┃精选3套试卷┃2020届河北省名校九年级上学期期末适应性数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．把抛物线2y x 向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A ．()212y x =++ B ．()212y x =-+
C ．2(1)2y x =+-
D ．()212y x =-- 【答案】C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.
【详解】解：把抛物线2y x 向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：2(1)2y x =+-.
故选：C.
【点睛】
此题考查了抛物线的平移，属于基本题型，熟知抛物线的平移规律是解答的关键.
2．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A 、B 两点，若⊙O 的直径为8，则弦AB 长为（ ）
A ．22
B ．23
C ．4
D ．6
【答案】C 【分析】连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，根据圆周角定理得出∠D ＝∠P ＝30°，∠ABD ＝90°，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，
∵∠P ＝30°，
∴∠D ＝∠P ＝30°．
∵AD 是⊙O 的直径，AD ＝8，
∴∠ABD ＝90°，
∴AB ＝12
AD ＝1． 故选：C ．
【点睛】
此题考查圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，由于三角板的直角边不经过圆心，所以连接出直径的辅助线是解题的关键.
3．一张圆心角为α的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为4，已知
4
tan
3
α=，则
扇形纸板和圆形纸板的半径之比是（）
A．130
B．22C．23D．
67
【答案】A
【分析】分别求出扇形和圆的半径，即可求出比值．【详解】如图，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠ABO＝90°，AB＝BC＝CD＝4，
∵
4
tan
3
α==AB
OB
，
∴OB＝3
4
AB＝3，∴CO=7
由勾股定理得：OD＝22
4765
+==r1；
如图2，连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC＝90°，MB＝MC，
∴∠MCB＝∠MBC＝45°，
∵BC＝4，
∴MC＝MB＝22
6522
130
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形性质、圆内接四边形性质；解此题的关键是求出扇形和圆的半径，题目比较好，难度适中．
4．在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，而它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上C．两根不平行D．两根平行倒在地上
【答案】C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在变，依此进行分析.
【详解】在同一时刻，两根竿子置于阳光下，但看到他们的影长相等，那么这两根竿子的顶部到地面的垂直距离相等，而竿子长度不等，故两根竿子不平行，故答案选择C.
【点睛】
本题考查投影的相关知识，解决此题的关键是掌握平行投影的特点.
5．方程x 2=4的解是（ ）
A ．x=2
B ．x=﹣2
C ．x 1=1，x 2=4
D ．x 1=2，x 2=﹣2
【答案】D
【解析】x 2=4，
x=±2.
故选D.
点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.
6．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．0ac >
B ．0ac =
C ．0ac <
D ．ac 的符号不能确定
【答案】A 【分析】由题意根据二次函数的图象与性质即可求出答案判断选项．
【详解】解：由图象可知开口向上a ＞0，与y 轴交点在上半轴c ＞0，
∴ac ＞0，
故选A.
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 7．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下： 年龄(单位：岁)
14 15 16 17 18 人数 1 5 3 2 1
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( )
A ．15，16
B ．15，15
C ．15，15.5
D ．16，15
【答案】C
【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
∴中位数为(1516)2+÷=15.5岁，
故选：C ．
本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
8．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．53t -<<
B ．5t >-
C ．34t <≤
D ．54t -<≤
【答案】D 【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.
【详解】将()4,0代入二次函数，得
2440m -+=
∴4m =
∴方程为240x x t -+= ∴4164t x ±-= ∵15x <<
∴54t -<≤
故答案为D .
【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
9．正八边形的中心角为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．80°
D ．90°
【答案】A
【分析】根据中心角是正多边形的外接圆相邻的两个半径的夹角，即可求解.
【详解】∵360°÷8＝45°，
∴正八边形的中心角为45°，
【点睛】
本题主要考查正八边形的中心角的定义，理解正八边形的外接圆相邻的两个半径的夹角是中心角，是解题的关键.
