高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算2.2复数的乘法与除法课件北师大版选修1_2

答案：
3 2
1 2
4．(1)已知 z1＝2＋i，z2＝3－4i，计算 z1·z2. (2)已知 z1＝1＋2i，z2＝3－4i，计算zz21. 解析： (1)z1·z2＝(2＋i)(3－4i)＝6－8i＋3i－4i2＝10－5i. (2)zz21＝13＋－24ii＝13＋ －24ii33＋ ＋44ii＝－52＋5 10i＝－15＋25i.
即 z＝a＋bi，则 z ＝___a_－__b_i _.
共轭复数的性质 1．两个共轭复数的对应点关于实轴对称． 2．实数的共轭复数是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． 3．z·z ＝|z|2＝| z |2∈R.z 与 z 互为实数化因式．
5．复数的除法法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则zz12＝ac＋＋dbii＝__ac_c2＋ ＋__bd_d2_＋__b_cc_2－ ＋__ad_d2_i_.
A．1＋3i
B．3＋3i
C．3－i
D．3
(2)复数1－5i2i＝(
)
A．2－i
B．1－2i
C．－2＋i
D．－1＋2i
解析： (1)∵(1＋z)·z＝z＋z2＝1＋i＋(1＋i)2＝1＋i＋2i＝1 ＋3i，故选 A.
(2)1－5i2i＝1－5i21i＋12＋i2i＝5i15＋2i＝－2＋i.
解析： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)＝－ 23－12＋12－ 23i
(2)原式＝11－－i1i01＝11－－ii＝1. (3)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2) ＝2(11－7i)＋25(1－i) ＝47－39i.
因式分解不彻底而出现错误 利用公式a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，把下列各式分解成一 次因式的积： (1)a2＋9；(2)x3－x2＋4x－4. 【错解】 (1)a2＋9不能分解为一次因式的积． (2)x3－x2＋4x－4 ＝x2(x－1)＋4(x－1) ＝(x2＋4)(x－1)．
6分
(3)原式＝(i)6＋
2＋ 3－
23iiii＝i2＋
2＋ 2＋
3ii 3i
＝－1＋i.
(4)方法一：原式＝12＋ 23i22＝－12＋ 23i2
＝－12－
3 2 i.
方法二：∵－12－ 23i3＝1，
∴原式＝－12－ 23i4＝－12－ 23i3－12－ 23i
3．计算：(1)2＋i115－1＋2i22； (2)1＋i＋i2＋…＋i100； (3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解析： (1)原式＝2＋i1i6－1＋2i2222 ＝(2＋i)－22i1111 ＝2＋i－i11 ＝2＋i－i3 ＝2＋i＋i ＝2＋2i.
答案： (1)A (2)C
共轭复数的概念及其应用
设 P，Q 是复平面上的点集，P＝{z|z·z ＋3i(z－ z ) ＋5＝0}，Q＝{ω|ω＝2iz，z∈P}．
(1)P，Q 分别表示什么曲线？ (2)设 z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值． [思路导引] (1) 设z＝x＋y x，y∈R，即Px，y →
2．设 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z·z ＋iz＝31＋0 i，求 z. 解析： 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi(a，b∈R)．
∵31＋0 i＝3－i，∴(a＋bi)(a－bi)＋i(a＋bi)＝3－i， ∴aa2＝＋－b21－b＝3 ，解得ab＝ ＝－ －11 或ab＝ ＝－ 2 1 . ∴z＝－1－i 或 z＝－1＋2i.
1.解决此类问题的常规思路为：设 z＝a＋ bi(a，b∈R)，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化 为方程组求解．
2．共轭复数的性质： (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R，利用这个 性质可证明一个复数为实数． (3)若 z≠0 且 z＋ z ＝0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可 证明一个复数为纯虚数．
则ab＝ ＝－2x02y0
，将x0＝12b y0＝－12a
代入 x20＋(y0－3)2＝4
得(a＋6)2＋b2＝16.
故 Q 表示以(－6,0)为圆心，4 为半径的圆．
(2)|z1－z2|表示分别在圆 P，Q 上的两个动点间的距离，又 圆心距|PQ|＝3 5＞2＋4，故|z1－z2|最大值为 6＋3 5，最小值 为 3 5－6.
