN≤2，
∴1≤ ≤2．
∴4≤ k ≤8．
【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义∴双曲线 y=，的“倍双曲线”是y=；
双曲线 y=的“半双曲线”是y=．
故答案为y=，y=；
【分析】（ 1）直接利用用双曲线上的点设出M “倍双曲线”的定义即可；（ 2）利用双曲线的性质即可；（ 3）先利的横坐标，进而表示出 M ，N 的坐标；方法一、用三角形的面积公
式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN 的面积，进而建立不等式即可得出结论．
10．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB， AB⊥ x 轴于点C，点 A（，1）在反比例函数 y=的图象上．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）在 x 轴的负半轴上存在一点P，使得 S△AOP △AOB
，求点 P 的坐标；
= S
（3）若将△ BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°得到△ BDE．直接写出点 E 的坐标，并判断点 E 是否在该反比例函数的图象上．
【答案】（1）解：∵点 A（，1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=× 1=，
∴反比例函数表达式为y=.
（2）解：∵ A（，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC=，AC=1，
∵OA⊥ OB， OC⊥ AB，
∴∠ A=∠ COB，
∴t an ∠ A= =tan∠ COB= ，
∴O C2=AC?BC，即 BC=3，
∴A B=4，
∴S△AOB=×× 4=2，
∴S△AOP= S△AOB=，
设点 P 的坐标为（ m， 0），
∴× |m|× 1=，解得|m|=2，
∵P 是 x 轴的负半轴上的点，
∴m= ﹣ 2，
∴点 P 的坐标为（﹣ 2 ， 0）
（3）解：由（ 2）可知 tan ∠ COB= ==，
∴∠ COB=60 ，°
∴∠ ABO=30 ，°
∵将△ BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转60 °得到△ BDE，
∴∠ OBD=60 ，°
∴∠ ABD=90 ，°
∴BD∥x 轴，
在Rt△ AOB 中， AB=4，∠ABO=30°，
∴AO=DE=2， OB=DB=2 ，且 BC=3，OC= ，
∴OD=DB﹣OC=，BC﹣DE=1，
∴E（﹣，﹣ 1），
∵﹣×（﹣1）= ，
∴点 E 在该反比例函数图象上
【解析】【分析】（ 1）由点 A 的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）
由条件可求得∠ A=∠ COB，利用三角函数的定义可得到OC2 =AC?BC，可求得 BC 的长，可求得△ AOB 的面积，设P 点坐标为（ m， 0），由题意可得到关于m 的方程，可求得m 的
值；（ 3）由条件可求得∠ ABD=90°，则 BD∥x 轴，由 BD、 DE 的长，可求得 E 点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．
11．如图 1，在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A（﹣ 2，0），点 B（ 0， 2）.
（1）直接写求∠ BAO 的度数；
（2）如图 1，将△AOB 绕点 O 顺时针得△ A′OB，′当 A′恰好落在 AB 边上时，设△AB′O的面积为 S1，△ BA′O的面积为 S2， S1与 S2有何关系？为什么？
（3）若将△ AOB 绕点 O 顺时针旋转到如图 2 所示的位置， S1与 S2的关系发生变化了吗？证明
你的判断 .
【答案】（ 1）解：∵ A（ - 2， 0）， B（0，），
∴OA＝2， OB＝，
在 Rt△ AOB 中， tan∠ BAO＝
∴∠ BAO＝ 60 °
，
（2）解： S1＝ S2；
理由：∵ ∠BAO＝ 60°，∠ AOB＝90°，∴∠ ABO＝ 30 °，
∴O A'＝ OA＝ AB，△AOA'是等边三角形，∴O A'＝ AA'＝ AO＝ A'B，
∵∠ B'A'O＝ 60 °，∠ A'OA＝ 60 °，
∴B'A'∥ AO，
根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边△BA′O中 BA′边上的高相等，AO、AA'上的高相等，即△ AB′O
中
AO 边上高和
∴△ BA'O 的面积和△ AB'O 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝ S2
（3）证明： S1＝ S2不发生变化；
理由：如图，过点A'作 A'M ⊥ OB.过点 A 作 AN⊥ OB'交 B'O 的延长线于N，
∵△ A'B'O 是由△ ABO 绕点 O 旋转得到，
∴BO＝ OB'，AO＝ OA'，
∵∠ AON＋∠ BON＝ 90 °，∠ A'OM ＋∠ BON＝ 90 °，
∴∠ AON＝∠ A'OM ，
在△ AON 和△A'OM 中，∴△
AON≌△ A'OM （AAS），
∴AN＝A'M ，
，
∴△ BOA'的面积和△AB'O 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝ S2.