10．反比例函数6y x =
图象上的两点为()11,x y ，()22,x y 且12x x <，则下列表达式成立的是（ ） A ．1y y <
B ．1y y =
C ．1y y >
D ．不能确定
【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到116=x y ，22
6=y x ，然后分类讨论：0＜1x ＜2x 得到12y y >；当1x ＜0＜2x 得到1y ＜2y ；当1x ＜2x ＜0得到12y y >． 【详解】∵反比例函数6y x =
图象上的两点为()11,x y ，()22,x y ， ∴1122==6x y x y ， ∴116=x y ，22
6=y x ， 当0＜1x ＜2x ，12y y >；
当1x ＜0＜2x ，1y ＜2y ；
当1x ＜2x ＜0，12y y >；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 11．函数()2
21y x ++＝-的顶点坐标是（ ） A ．()21，﹣
B ．()21-，
C ．()2-，-1
D ．()21，
【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵函数()2
21y x ++＝-， ∴该函数的顶点坐标是()21-，，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像，关键是根据二次函数的顶点式直接得到顶点坐标即可．
12．关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋(2m ＋1)x ＋m －2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是( )
A ．m ＞34
B ．m ＞34且m≠2
C ．－12≤m≤2
D ．34＜m ＜2 【答案】D
【解析】试题分析：根据题意得20m -≠且△=2(21)4(2)(2)0m m m +--->，解得34m >
且2m ≠， 设方程的两根为a 、b ，则+a b =2102m m +-
>-，2102m ab m -==>-，而210m +>，∴20m -<，即2m <，∴m 的取值范围为324
m <<．故选D ． 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随即抽取一张，以其正面数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b 的值，则点（a ，b ）在第二象限的概率为_____．
【答案】13
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及点（a ，b ）在第二象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图图得：
∵共有6种等可能的结果，点（a ，b ）在第二象限的有2种情况，
∴点（a ，b ）在第二象限的概率为：
2163=． 故答案为：
13． 【点睛】
本题考查的是利用公式计算某个事件发生的概率，注意找全所有可能出现的结果数作分母．在判断某个事件A 可能出现的结果数时，要注意审查关于事件A 的说法，避免多数或少数．
14．在ABC ∆中，(23tan 3
cos 02
A B -+=，则∠C 的度数为____． 【答案】90︒
【分析】先根据平方、绝对值的非负性求得tan A 、cos B ，再利用锐角三角函数确定A ∠、B 的度数，最后根据直角三角形内角和求得90C ∠=︒．
【详解】解：∵(
2tan cos 0A B +-=
∴tan 0cos 0A B ⎧=-=
∴tan cos A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴6030A B ∠=︒⎧⎨∠=︒⎩
∴90C ∠=︒．
故答案是：90︒
【点睛】
本题考查了平方、绝对值的非负性，锐角三角函数以及三角形内角和，熟悉各知识点是解题的关键． 15．方程2250x x -=的解为_____.
【答案】10x =，252
x = 【分析】因式分解法即可求解.
【详解】解：2250x x -=
x(2x-5)=0,
10x =，252
x =
【点睛】 本题考查了用提公因式法求解一元二次方程的解,属于简单题,熟悉解题方法是解题关键.
16．已知圆O 的直径为4，点M 到圆心O 的距离为3，则点M 与⊙O 的位置关系是_____．
【答案】在圆外
【分析】根据由⊙O 的直径为4，得到其半径为2，而点M 到圆心O 的距离为3，得到点M 到圆心O 的距离大于圆的半径，根据点与圆的位置关系即可判断点M 与⊙O 的位置关系．
【详解】解：∵⊙O 的直径为4，
∴⊙O 的半径为2，
∵点M 到圆心O 的距离为3，
∴23<
∴点M 与⊙O 的位置关系是在圆外．
故答案为：在圆外．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d与圆半径大小关系完成判定．
17．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为_____．
【答案】(3，﹣10)
【分析】首先根据坐标求出正方形的边长为6，进而得到D点坐标，然后根据每旋转4次一个循环，可知第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，即可得出此时D点坐标．
【详解】解：∵A(﹣3，4)，B(3，4)，
∴AB=3+3=6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=6，
∴D(﹣3，10)，
∵70=4×17+2，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时D点与(﹣3，10)关于原点对称，
∴此时点D的坐标为(3，﹣10)．
故答案为：(3，﹣10)．
【点睛】
本题考查坐标与图形，根据坐标求出D点坐标，并根据旋转特点找出规律是解题的关键．
18．若二次函数y＝x2+x+1的图象，经过A（﹣3，y1），B（2，y2），C（1
2
，y3），三点y1，y2，y3大小关
系是__（用“＜”连接）
【答案】y3＜y1＝y1．
【分析】先将二次函数的一般式化成顶点式，从而求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象的对称性和增减性判断即可.
