广西2018届高三年级第二次高考模拟数学文科试卷及答案解析

广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试
数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1.复数(13)(1)
z
i i =-+-在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2.已知集合2
{|20}
A x x =->，{|0}
B x x =>，则A
B =
（ ）
A
．(0 B ．(2)(0)
-∞-
+∞，， C
．)
+∞
D
．((0)
-∞
-
+∞，，
3.设向量(4)
a
x =
-，，(1)
b x =
-，，若向量
a 与
b 同向，则x
=
（ ）
A ．2-
B ．2
C ．2±
D ．0 4.以下关于双曲线M ：2
2
8
x y
-=的判断正确的是（ ）
A ．M 的离心率为2
B ．M 的实轴长为2 C.M 的焦距为16 D ．M 的渐近线方程为y
x
=±
5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）
A ．51296π-
B ．296 C.51224π- D ．512
6.设x ，y 满足约束条件330
280
440
x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪
+-⎩≥≤≥，则3z
x y
=+的最大值是（ ）
A ．9
B ．8 C.3 D ．4 7.执行如图所示的程序框图，若输入的11
k
=，则输出的S
=
（ ）
A ．12
B ．13 C.15 D ．18
8.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设A B C △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为
S =.若2sin 24sin a C
A
=，2
(sin sin )()(27)sin a C
B c b a A
-+=-，则
用“三斜求积公式”求得的S =
（ ）
A 4
B 4
4 D 4
9.设D 为椭圆2
2
1
5
y
x
+
=上任意一点，(02)
A -，，(02)
B ，，延长A D 至点P ，使得P D B D
=，
则点P 的轨迹方程为（ ） A ．22
(2)20
x y +-= B ．2
2
(2)20
x y ++= C.2
2
(2)5
x y +-=
D ．2
2
(2)5
x y ++=
10.设38
a =，0.5lo g 0.2
b
=，4lo g 24
c
=，则（ ）
A ．a
c b
<< B ．a
b c
<< C.b
a c
<< D ．b
c a
<<
11.如图，在底面为矩形的四棱锥E A B C D
-中，D E
⊥
平面A B C D ，F ，G 分别为棱D E ，A B
上一点，已知3C D
D E ==，4B C =，1D F =，且F G ∥
平面B C E ，四面体A D F G 的每个顶
点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．12π
B ．16π C.18π D ．20π 12.将函数sin 2co s 2y
x x
=+的图象向左平移ϕ（0
2
π
ϕ<<
）个单位长度后得到
()
f x 的图象，
若
()
f x 在5()
4
ππ
，
上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ）
A ．3(
)
8
8π
π，
B ．(
)
42
π
π
，
C.3[
]8
8
π
π，
D ．[
)
4
2
π
π
，
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若2tan 1α
=，tan 2
β=-，则tan ()α
β+=
．
14.若m 是集合{1357911}，，，，，中任意选取的一个元素，则椭圆2
2
1
2
x
y
m
+
=的焦距为整数
的概率为 ． 15.若函数
(1)21
()52lg 1
a x x f x x x -+⎧=⎨
-->⎩，，≤是在R 上的减函数，则a 的取值范围是 ．
16.若函数
3
2
()3f x x x a
=--（0
a
≠）只有2个零点，则a
=
．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，1
1
S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，
5
a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若4S ，6S ，10S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.
18. 如图，四棱锥P
A B C D
-的底面A B C D 是正方形，PD
⊥
平面A B C D ，且2
AB
=，3
P D
=.
（1）证明：A B ⊥
平面P A D ；
（2）设E 为棱P D 上一点，且2D E PE
=，记三棱锥C
P A B
-的体积为1V ，三棱锥P
A B E
-的
体积为2V ，求12
V V 的值.
19. “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：
（1）请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系（当0.81r >时，说明y 与x 之间
具有线性相关关系）；
（2）建立y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.1），预测当宣传费用为20万元时的利润， 附参考公式：回归方程y
b x a
=+中b 和a 最小二乘估计公式分别为
12
2
1
n
i i i n
i i x y n x y
b x n x
==-=
-∑
∑
，a
y b x
=-
，相关系数n
i i x y n x y
r
-=
∑
参考数据：
8
1
241
i i i x y ==∑
，8
2
1
356
i i x ==∑
8.25
≈
6
=
20. 已知曲线M 由抛物线2x y
=-及抛物线2
4x y
=组成，直线l ：3y kx =-（0k >）与曲线M
有m （m ∈N ）个公共点. （1）若3m ≥，求k 的最小值； （2）若3
m =，记这3个交点为A ，B ，C ，其中A 在第一象限，(01)F ，，证明：2
F B
F C F A
⋅=
21. 已知函数()(2)(2)
x
f x a x e e a =---.
（1）讨论()
f x 的单调性；
（2）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xO y 中，直线l 的参数方程为c o s 1s in x t y t αα
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2
s in o s 0
ρθθ-=.
（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点(01)P ，，点0)
Q ，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段A B 的
中点为M ，求P M
的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()23
=-++.
f x x x
（1）求不等式()15
f x≤的解集；
（2）若2()
-+≤对x∈R恒成立，求a的取值范围.
x a f x
广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试
数学参考答案（文科）
一、选择题
1-5:ADBDC 6-10:ACDBA 11、12：CC 二、填空题 13.34
-
14.
