高等数学(上)08-总复习题(四) 答案详解

总复习题（四）
一、求下列微分方程的通解或特解：
1.2ln xy y x x '+= 解：2ln y y x x '+= 2(),()l n p x Q x x x
== 对应齐次方程的通解22d 2ln ln 2e
e e x x x x C y C C C x ---⎰==== 设非齐次方程有形如2()C x y x
=的解，将,y y '代入方程得 2242()()22()ln ()ln C x x C x x C x x C x x x x x x
'-⋅'+=⇒= 23323311111()ln d ln d ln d ln 33339
C x x x x x x x x x x x x x C ==
=-=-+⎰⎰⎰ 故原方程的通解332211ln 1139ln 39x x x C C y x x x x x -+==-+ 2.2
()dy x y dx =+ 解：令,u x y =+则y u x =-，d d 1d d y u x x
=- 原方程化为21du u dx
-= 2d d arctan 1u x u x C u ⇒=⇒=++⎰⎰ 故原方程的通解为arctan()x y x C +=+
3.x y y y sin 2=+'-''
解：21,220,r r r -+==
齐次通解1212e cos sin 22x y C x C x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝
⎭ i 不是特征方程的根
故设非齐次方程特解形式为*cos sin y a x b x =+，代入方程整理得
()cos ()sin sin a b x a b x x -++=12
a b ∴==
所求非齐次特解11*cos sin 22
y x x =+
所求非齐次方程的通解1212e
x y C C ⎛=+ ⎝⎭11cos sin 22x x ++ 4.200(),1,1x x y x y y
y ==''''=== 解：令(),y p x '=dp y dx ''=代入方程得2dp xp dx
= 分离变量2
d d p x x p =，两边积分2d d p x x p =⎰⎰ 得211112
x C y p -=-=+' 01x y ='=，121
1112C y x '=-∴=-
-
21
2)112y dx x ⇒=-=-=--⎰
2C =+
又021112x y C y ==⇒=∴==+ 二、设曲线L 的方程为()y f x =，L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点M 处的 切线与y 轴总相交，交点为A ，已知MA OA =，且L 经过点33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求L 的方程． 解：设切点为00(,)M x y
则切线方程为：000()()y y f x x x '-=-
令0x =，则点A 的坐标为000(0,())y x f x '-
[]2222000()MA x x f x '=+，[]22220000002()()OA y x y f x x f x ''=-+ MA OA =，[]2222000()MA x x f x '=+[]2
2220000002()()OA y x y f x x f x ''==-+
22000002()x y x y f x '∴=-，由00,x y 的任意性，得微分方程
22
2()x y xyf x '=-或22
d d 2y x y x xy -=（齐次方程） 21d d 2y y x y x x
⎛⎫- ⎪⎝⎭
=⋅ 令y u x
=，则,y u xu ''=+ 代入原方程得：221122u u u xu xu u u
---''+=⇒= 分离变量
221d d 1u u x u x
=-+ 两边积分 221d d 1u u x u x =-+⎰⎰ 得 2
ln(1)ln ln u x C +=-+ 2ln(1)ln ln u x C ++=2
(1)x u C ⇒+=即221y x C x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又L 经过点33,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，得3C = 22
2221333y y x x y x x x x ⎛⎫+=⇒+=⇒=- ⎪⎝⎭
又L 位于xOy
平面的第一象限内，所以y =。