【详解】∵y ＝x 1+x+1＝（x+12）1+34
， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x ＝﹣
12， A （﹣3，y 1）关于直线x ＝﹣
12的对称点是（1，y 1）， ∴y 1＝y 1， ∵﹣12＜12
＜1， ∴y 3＜y 1，
故答案为y 3＜y 1＝y 1．
【点睛】
此题考查的是二次函数的增减性，掌握二次函数图象对称轴两侧的对称性和增减性是解决此题的关键.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++= 有两个不等实根1x ，2x .
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实根1x ，2x 满足1212x x x x +=-⋅，求k 的值。

【答案】（1）34
k >；（2）2k =． 【分析】（1）根据∆
>0列式求解即可； （2）先求出x 1+x 2与x 1·x 2的值，然后代入1212x x x x +=-⋅求解即可.
【详解】（1）
原方程有两个不相等的实数根， ()()222141430k k k ∴=+-+=->， 解得：34
k >． （2）由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2121x x k ⋅=+．
1212x x x x +=-⋅，
()()2211k k ∴-+=+，
解得：0k = 或2k =， 又34
k >， 2k ∴=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．
（1）求证：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）1；（3）50 13
．
【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD＝x，CD，BD，BO用x表示出来，所以可得BD长.(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,
AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD长.
试题解析：
（1）证明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，
∴∠ACB＝∠DOB＝90°,
又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．
（2）∵AD 平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,
∴DO＝DC,
在Rt△ABC 中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,
∵△DOB∽△ACB,
∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶1,
设BD＝x，则DO＝DC＝3
5
x，BO＝
4
5
x,
∵CD＋BD＝8，∴3
5
x＋x＝8，解得x＝,1，即：BD＝1．
（3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B＝∠OB′D，
BO＝B′O＝4
5
x，BD＝B′D＝x,
∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角, ∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,
∵AB′＋B′O＋BO＝10，
∴x＋4
5
x＋
4
5
x＝10，解得x＝
50
13
，即BD＝
50
13
，
∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD ＝5013
. 点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =.
②截两边：如图（2），已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ∆≌CBP ∆. ③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =；
如图（4），已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =.
(1) (2) (3) (4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（1），已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =.
(1)
21．已知关于x 的一元二次方程()2
m 1x 2x 10-+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围． 【答案】m ＞﹣1且m≠1．
【分析】由关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠1且△＞1，即4﹣4m•（﹣1）＞1，两个不等式的公共解即为m 的取值范围．
【详解】∵关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，
∴m≠1且△＞1，即4﹣4m•（﹣1）＞1，解得m ＞﹣1，
∴m 的取值范围为m ＞﹣1且m≠1，
∴当m ＞﹣1且m≠1时，关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=1有两个不相等的实数根．
22．已知，正方形ABCD 中，点E 是边BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF DE ⊥，垂足为点F ，BF 与CD 交于点G ．
（1）如图甲，求证：CG CE =；
（2）如图乙，连接BD ，若42BE =22DG =cos DBG ∠的值．
【答案】（1）证明见解析；（225． 【分析】（1）由正方形的性质得出BC=DC ，∠BCG=∠DCE=90°，利用角边角证明△BGC ≌△DEC ，然后可得出CG=CE ；
（2）由线段的和差，正方形的性质求出正方形的边长为2，根据勾股定理求出线段BD=6，过点G 作GH ⊥DB ，根据勾股定理可得出HG=DH=2，进而求出BH=4，5Rt △HBG 中可求出cos ∠DBG 的值．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC=DC ，∠BCG=∠DCE=90°，