12
15.[61)-， 16.4-
三、解答题
17.（1）设数列{}n a 的公差为d
由题意可知314
2
215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪
≠⎩
，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩ ，即112a d =⎧⎨=⎩
所以21n a n =-
（2）由（1）知21n a n =- ，∴2
n S n = ，∴416S = ，836S = ，
又248n S S S = ，∴2
2
36
8116
n =
= ，∴9n = ，公比84
94
S q S =
=
18.（1）证明：∵P D ⊥ 平面A B C D ，∴P D A B ⊥ ， ∵底面A B C D 是正方形，∴A B A D ⊥ ，又P D
A D D = ，∴A
B ⊥ 平面P A D .
（2）解：∵2D E P E = ，2A D A B == ，3P D = ，∴P A E △ 的面积为11212
⨯⨯= ，
∴12133
P A B E B P A E V V A B --==⨯⨯=
又1123
2
C P A B P A B C V V P
D A B B C --==⨯⨯
⨯⨯=
∴
12
3V V =
19.解：（1）由题意得6x = ，4y =
又8
1
241i i i x y ==∑
8.25≈
6= ，
所以8
8
()()
8i i i i x x y y x y x y
r
---=
=
∑
∑
241864
0.990.818.256
-⨯⨯≈
≈>⨯
所以，y 与x 之间具有线性相关关系.
（2）因为8
18
2
2
2
1
824186449=
0.72
35686
68
8i i i i i x y x y
b
x x
==--⨯⨯=
=
≈-⨯-∑
∑
，
40.7260.3
a y
b x =-=-⨯≈-，
（或490.768
b =
≈ ，49460.368
a =-
⨯≈- ）
所以y 关于x 的线性回归方程为0.70.3y x =- . 当20x = 时，0.7200.313.7y =⨯-=
故可预测当宣传费用为20 万元时的利润为137 万元.
20.（1）解：联立2
x y =- 与3y k x =- ，得230x kx +-= ，
∵2
1=120k ∆+> ，∴l 与抛物线2
x y =- 恒有两个交点.
联立2
4x y = 与3y k x =- ，得24120x kx -+= .
∵3m ≥ ，∴2
2=16480k ∆-≥
，∵0k > ，∴k ≥
，∴k
（2）证明：由（1）知，k =且2
4120A A x k x -+= ，∴24
A x k = ，∴2A
x k ==
∴2
4A y = ，∴3A y =
易知(01)F ， 为抛物线2
4x y = 的焦点，则3142
A
p F A y =+
=+=
设11()B x y ， ，22()
C x y ， ，则12x x k +=-=，123x x =- ，
∴1212()69y y k x x +=+-=- ，2
12121212(3)(3)3()99y y k x k x k x x k x x =--=-++=
∴1212121212(1)(2)()116F B F C x x y y x x y y y y ⋅
=+--=+-++= ∵2
16F A
= ，∴2
F B F C F A ⋅=
21.解：（1）()(2)x
f x a x a e '=-+
当0a = 时，()20x
f x e '=-< ，∴()f x 在R 上单调递减.
当0a > 时，令()0f x '< ，得2a x a -< ，令()0f x '> ，得2a x a
->
∴()f x 的单调递减区间为2()a
a --∞，
，单调递增区间为2()a a
-+∞， ， 当0a < 时，令()0f x '< ，得2a
x a
-> ，令()0f x '> ，得2a x a -<
∴()f x 的单调递减区间为2(
)a a
-+∞， ，单调递增区间为2()a a
--∞，
（2）当0a = 时，()f x 在(1)+∞， 上单调递减，∴()(1)0f x f <= ，不合题意. 当0a < 时，2
2
2
(2)(22)(2)(2)220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意，
当1a ≥ 时，()(2)0x
f x a x a e '=-+> ，()f x 在(1)+∞， 上单调递增，
∴()(1)0f x f >= ，故 1a ≥满足题意. 当01a << 时，()f x 在2(1)a a
-， 上单调递减，在2(
)a a
-+∞， 单调递增，
∴m in 2()(
)(1)0a f x f f a
-=<= ，故01a << 不满足题意.
综上，a 的取值范围为[1)+∞，
22.解：（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin co s co s 0x y ααα-+= ，
由2s in o s 0ρθθ-=
得22
s in c o s 0ρθθ-=
所以曲线C
的直角坐标方程为2
y =
（2）易得点P 在l
，所以tan 3
P Q k α==
=-
，所以56
πα=
所以l
的参数方程为2
112
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ，
代入2y = 中，得2
1640t t ++= .
设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t . 则12
082
t t t +=
=- ，所以08P M t ==
广西2018届高三年级第二次高考模拟数学文科试卷及答案解析
11 23.解：（1）因为213
()532212
x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩，，≤≤， ，13x <-≤
所以当3x <- 时，由()15f x ≤ 得83x -<-≤ ；
当32x -≤≤ 时，由()15f x ≤ 得32x -≤≤ ；
当2x > 时，由()15f x ≤ 得27x <≤
综上，()15f x ≤ 的解集为[87]-，
（2）（方法一）由2()x a f x -+≤ 得2()a x f x +≤ ， 因为()(2)(3)5f x x x --+=≥ ，当且仅当32x -≤≤ 取等号， 所以当32x -≤≤ 时，()f x 取得最小值5 .
所以，当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5 ，
故5a ≤ ，即a 的取值范围为(5]-∞，
（方法二）设2()g x x a =-+ ，则m a x ()(0)g x g a == ，
当32x -≤≤ 时，()f x 的取得最小值5 ，
所以当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5 ，
故5a ≤ ，即a 的取值范围为
(5]-∞，。