竖直面圆周运动的绳球,杆球模型
圆周运动绳杆模型
圆周运动绳杆模型1圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型:一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。
小球能到达最高点（刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力).类此模型:竖直平面内的内轨道(2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 。
（杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力。
） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0〈v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力；③当v ＝gr时,杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时,杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道。
1、圆周运动中绳模型的应用【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2)在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑,到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1）最高点水不流出的最小速率。
（2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用 【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆,一端拴一质量m=0。
4 kg 的小球,使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动,求：（1)小球通过最高点时的最小速度；（2）若小球以速度v 1=3。
0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何?【训练3】如图所示,长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力,则（ )2vR A 。
竖直面圆周运动的绳球,杆球模型
（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即rmvmg2临界=⇒rg=临界υ（临界υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。
②能过最高点的条件：临界υυ≥。
此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mgrvmN-=2③不能过最高点的条件：临界υυ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。
（2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0=临界υ。
②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0<v<rg时，杆对小球有竖直向上的支持力rvmmgN2-=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。
当rg=υ时，N=0；当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力mgrvmN-=2，其大小随速度的增大而增大。
③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。
GF当0<v<rg 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0。
当v=gr 时，N=0。
当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大。
④图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。
在最高点的v 临界=gr 。
当v=gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动。
20竖直平面内的圆周运动模型
竖直平面内的圆周运动模型考点规律分析（1）竖直平面内的圆周运动模型 在竖直平面内做圆周运动的物体,三种模型。
一是只有拉（压）力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻纯模型”；二是只有推（支撑）力的，称为“拱桥模型”；三是可拉（压）可推 （支撑），如球与杆连接，小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
（2）三种模型对比轻绳模型拱桥模型轻杆模型弹力 弹力向下（也可弹力向上（也可弹力可能向下，可能特征能等于军）能等于零） 向上,也可能等于零运动至轨道最高点时的受力情况，可分为。
=0,即F 向=0,此 时F 、— 5囚,方向 向上①皆＞ 时* 小球能过最高 点；② U = x/^7 时,小球刚好过 最高点，③b ＜ 时小球不能过最高点 ①心时• 车（物体）囱开 拱桥最高点做 产他运动；②订 ＜不7时车 （物体）能过最 高点且不离开 拱桥典型例题例1 长度为L = 0.50 m 的轻质细杆OA, A 端有一质量为 m=3.0 kg 的小 球，如图所示，小球以。
点为圆心在竖直平面内做圆周运动， 通过最高点时小球 的速率是2.0 m/s, g 取10 m/s 2,则此时细杆OA 受到（ ）A. 6.0 N 的拉力C. 24 N 的拉力 ［规范解答］ 设小球以速率V 0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零,2V 0mg= m ［对速度 的理解 ①引〉/F 时*杆或 管道的外侧对球产 生向下的拉力或弹 力:②0=777时•球 在最高点只受重力， 不受杆或管道的作用力；③OVrV ，诉 时，杆或管道的内侧 对球产生向上的弹力B . 6.0 N 的压力临界特征 F N = 0 时.，ngi}1 位 =rn --- .得 u 尸f川“得vo = y/gL=q i0x0.50 m/s= 5［5m/s。
由于v = 2.0 m/s«5 m/s,可知过最高点时，球对细杆产生压力，细杆对小球为支持力，如图所示，为小球的受力情况图。
竖直面内的圆周运动模型(解析版)--2024届新课标高中物理模型与方法