又∵BF ⊥DE ，
∴∠GFD=90°，
又∵∠GBC+∠BGC+∠GCB=180°，
∠GFD+∠FDG+∠DGF=180°，
∠BGC=∠DGF ，∴∠CBG=∠CDE ，
在△BGC 和△DEC 中，
BCG DCE BC DC
CBG CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△BGC ≌△DEC （ASA ），
∴CG=CE ；
（2）过点G 作GH ⊥BD ，设CE=x ，
∵CG=CE ，∴CG=x ，
又∵BE=BC+CE ，DC=DG+GC ，BC=DC ， 2，2，
∴2−x ＝2，解得：2，∴2，
在Rt △BCD 中，由勾股定理得： 2222(32)(32)6BD BC DC =+=+=，
又易得△DHG 为等腰直角三角形，∴根据勾股定理可得HD=HG=2，
又∵BD=BH+HD ，
∴BH=6-2=4，
在Rt △HBG 中，由勾股定理得：
22226225BG BH HG =+=+=，
25cos 25BH DBG BG ∴∠===．
【点睛】
本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，勾股定理，解直角三角形等知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点构建直角三角形求角的余弦值．
23．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，算一算张大叔购回这张矩形铁皮共花了________元钱．
【答案】1．
【解析】试题分析：设长方体的底面长为x 米，则底面宽为（x-2）米，由题意，得x （x-2）×1=15，解得：1x =5，2x =-3（舍去）．底面宽为5-2=3米．矩形铁皮的面积为：（5+2）（3+2）=352m ，这张矩形铁皮的费用为：20×35=1元．故答案为1．
考点：一元二次方程的应用．
24．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，如果∠A 是锐角，∠DCB ＝∠EBC ＝
12
∠A ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
【答案】存在等对边四边形，是四边形DBCE，见解析
【分析】作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点，证明△BCF≌△CBG，得到BF＝CG，再证∠BDF＝∠BEC，得到△BDF≌△CEG，故而BD＝CE，即四边形DBCE是等对边四边形．
【详解】解：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
∵∠DCB＝∠EBC＝1
2
∠A，BC为公共边，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵∠BDF＝∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC＝∠ABE+∠A，
∴∠BDF＝∠BEC，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE
∴四边形DBCE是等对边四边形．
【点睛】
此题考查新定义形式下三角形全等的判定，由题意及图形分析得到等对边四边形是四边形DBCE，应证明线段BD＝CE，只能作辅助线通过证明三角形全等得到结论，继而得解此题.
25．如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；
(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
【答案】（2）y=﹣x2﹣x+2；（2）（0，2）或（﹣2，2）或（
117
-+
，﹣2）或（
117
--
，﹣2）；（3）
2.
【解析】（2）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
（2）设M点坐标为（m，n），根据S△AOM=2S△BOC列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得到点P 的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2，再设N点坐标为（x，x+2），则D点坐标为（x，-x2-x+2），然后用含x的代数式表示ND，根据二次函数的性质即可求出线段ND长度的最大值．
解：（2）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y=﹣x2+mx+n，
得
420
2
m n
n
--+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
1
2
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．
（2）由（2）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，则易得B（2，0），设M（m，n）然后依据S△AOM=2S△BOC 列方程可得：
1 2•AO×|n|=2×
1
2
×OB×OC，
∴1
2
×2×|﹣m2﹣m+2|=2，
∴m2+m=0或m2+m﹣4=0，
解得m=0或﹣2或
117
2
-±
，
∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣2，2
117
-+
，﹣2
117
--
，﹣2）．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入
得到
20
2
k b
b
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
1
2
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC 的解析式为y=x+2，
设N （x ，x+2）（﹣2≤x≤0），则D （x ，﹣x 2﹣x+2），
ND=（﹣x 2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x 2﹣2x=﹣（x+2）2+2，
∵﹣2＜0，
∴x=﹣2时，ND 有最大值2．
∴ND 的最大值为2．
点睛：本题考查二次函数的图象和性质.根据二次函数的性质并结合已知条件及图象进行分析是解题的关键.