【解析】【分析】（ 1）先求出OA， OB，再用锐角三角函数即可得出结论；（2）根据旋转的性质和直角三角形的性质可证得OA'＝ AA'＝ AO＝ A'B，然后根据等边△ AOA'的边AO、AA'上的高相等，即可得到S1＝ S2；（ 3）根据旋转的性质可得BO＝ OB'，AA'＝ OA'，再求出∠AON＝∠ A'OM ，然后利用“角角边”证明△ AON 和△ A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝ A'M ，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明.
12．如图 1，在矩形 ABCD中， AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 开始以 1cm/s 的速度沿 AB 边向点 B 运动，点 Q 从点 B 以 2cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动，如果 P、 Q 同时出发，设运动时间为ts，
（1）当 t=2 时，求△ PBQ的面积；
（2）当 t= 时，试说明△ DPQ是直角三角形；
（3）当运动3s 时， P 点停止运动， Q 点以原速立即向 B 点返回，在返回的过程中，DP 是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q 运动的时间；若不能，请说明理由.
【答案】（ 1）解：当t=2 时， AP=t=2， BQ=2t=4，
∴B P=AB-AP=4，
∴△ PBQ 的面积 =× 4×；4=8
（2）解：当 t= 时， AP=1.5， PB=4.5， BQ=3， CQ=9，
22222222 2
∴DP =AD +AP =2.25+144=146.25， PQ =PB +BQ =29.25， DQ =CD +CQ =117，
∴∠ DQP=90 ，°
∴△ DPQ 是直角三角形 .
（3）解：设存在点Q 在 BC上，延长DQ 与 AB 延长线交于点O.
设 QB 的长度为x，则 QC 的长度为（ 12-x），
∵DC∥BO，
∴∠ C=∠ QBO，∠ CDQ=∠O，
∴△ CDQ∽△ BOQ，又 CD=6， QB=x，QC=12-x，
∴，即，
解得： BO=，
∴AO=AB+BO=6+ ，
∵∠ ADP=∠ ODP，
∴12： DO=AP： PO，
代入解得x=0.75，
∴DP 能平分∠ ADQ，
∵点 Q 的速度为2cm/s ，
∴P 停止后 Q 往 B 走的路程为（ 6-0.75） =5.25cm.
∴时间为 2.625s，加上刚开始的3s， Q 点的运动时间为 5.625s.
【解析】【分析】（ 1）根据路程等于速度乘以时间得出AP=t=2， BQ=2t=4，所以BP=4,进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案；
（2）当t= 时，根据路程等于速度乘以时间得出AP=1.5，BQ=3，故PB=4.5，CQ=9，根据勾股定理表示出DP2,PQ2,DQ2,从而根据勾股定理的逆定理判断出∠DQP=90°，△DPQ 是直角三角形；
（ 3）设存在点 Q 在 BC 上，延长 DQ 与 AB 延长线交于点 O ，设 QB 的长度为 x，则 QC 的长度为（ 12-x ），判断出△ CDQ∽ △ BOQ，根据全等三角形的对应边成比例得出
，根据比例式可以用含x 的式子表示出BO 的长，根据角平分线的性质定理得出12： DO=AP：PO，根据比例式求出x 的值，从而即可解决问题.。