上海市高三数学教学调研卷

20XX 年上海市高三数学教学调研卷(理科)2011.4
一、填空题：
1.若()2
21Zi Z i --=+（i 为虚数单位），则Z = 。

2.函数()()
lg 12x
f x =-的定义域为 。

3.设集合{}{}3,sin ,2,cos A B αα==，若22A
B ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，且[]0,2απ∈，则α= 。

4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若1l 与2l 平行，则α= 。

5.已知双曲线的渐近线方程为2y x =±，且与2214924
x y +=有相同的焦点，则其标准方程为 。

6.甲箱子里有3个白球，2个黑球，乙箱子里有2个白球，3个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个 球，它们都是白球的概率为 。

7.已知向量()()1,,1,a t b t ==-，若2a b -与b 垂直，则a = 。

8.按下图所示的程序框图运算，若输入17x =，则输出的x 值是 。

9.已知二项式()32n
x +的展开式中所有项的系数和为3125，则此展开式中含4
x 项的系数是 。

10.函数()2sin sin 3f x x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的值域是 。

11.在极坐标系中，由极点向直线l 引垂线，垂足为点4,
4A π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，则直线l 的极坐标方程为 。

12.已知无穷等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠-，且()23459a a a a +=+，那么这个等比数列的所有项的和为 。

13.地球上最著名的几何物体莫过于埃及的吉沙（Giza ）大金字塔，它的形状是正四棱锥。

有着奇妙神秘的走道设计，以及神秘的密室。

已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积。

则侧面与底面所成的二面角的余弦值为 。

（精确到0.001）
14.若0a >且1a ≠，函数2x
y a =-与3y a =的图像有两个交点，则实数a 的取值范围是 。

二、选择题：
15.若,m n 是两条不重合的直线，α是平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若//,m n n α⊆，则//m α
B ．若//,//m n n α，则//m α
C ．若,m n n α⊥⊥，则m α⊥
D ．若//,m n n α⊥，则m α⊥
16.函数22sin 14y x π⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
是 （ ） A ．最小正周期为
2
π
的奇函数 B ．最小正周期为
2
π
的偶函数
C ．最小正周期为π的奇函数
D ．最小正周期为π的偶函数
17.“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件 （ ） A ．a 的值可以是8- B ．a 的值可以是12
- C ．a 的值可以是1- D ．a 的值可以是3-
18.已知等式20ax bx c ++=，其中()()()3,4,1,8,1,3a b c ===-，使这个等式成立的实数x （ ） A ．仅有一个 B ．至少有一个 C ．恰有两个 D ．不存在 三、解答题
19.如图，直三棱锥D ABC -，已知DC ⊥平面ABC ，20AB =米， 从点A 处看到点D 的仰角为60，30,105ABC BAC ∠=∠=， 分别求,AD BD 的长（精确到0.01米）
20.已知函数()23cos sin cos f x x x x +，[]0,x π∈ ⑴求函数()f x 的单调递增区间；
⑵如果关于x 的方程()f x m =，在区间()0,π上有两个不同的实根，求实数m 的取值范围
21.A 是由在[]1,4上有意义且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合； ① 对任意[]1,2x ∈，都有()()21,2x ϕ∈；
②存在常数()01L L <<，使得对任意的[]12,1,2x x ∈都有()()121222x x L x x ϕϕ-=-
⑴设()[]215
,1,218x x x ϕ+=
∈，证明：()x A ϕ∈； ⑵设()[]215
,1,218
x x x ϕ+=
∈，是否存在设()01,2x ∈，使得()002x x ϕ=，如存在，求出所有的0x ，如不存在请说明理由！
22.已知点()2,0A ，点M 为曲线2y x +P 为AM 的中点；点P 的轨迹为C ； ⑴求动点P 的轨迹C 的方程(),0F x y =； ⑵将轨迹C 的方程变形为函数()y f x =； 请写出此函数的定义域、值域、单调区间、 奇偶性、最值等（不证明），并画出大致图像。

⑶若直线:110
x
l y =
+与轨迹C 有两个不同的 公共点,B K ，且点G 的坐标为1,08⎛⎫
⎪⎝⎭
，
求BG KG +的值。

23.已知函数()()y f x x D =∈，方程()f x x =的根0x 称为函数()f x 的不动点；若1,a D ∈
()()*1n n a f a n N +=∈，则称{}n a 为由函数()f x 导出的数列。

设函数()423x g x x +=
+，()()()
2
0,0,40ax b h x c ad bc d a bc cx d
+=≠-≠-+>+ ⑴求函数()g x 的不动点12,x x ；
⑵设13a =，{}n a 是由函数()g x 导出的数列，对⑴中的两个不动点12,x x （不妨设12x x <），
数列求证12n n a x a x ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
是等比数列，并求lim n n a →∞
；
⑶试探究由函数()h x 导出的数列{}n b ，（其中1b p =）为周期数列的充要条件。

注：已知数列{}n b ，若存在正整数T ，对一切*n N ∈都有n T n b b +=，则称数列{}n b 为周期数列，T 是它的一个周期。