26．若一个三位数的百位上的数字减去十位上的数字等于其个位上的数字，则称这个三位数为“差数”，同时，如果百位上的数字为a 、十位上的数字为b ，三位数t 是“差数”，我们就记：()()F t b a b =⨯-，其中，19a ≤≤，09b ≤≤．例如三位数1．∵514-=，∴1是“差数”，∴()()5141514F =⨯-=． （1）已知一个三位数m 的百位上的数字是6，若m 是“差数”，()9F m =，求m 的值；
（2）求出小于300的所有“差数”的和，若这个和为n ，请判断n 是不是“差数”，若是，请求出()F n ；若不是，请说明理由．
【答案】（1）633m =；（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，n 是“差数”，()16F n =
【分析】（1）设三位数m 的十位上的数字是x ，根据()=(6)F m x x -进行求解；
（2）根据“差数”的定义列出小于300的所有“差数”，进而求解．
【详解】解：（1）设三位数m 的十位上的数字是x ，
∴()=(6)9F m x x -=，
解得，3x =，
∴个位上的数字为：633-=，
∴633m =；
（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，
∴101110202211220844n =++++=，
显然n 是“差数”，()()8444(84)16F n F ==⨯-=．
【点睛】
本题是新定义问题，考查了解一元二次方程，理解新的定义是解题的关键．
27．在ABC ∆中，AB=6，BC=4，B 为锐角且cosB 12
=.
(1)求∠B的度数.
(2)求ABC
∆的面积.
(3)求tanC．
【答案】（1）60°；（2）63；（3）33
【解析】(1)直接利用三角函数值，即可求出∠B的度数；(2) 过A作AD⊥BC于D，根据cosB
1
2
=，可求
出BD的值，利用勾股定理可求出AD的值，即可求得ABC
∆的面积；（3）利用正切概念即可求得tanC的值；
【详解】解：
（1）∵B为锐角且cosB
1
2 =，
∴∠B=60°；
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，
在Rt ABD中，cosB
1
=
2 BD
AB
=，
∵AB=6，
∴BD=3，
∴33 AD=
∴
11
43363 22
ABC
S BC AD
=⨯⨯=⨯⨯=
(3)∵BD=3，BC=4，∴CD=1，
∴在Rt ACD中，tanC
3
=
3
1
33 AD
CD
==
【点睛】
本题考查了三角函数的定义及性质，掌握三角函数的性质是解题的关键.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．函数y=-x 2-3的图象顶点是（ ）
A ．()03，
B ．3924⎛⎫- ⎪⎝⎭，
C ．()03-，
D ．()1
3--， 【答案】C 【解析】函数y=-x 2-3的图象顶点坐标是（0，-3）.
故选C.
2．已知Rt △ABC ，∠ACB=90º，BC=10，AC=20，点D 为斜边中点，连接CD ，将△BCD 沿CD 翻折得△B’CD ，B’D 交AC 于点E ，则'
DE EB 的值为（ ）
A ．56
B ．35
C ．7
D ．5 【答案】A
【分析】如图，过点B 作BH ⊥CD 于H ，过点E 作EF ⊥CD 于F ，由勾股定理可求AB 的长，由锐角三角函数可求BH ，CH ，DH 的长，由折叠的性质可得∠BDC=∠B'DC ，S △BCD =S △DCB '=50，利用锐角三角函数可求EF=20511
，由面积关系可求解． 【详解】解：如图，过点B 作BH ⊥CD 于H ，过点E 作EF ⊥CD 于F ，
∵∠ACB=90°，BC=10，AC=20，
∴22100400105AC BC +=+=S △ABC =12
×10×20=100， ∵点D 为斜边中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=5
∴∠DAC=∠DCA ，∠DBC=∠DCB ，
∴sin ∠BCD=sin ∠DBC=AC BH AB BC
=，
10
BH =， ∴
BH=
∴
==
∴
DH=
∵将△BCD 沿CD 翻折得△B′CD ，
∴∠BDC=∠B'DC ，S △BCD =S △DCB '=50，
∴tan ∠BDC=tan ∠B'DC=BH EF DH DF
=，
43EF DF ==， ∴设DF=3x ，EF=4x ，
∵tan ∠DCA=tan ∠DAC=
EF BC FC AC =， ∴41020
x FC =， ∴FC=8x ，
∵DF+CF=CD ，
∴
3x+8x=
∴
， ∴
∴S △DEC =12×DC×EF=25011
， ∴S △CEB '=50-
25011=30011， ∴'56
DEC B EC S DE B E S ∆∆=='， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，锐角三角函数的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
3．把抛物线2y x =-向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即得到抛物线（ ）
A ．y=-(x+2) 2+3
B ．y=-(x-2) 2+3
C ．y=-(x+2) 2-3
D ．y=-(x-2) 2-3 【答案】D
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.
