八年级数学上册_知识点总结(北师大版)(可编辑修改word版)

《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）
第一章勾股定理
1、勾股定理 ------ 已知直角三角形，得边的关系
直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即a 2+b 2=c 2
2、勾股定理的逆定理 ------ 由边的关系，判断直角三角形
如果三角形的三边长 a，b，c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当 a 为奇数且 a＜b 时，如果b +c =a2，那么 a,b,c 就是一组勾股数.
如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……
（2）大于 2 的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n, n2-1, n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……
4、常见题型应用：
（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……
（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……
（3）判定三角形形状：
a2+b2>c2锐角三角形，a2+b2=c2直角三角形，a2+b2<c2钝角三角形判定直角三角形
a..找最长边；
b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；
c.确定形状
第二章实数
1.无理数的引入。

无理数的定义无限不循环小数。

⎪那么这个非负数x 就叫做a 的算术平方根，记为 a ， a ⎩ ⎩ ⎩
⎪
⎩
⎪
⎪ ⎧算术平方根定义如果一个非负数x 的平方等于a ，即x 2 = a ⎪
⎪
⎪算术平方根为非负数 ≥ 0
⎪
⎧正数的平方根有 2 个，它们互为相反数 ⎪
⎪
平方根⎨0的平方根是 0
⎪ ⎪ ⎪负数没有平方根 ⎪
2. 无理数的表示⎨定义：如果一个数的平方等于a ，即x 2 = a ，那么这个数就
⎪
⎪
⎪
⎧正数的立方根是正数 ⎪
⎪ ⎪立方根⎨
负数的立方根是负数
⎪ ⎪0的立方根是 0 ⎪
⎪定义：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3 = a ，那么这个数x ⎪ ⎪⎩
⎧概念有理数和无理数统称实数 ⎪
⎪
⎪ ⎧⎪有理数
⎧正数 ⎪ ⎪分类⎨无理数或⎨ 0 ⎪
3. 实数及其相关概念⎨ ⎪⎩ ⎪负数 ⎪绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 ⎪
实数与数轴上的点是一一对应 ⎪实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 ⎪ ⎪⎩运算规律相同。

一、实数的概念及分类
1、实数的分类
⎧ ⎧正有理数⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪有理数⎨0 ⎬有限小数与无限循环小数 实数 ⎪负有理数⎪ ⎨ ⎩ ⎭ ⎧正实数
⎪
⎧正无理数⎫
实数⎪ ⎪无理数⎨ ⎬无限不循环小数
⎨0
⎩⎪
⎩负无理数⎭
⎪负实数 叫做a 的平方根，记为± a 就叫做a 的立方根，记为3 a .
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如7, 32 等根号a（a 为非完全平方数或非立方数）。

π（2）有特定意义的数，如圆周率π（π=3.14159265…)，或化简后含有π的数，如 +8 等；
3 （3）有特定结构的数，如0.1010010001…；0.585885888588885……(相邻两个5 之间8 的个数逐次加1 等；
（4）某些三角函数值，如 sin60o等；
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

3、倒数
如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是 1 和-1。

零没有倒数。

4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

a a a a 3
- a 5、估算.
注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；
（2）要求记忆： = 1.414
= 1.732
= 2.236 .
三、平方根、算数平方根和立方根
1. 平方根和算术平方根：
（1）概念：如果 x 2 = a ，那么 x 是 a 的平方根，记作： ±
；读作“正、负根号 a ”
，
其中 叫做 a 的算术平方根，读作根号 a 。

（2）性质：①当 a ≥0 时， ≥0； 当 a ＜０时， 无意义；
② ( a )
2
＝ a ； ③
= a 。

（区分②、③）
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（3）开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。

⎧⎪a ≥ 0
注意 ： 的双重非负性： ⎨
（开平方的被开方数的条件）
2. 立方根：
⎩⎪ a ≥ 0 （算术平方根的非负性）
（1） 概念：若 x 3 = a ，那么 x 是 a 的立方根（或三次方根），记作： 3 a ；
（2）性质：①
3 a 3 = a ； ② ( 3 a )
3
= a ；
③ ＝ - 3 a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意： = -3 a ， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

区分：平方根、立方根的性质
根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。

正数和负数的平方后为正，所以，只有非
负数才可以开平方，因此一个非 0 正数开平方后有 2 个；而任何数的立方后的符号与原数的 符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有 1 个，符号与原数的符号也一致。

四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表
2 3 5 a a 2 3 - a
3 6 6 a a 2
a 2 a a a
b a b ⎩
示的数大。

2、实数大小比较的几种常用方法
（1） 数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2） 求差比较：设 a 、b 是实数，
a -
b > 0 ⇔ a > b ,
a -
b = 0 ⇔ a = b ,
a -
b < 0 ⇔ a < b
a
（3） 求商比较法：设 a 、b 是两正实数，
b
> 1 ⇔ a > b ; a b = 1 ⇔ a = b ; a
b < 1 ⇔ a < b ; （4） 绝对值比较法：设 a 、b 是两负实数，则 a
> b ⇔ a < b 。

