高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2

2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程的概念
2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
1．结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系．(了解)
2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)
3．通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 曲线的方程与方程的曲线
阅读教材P33～P35，完成下列问题．
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是( )
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错．
【答案】 D
教材整理2 求曲线方程的步骤
阅读教材P36～P37，完成下列问题．
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
对曲线的方程和方程的曲线的
定义的理解
分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？
【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0，反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是
x ＋y ＝0.
1．分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义．
2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化．
[再练一题]
1．已知方程x 2
＋(y －1)2
＝10.
(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值．
【解】 (1)因为12
＋(－2－1)2
＝10，(2)2
＋(3－1)2
＝6≠10，
所以点P (1，－2)在方程x 2
＋(y －1)2
＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2
＋(y －1)2
＝10表示的曲线上．
(2)因为点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
2，－m 在方程x 2＋(y －1)2
＝10表示的曲线上，
所以x ＝m
2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2
＝10， 即⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 22
＋(－m －1)2
＝10. 解得m ＝2或m ＝－18
5.
故实数m 的值为2或－18
5
.
由方程研究曲线
下列方程分别表示什么曲线： (1)2x 2
＋y 2
－4x ＋2y ＋3＝0； (2)(x －2)2
＋y 2
－4＝0.
【精彩点拨】 (1)在研究形如Ax 2＋By 2
＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？ (2)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？
【自主解答】 (1)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2
＝0. ∵2(x －1)2
≥0，(y ＋1)2
≥0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －12
＝0，
y ＋1
2
＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝－1.
从而方程表示的图形是一个点(1，－1)． (2)由(x －2)2
＋y 2
－4＝0，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x －2＝0，
y 2－4＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2.
因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．
1．判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定．
2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．
[再练一题]
2．方程xy 2
－x 2
y ＝2x 所表示的曲线( )
【导学号：15460021】
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于x －y ＝0对称
【解析】 同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变， 所以方程xy 2
－x 2
y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称． 【答案】 C
[探究共研型]
求曲线的方程
探究1 【提示】 建立坐标系的基本原则： (1)让尽量多的点落在坐标轴上；
(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．
建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
探究2 求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？
【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法．在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法．求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件．
在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？
【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，
过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．
由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以(x＋a2＋y2)2＋(x－a2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.
由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.
所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
1．求曲线方程的一般步骤
(1)建系设点；
(2)写几何点集；
(3)翻译列式；
(4)化简方程；
(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．3．没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．
[再练一题]
3．已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的
差都是2，求这条曲线的方程．
【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，
则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．
由距离公式，点M适合的条件可表示为
x2＋y－22－y＝2.
化简得x2＝8y.
∵曲线在x轴上方，∴y>0.
∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线．
∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0)．
[构建·体系]
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上．
【答案】 B
2．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )
【解析】当x＞0时，方程为xy＝1，
∴y ＞0，故在第一象限有一支图象； 当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象． 【答案】 C
3．如果方程ax 2＋by 2
＝4的曲线过点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝
________.
【答案】 4 1
4．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →
＝4，则点P 的轨迹方程为________.
【导学号：15460022】
【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2
－4＋y 2
＝4，得x 2
＋y 2
＝8，则点P 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝8.
【答案】 x 2
＋y 2
＝8
5．设圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 【解】 法一 如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝1
4.
由圆的范围，知0<x ≤1.
即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝1
4，0<x ≤1.
法二 如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，
所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上．
由圆的方程，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝1
4，
由圆的范围，知0<x ≤1.
即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝1
4，0<x ≤1.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________
学业分层测评 (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．曲线x 2
－xy －y 2
－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4,0)和(－1,0) B ．(4,0)和(－2,0) C ．(4,0)和(1,0)
D ．(4,0)和(2,0)
【解析】 在曲线x 2
－xy －y 2
－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2
－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.
∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)． 【答案】 A
2．方程(x 2
－4)(y 2
－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点
D ．四个点
【解析】 由(x 2
－4)(y 2
－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或
x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．
【答案】 B
3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →
＝4，则点P 的轨迹方程是( )
A ．x ＋y ＝4
B ．2x ＋y ＝4
C ．x ＋2y ＝4
D ．x ＋2y ＝1
【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →
＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.
【答案】 C
4．方程(2x －y ＋2)·x 2
＋y 2
－1＝0表示的曲线是( )
【导学号：15460023】
A ．一个点与一条直线
B ．两个点
C ．两条射线或一个圆
D ．两个点或一条直线或一个圆 【解析】 原方程等价于x 2
＋y 2
－1＝0，即x 2
＋y 2
＝1，或⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋2＝0，
x 2＋y 2
－1≥0，故选C.
【答案】 C
5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )
A ．a ＞1
B ．0＜a ＜1
C ．0＜a ＜1或a ＞1
D ．a ∈∅
【答案】 A 二、填空题
6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．
【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程
f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．
【解析】 由方程得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＋1＝0，
x －3≥0，或x －3＝0，
即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线
8． x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →
|，则点N 的轨迹方程是________．
【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，y 2，
由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－y 2＝0，则y 2
＝4x ，
即点N 的轨迹方程是y 2
＝4x .
【答案】 y 2
＝4x 三、解答题
9．如图2­1­1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．
图2­1­1
【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
得O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 连接PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N . 由已知|PM |＝2|PN |，得 |PM |2
＝2|PN |2
，
又在Rt △PO 1M 中，|PM |2
＝|PO 1|2
－|MO 1|2
， 在Rt △PO 2N 中，|PN |2
＝|PO 2|2
－|NO 2|2
， 即得|PO 1|2
－1＝2(|PO 2|2－1)．
设P (x ，y )，则(x ＋2)2
＋y 2
－1＝2[(x －2)2
＋y 2
－1]， 化简得(x －6)2
＋y 2
＝33.
因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2
＋y 2
＝33.
10．△ABC 的三边长分别为|AC |＝3，|BC |＝4，|AB |＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|PA |2
＋|PB |2
＋|PC |2
的最小值与最大值．
【解】
因为|AB |2
＝|AC |2
＋|BC |2
，所以∠ACB ＝90°.
以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC |＝3，|BC |＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．
设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )， 由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，
得r ＝1，
于是内切圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1⇒x 2
＋y 2
＝2x ＋2y －1，
由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.
设P (x ，y )，那么|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，
所以当x ＝0时，|PA |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，
当x ＝2时取最小值为18.
[能力提升]
1．到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( )
A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0)
B ．y ＝－43
x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43
x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43
x (0≤x ≤5) 【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的点必在线
段AB 上，因此，方程为y ＝－43
x (－3≤x ≤0)，故选A. 【答案】 A
2．已知动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )
【导学号：15460024】
A ．y 2＝4x
B ．y 2＝－12(x －4)
C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3)
D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3)
【解析】 设P (x ，y )，由题意得x －12＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.
【答案】 D
3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．
【解析】 设动点P (x ，y )，
依题意|PA |＝2|PB |，
∴x ＋22＋y 2＝2
x －12＋y 2， 化简得(x －2)2
＋y 2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S ＝π·22
＝4π.
【答案】 4π
4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，
∵M 为线段AB 的中点，
∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )．
∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，
∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1，
而k PA ＝4－02－2x ＝21－x
(x ≠1)， k PB ＝
4－2y 2－0＝2－y 1， ∴21－x ·2－y 1
＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．
∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.
综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.
法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.
而|PM |＝
x －22＋y －42， |AB |＝
2x 2＋2y 2， ∴2x －22＋y －42＝4x 2＋4y 2
， 化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。