复数的乘方
(12 分)计算：(1)21＋－2ii2＋1＋2i2 010； (2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 010；
(3)11＋ －ii6＋
2＋ 3－
3i； 2i
(4)12＋ 23i4. [思路导引] 本题主要考查复数的运算法则以及有关性
质．复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行乘方、
2．2 复数的乘法与除法
课前预习学案
若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，求实数m. 提示： ∵(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(m3＋1)i， ∵(m2＋i)(1＋mi)是实数，∴m3＋1＝0，∴m＝－1.
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(_a_c_－__b_d_)＋__(_a_d_＋__b_c_)_i __.
【错因】 没有将a2＋9，x2＋4写成一次因式的积的形 式．
【正解】 (1)a2＋9＝a2＋32＝(a＋3i)(a－3i)． (2)x3－x2＋4x－4＝x2(x－1)＋4(x－1) ＝(x－1)(x2＋4)＝(x－1)(x＋2i)(x－2i)． 【纠错心得】 多项式a2＋b2在实数集中不能因式分解， 但在复数集中可进行分解，可理解为：a2＋b2＝a2－(bi)2＝(a＋ bi)(a－bi)．
开方，再进行乘、除，最后进行加、减．
[规范解答] (1)21＋－2ii2＋1＋2i2 010＝2－＋22ii＋22i1 005
＝i(1＋i)＋1i 1 005＝－1＋i＋(－i)1 005
＝－1＋i－i＝－1.
3分
(2)方法一：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*，
＝－12－
3 2 i.
9分 12 分
12 分
1.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i 且 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． 2．对于ab＋ －baii可有如下变形： ab＋ －baii＝ab＋ －baiiii＝aa＋＋bbiii＝i. 3．利用－12± 23i3＝1， 可求能化为±12± 23in 的式子的值．
＝－1＋2
3＋1－2
3 i.
(3)原式＝－12＋＋23i i＝－12＋＋23ii11－－22ii
＝－2＋162＋＋223＋4i＝45＋75i.
(4)原式＝57－－239
55ii＝57－－239
5i7＋3 5i7＋3
5i 5i
＝35＋29×1572＋＋135
1．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
解析： ∵i2＝－1，∴i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1，故选A.
答案： A
2．若 i 为虚数单位，右图复平面
内点 Z 表示复数 z，则表示复数1＋z i的
点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
解析： ∵z＝3＋i，
∴1＋z i＝31＋＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i，再结合图示知点
5－21488 5i＝5－2 5i.
复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的 乘法法则进行，注意把i2化为－1，进行最后结果的化简；复数 的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭 复数，并进行化简．
1．(1)若复数 z＝1＋i，i 为虚数单位，则(1＋z)·z＝( )
复数的乘除法 1．复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2应化为－ 1. 2．复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注 意结果一般写成实部与虚部分开的形式．
[特别提醒] 实数的乘法公式，乘法运算律，正整数指数 幂的运算律在复数集C中仍成立．
2．复数乘法的运算律
对任意z1、z2、z3∈C，有
H 表示 2－i，故选 D.
答案： D
3．设 a，b 为实数，若复数1a＋ ＋2bii＝1＋i，则 a＝______，b ＝______.
解析： ∵1a＋ ＋2bii＝1＋i ∴1＋2i＝(a＋bi)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i ∴aa－ ＋bb＝ ＝12 .∴a＝32，b＝12.
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 010
＝1＋i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2 007＋
i2 008＋i2 009＋i2 010)＝1＋i＋i2＝i.
6分
方法二：1＋i＋i2＋…＋i2 010＝1－1－i2 i011
＝1－1i5－02×i 4＋3＝11－－ii3＝11＋－ii＝i.
代入z·z ＋3iz－ z ＋5＝0 → 化简整理得P的轨迹方程
→ 代入法求Q的轨迹方程 (2) 根据复数的几何意义 → |z1－z2|的几何意义 → 结论
[边听边记] (1)设 z＝x＋yi(x，y∈R)． 则集合 P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0} ＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}， 故 P 表示以(0,3)为圆心，2 为半径的圆． 设 ω＝a＋bi(a，b∈R)． z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且 ω＝2iz.
z2·z1 z1·(z2·z3) z1z2＋z1z3
3.复数的乘方
zmzn＝__z_m_＋_n__，(zm)n＝__z_m_n _，(z1z2)n＝_z_n1z_n2__.
4．共轭复数
如果两个复数满足___实__部__相__等__，__虚__部__互__为__相__反__数_____时， 称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用 z 表示．
课堂互动讲义
复数的乘除运算
计算： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)(5－29 5i)÷(7－3 5i)． [思路导引] 根据复数的乘法与除法运算法则进行计算．