（5） 平方法：
① 设 a > 0, b > 0 ，则 a 2 > b 2 ⇔ a > b
② 设 a < 0, b < 0 ，则 a 2 > b 2 ⇔ a < b 。

③ 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。

如：比较
与3.4 ；
3 与 2
1 1 1 1
（6） 倒数法：设 a > 0, b > 0 ，则
a >
b ⇔ < a b ；设 a < 0, b < 0 ，则 a > b ⇔ < a b
规律：同号取倒（数）反向
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“
”； 被开方数 a 必须是非负数，即：
a 中a ≥ 0 。

2、性质：
（1）非负性 ≥ 0
（2） (
a )2
= a (a ≥ 0)
（
( a )
2
中前提，被开方数 a ≥ 0 ）
⎧a ,(a ≥ 0) 2 （3） = a = ⎨-a ,(a < 0) （ 中隐含被开方数 a ≥ 0 ）
（4） = • b (a ≥ 0, b ≥ 0) ；（ • = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ）
（前提根号要有意义） （5）
= (a ≥ 0, b > 0) ；（ = (a ≥ 0, b > 0) ）（前提式子和根号要有意义，）
53
ab b a b a b
y
一
一 a 拓展：三个重要非负数： a 2 ≥ 0, a ≥ 0, ≥ 0 .注意：非负数之和为 0 ⇒ 它们都是 0.
3、运算结果若含有“ ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被
开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六、实数的运算
（1） 六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 （2） 实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

（3） 运算律
加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律
a +
b = b + a
(a + b ) + c = a + (b + c )
ab = ba (ab )c = a (bc )
乘法对加法的分配律 a (b + c ) = ab + ac
（4） 与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完
全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数， 即实数和数轴上的点是一一对应的。

因此，数轴正好可以被实数填满。

第三章
位置的确定
一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和 y 轴统称坐标轴。

它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第
6
a
y C
A
°
B
D
0 45
45°
G
y y 3
x 2 0 3 3 3 3 y 一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点 P,过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、y 轴对应的数 a ，b 分 别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点 P 的坐标。

P
y
b
点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间
有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对， a 0 x
当 a ≠ b 时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是一一对应的。

4、不同位置的点的坐标的特征
（1）、各象限内点的坐标的特征
（结合图形，过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、y 轴对应的数 x , y 在坐标轴的正
向为正，负向为负）
点 A (x , y ) 在第一象限⇔ x
> 0, y > 0
(-,+)B y
(+,+) 2 A 1
1
1
1
x 3 y 1 x 点 B (x 2 , y 2 ) 在第二象限⇔ x 2 < 0, y 2 > 0
x 4
点 C (x , y ) 在第三象限⇔ x < 0, y < 0
C
(-,-) y 4 D (+,-)
点 D (x 4 , y 4 ) 在第四象限⇔ x 4
（2）
、坐标轴上的点的特征
> 0, y 4 < 0
y B (0,y 2)
点 P(x,y)在 x 轴上⇔ y = 0 ，x 为任意实数
点 P(x,y)在 y 轴上⇔ x = 0 ，y 为任意实数
C (x 3,0) 0 A (x 1,0)
D (0,y 4)
点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上⇔ x ，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）即原点
（3）
、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线 y=x ）上 x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔ x 与 y 互为相反数
（4） 、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

x 1 F
E
x
x 2+y 2
（5）、关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征
① 点P 与点P ' 关于x 轴对称（上下）⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数，
即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点为P ' （x，-y）
② 点 P 与点P ' 关于 y 轴对称（左右）⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数，
即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点为P ' （-x，
③ 点 P 与点P ' 关于原点对称⇔
规律：
即点 P（x，y）关于原点的对称点为P ' （-x，-y
关于谁对称谁不变，另一个变相反；
关于原点对称，两个分别变相反。

(6)、点到坐标轴及原点的距离（结合图形理解）
点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y
（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x
（3）点P(x,y)到原点的距离等于（由勾股定理可得）
三、坐标变化与图形变化的规律：
第四章一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，
那么我们称 y 是x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。

二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

一般从整式（取全体实数），分式（分母不为 0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、
实际意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表
示法叫做关系式（解析）法。

（2）列表法
把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量 x，y 间的关系可以表示成y =kx +b （k，b 为常数，k ≠0）的形式，则
称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。

特别地，当一次函数y =kx +b 中的 b=0 时（即y =kx ）（k 为常数，k ≠0），称 y 是x 的正比
例函数。

2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
①、一次函数y =kx +b 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y =kx 的图像是经
过原点（0，0）的直线。

②、由于一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，所以一次函数 y = kx + b 的图象也称为直线
y = kx + b 。

③、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数 y = kx + b 的图象时，只要描出：与 x 轴的交 点（令 y = 0 ，求出 x = - b ），与 y 轴的交点（令 x = 0 ，求出 y = b ），即（ (0, b ), (- b
, 0)
k
k
两点即可，画正比例函数 y = kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1， k ）即可。

④、 k 的正负决定直线的倾斜方向， k 的大小决定直线的倾斜程度，即 k 越大，直线与 x 轴相
交的锐角度数越大（直线陡）， k 越小，直线与 x 轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。