【详解】抛物线2y x =-向右平移2个单位，得：()2
2y x =--， 再向下平移3个单位，得：()2
23=---y x .
故选：D .
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.
4．某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x 名同学，根据题意列出的方程是（ ）
A ．(1)2x x -=465
B ．(1)2x x +=465
C ．x （x ﹣1）=465
D ．x （x +1）=465
【答案】A
【解析】因为每位同学都要与除自己之外的（x ﹣1）名同学握手一次，所以共握手x （x ﹣1）次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x （x ﹣1）÷2次，解此方程即可.
【详解】解：设九年级（1）班有x 名同学， 根据题意列出的方程是
(1)2x x - =465， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键.
5．一元二次方程22350x x --=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等实数根
B ．有两个相等实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定 【答案】A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝49＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵在方程22350x x --=中，△＝2(3)42(5)490＝＞，
∴方程22350x x --=有两个不相等的实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 6．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）
A ．BDC β∠=∠
B ．2sin a AO β=
C ．tan BC a β=
D ．cos a BD β
= 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°
∴AO=CO=BO=DO,
∴∠OCD=∠ODC=β,
A 、BDC DCA β∠=∠=∠,故A 选项正确；
B 、在Rt △AD
C 中，cos ∠ACD=DC AC , ∴cos β=2a AO
,∴AO=2cos a ，故B 选项错误； C 、在Rt △BCD 中，tan ∠BDC=BC DC , ∴ tan β=BC a
∴BC=atan β，故C 选项正确； D 、在Rt △BCD 中，cos ∠BDC=DC DB , ∴ cos β=a BD ∴cos a BD β=，故D 选项正确. 故选：B.
【点睛】
本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.
7．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）
A ．16
B ．29
C ．13
D ．23
【答案】C
【解析】解：画树状图如下：
一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，
∴P （一红一黄）=26=13
．故选C ． 8．不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
【答案】A
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量．
【详解】设白球有x 个，根据题意得： 505202020
x ， 解得：x=5，
即白球有5个，
故选A ．
【点睛】
考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
9．在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A ．14
B ．12
C ．34
D ．1
【答案】C
【分析】在等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆， ∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：34
．
故选：C ．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n
．也考查了中心对称图形的定义． 10．下列事件中，是随机事件的是（ ） A ．任意画两个圆，这两个圆是等圆 B ．⊙O 的半径为5，OP ＝3，点P 在⊙O 外
C ．直径所对的圆周角为直角
D ．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】A
【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】A ．任意画两个圆，这两个圆是等圆，属于随机事件，符合题意；
B ．⊙O 的半径为5，OP =3，点P 在⊙O 外，属于不可能事件，不合题意；
C ．直径所对的圆周角为直角，属于必然事件，不合题意；
D ．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，属于必然事件，不合题意；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA AC ，则BC 等于（ ）
A
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】B 【分析】根据余弦函数的定义、勾股定理，即可直接求解．
【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝2
，AC
∴2AC cosA AB ==，即2
AB =， 2AB ∴=，
∴BC 故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解题的基础是掌握余弦函数的定义和勾股定理．
12．下列方程有两个相等的实数根是（）
A．x2﹣x+3＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣4＝0 【答案】C
【分析】先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的意义判断即可．
【详解】A、x2﹣x+3＝0，
△＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，
所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；
B、x2﹣3x+2＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、x2﹣2x+1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；
D、x2﹣4＝0，
△＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的意义是解此题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．从0，1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积为0的概率是___________.
【答案】2 5
【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与其乘积等于0的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】解：画表格得：
共由20种等可能性结果，其中乘积为0有8种，故乘积为0的概率为
82
205
P==，。