⑤、 b 的正负决定直线与 y 轴交点的位置。

当b > 0 时，直线与 y 轴的交于正半轴上。

当b < 0 时，直线与 y 轴交于负半轴上。

当b = 0 时，直线经过原点，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、一次函数、正比例函数的图象和性质。

当 k ＞0 时， y 随 x 的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势；
当 k ＜0 时， y 随 x 的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。

函 数 图 象 性 质
一次函数
⎧b . > 0
k > 0⎪b = 0
⎨ ⎪b < 0 ⎩
⎧b . > 0 k < 0⎪b = 0
⎨ ⎪b < 0 ⎩
(1) (2) (3)
(1) (2) (3)
（1） 当 k > 0 时， y 随 x 的增大而增
大，图象必经过一三象限。

① b > 0 时，过一二三象限 ② b = 0 时，只过一三象限 ③ b < 0 时，过一三四象限时
（2） 当 k < 0 时， y 随 x 的增大而减
小，图象必过二四象限。

① b > 0 时，过一二四象限 ② b =0 时，只过二四象限 ③ b < 0 时，过二三四象限
y = kx + b
正比例函数y =kx y y
0 x 0 x
图象过原点
⑴当k > 0 时，y 随x 的增大而增大，
图象必过一三象限
⑵当k < 0 时，y 随x 的增大而减小，
图象必过二四象限。

5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y =kx （k ≠0）中的常数 k。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y =kx +b （k ≠0）中的常数 k 和b。

解这类问题的一般方法是
待定系数法。

（1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件
①由于正比例函数y =kx(k ≠ 0) 中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x, y 的值或一
个点）就可求得k 的值。

②由于一次函数y =kx +b(k ≠ 0) 中有两个待定系数k, b ，需要两个独立的条件确定两个关于k, b
的方程，求得k, b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x, y 的值。

（2）待定系数法
先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。

（3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
① 设函数表达式为y =kx +b 。

② 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。

③ 求出k与b 的值，得函数表达式。

6、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）．当函数值y = 0 时，即kx+b=0 就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值y = 0 时，求相应的自变量的值．
⎩ 从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值．
7、一次函数 y = kx + b 的图象与坐标轴交点求法：
b b 与 x 轴的交点：令 y = 0 ，求出 x = - k ，得(- k
, 0) ； 与 y 轴的交点：令 x = 0 ，求出 y = b ，得 (0, b )
第五章 二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4 二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法
（2）加减（消元）法
（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”，所谓之“消元”）
6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：
（1） 一次函数与二元一次方程的关系：
每个二元一次方程都可以看成一次函数，直线 y=kx+b 上任意一点的坐标(m , n ) 都是它所对应的
⎧x = m 二元一次方程 kx - y + b = 0 的解⎨ y = n
（2） 一次函数与二元一次方程组的关系：
求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。

二元一次方程组 ⎧a 1x + b 1 y = c 1 ⎨a x + b y = c
⎧x = m 的解⎨ y = n 可看作两个一次函数 y = - a 1 b x + c 1 b ⎩ 2 2 2 ⎩ 1 1
和 y = - a 2 x + c 2 的图象的交点(m , n ) 。

反之，可以通过求二元一次方程组的解，求出两个一次 b 2 b 2
函数图象的交点
当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时， 说明相应的二元一次方程组无解。

7、在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：
①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x 或y ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；
②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

8、 处理问题的过程可以进一步概括为：
问题分析 → 方程(组) 求解 → 解答
抽象 检验
第六章 数据的代表
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数
2、平均数
1
（1） 平均数：一般地，对于 n 个数 x 1 , x 2 , , x n , 我们把 n
(x 1 + x 2 + + x n ) 叫做这 n 个数的
算术平均数，简称平均数，记为 x 。

（2） 加权平均数：
①、一组数据 x , x , , x
, 的权分加为 w , w , w , ... , w ，则称 x 1w 1 + x 2 w 2 + x 3w 3 + .... + x n w n
1 2 n 1 2 3 n w + w + w + .... + w 1 2 3 n
为这n 个数的加权平均数。

（如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查，成绩分别为72，50，88，而三
72 ⨯ 4 + 50 ⨯ 3 + 88⨯1 项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均数为：）
4 + 3 +1
②、如果n 个数中，x1 出现f1 次，x2出现f2次，…，x
k 出现f k次（f
1 +f
2 + f k =n
），
x f +x f + x f
那么这n 个的平均数可表示为x = 1 1 2 2 k k ，这样的平均数x 叫加权平均数，其中
n
f 1 , f
2
, f
k
叫做权。

如：某小组在一次数学测试中，有3 人为85 分，2 人为90 分，5 人为100 分，则该小组的平均分为：85⨯ 3 + 90 ⨯ 2 +100 ⨯ 5
= 93.5
3 + 2 + 5
3、众数
众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。

4、中位数
中位数指的是n 个数据按大小顺序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。

众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数首先要将数据按大小顺序排列，而且要注意当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数，特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。