2024版新课标高中物理模型与方法竖直面内的圆周运动模型目录一．一般圆周运动的动力学分析二．竖直面内“绳、杆(单、双轨道)”模型对比分析三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论三.过拱凹形桥模型一．一般圆周运动的动力学分析如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：Fτ=maτ，aτ改变速度v的大小F n=ma n，a n改变速度v的方向，a n=v2r作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
Fτ=maτ，aτ改变速度v的大小F n=ma n，a n改变速度v的方向，a n=v2ρ，ρ为曲率圆半径。
二．竖直面内“绳、杆(单、双轨道)”模型对比分析轻绳模型(没有支撑)轻杆模型(有支撑)常见类型过最高点的临界条件由mg=mv2r得v临=gr由小球能运动即可得v临=0对应最低点速度v低≥5gr对应最低点速度v低≥4gr绳不松不脱轨条件v低≥5gr或v低≤2gr不脱轨最低点弹力F低-mg=mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力F低-mg=mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力最高点弹力过最高点时，v≥gr，F N+mg=mv2r，绳、轨道对球产生弹力F N=mv2r-mg向下压力(1)当v=0时，F N=mg，F N为向上支持力(2)当0<v<gr时，-F N+mg=m v2r，F N向上支持力，随v的增大而减小(3)当v=gr时，F N=0(4)当v>gr时，F N+mg=m v2r，F N为向下压力并随v的增大而增大在最高点的F N 图线取竖直向下为正方向取竖直向下为正方向三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点记为C ，与原点等高的位置记为B 。
圆周运动绳杆模型(最新整理)
圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m ，这时的速度是做圆周运动的最小速rv 2度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）.类此模型：竖直平面内的内轨道(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.）①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0<v <时，杆对小球的支持力 于小球的重力；gr ③当v ＝时，杆对小球的支持力 于零；gr ④当v > 时，杆对小球提供 力.gr类此模型：竖直平面内的管轨道.1、圆周运动中绳模型的应用【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：(1)小球通过最高点时的最小速度；(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度可能为0C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。
高中物理 圆周运动典型例题详解
B、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消失时，
将沿圆周切线方向离开圆心
C、作匀速圆周运动的物体，它自己会产生一个向心力，
维持其作圆周运动
D、作离心运动的物体，是因为受到离心力作用的缘故
【例4】以下属于离心现象应用的是（ BC ） A、水平抛出去的物体，做平抛运动 B、链球运动员加速旋转到一定的速度后将链球抛开 C、离心干燥器使衣物干燥 D、锤头松了，将锤柄在石头上磕风下就可以把柄安牢
解题感悟
2.两个圆周运动临界问题
v0
v0
杆连球（管通球）模型的临界问题
小球速度 运动情况 弹力的方向
弹力的大小
v=0 平衡状态 竖直向上的支持力
v gr 圆周运动 竖直向上的支持力
FN=mg
FN
mg
m
v2 r
v gr
圆周运动
v gr 圆周运动 指向圆心的拉力
FN
FN=0 mg
m
解题感悟
解决竖直平面内的变速圆周运动问题的关键是掌握两个圆周 运动模型和两个圆周运动临界问题： 1.两种圆周运动模型：
最低点圆周运动模型
最高点圆周运动模型
v0
v0
第四章 曲线运动和万有引力→3圆周运动
（三）考点应用，精讲精析 典型问题三：曲线运动中的动力学问题（四）------竖直平面内的变速圆周运动
例1 下列关于离心现象的说法正确的是（ ） A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现 象 B.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都 突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动 C.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都
突然消失后，物体将沿切线做匀速直线运动 D.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都 突然消失后，物体将做曲线运动 【解析】向心力是根据效果命名的，做匀速圆周 运动的物体所需要的向心力是它所受的某个力或 几个力的合力提供的，因此，它并不受向心力的 作用.它之所以产生离心现象是由于F合=Fn<mω2r，
竖直平面内的圆周运动(绳、杆模型)学校学案
竖直平面内的圆周运动(绳、杆模型)学校学案文章格式已经修正，下面是改写后的文章：竖直平面内的圆周运动可以分为绳模型和杆模型，它们是一种典型的变速曲线运动，常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语。
对于绳模型，如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m，绳长为R。
在最低点时，小球受到重力和绳的拉力，向心力由重力mg和拉力F的合力提供。
根据牛顿第二定律，可以得到向心力的大小为F=mg+m*v^2/R，拉力大于重力。
在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供，向心力大小与速度v成正比，临界条件为v=Rg，当速度小于临界速度时，小球不能过最高点。
对于杆模型，如图所示小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为m，杆长为R。
在最低点时，向心力由重力和拉力的合力提供，大小为F+mg=m*v^2/R。
在最高点时，杆的弹力有可能是拉力，也可能是支持力。
若杆的作用力为支持力，则小球受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，向心力大小为F-mg=m*v^2/R。
若杆的作用力为拉力，则向心力大小为F+mg=m*v^2/R。
临界条件为v=Rg，当速度小于临界速度时，小球不能过最高点。
列牛顿第二定律：mg-F=m/R（1）若杆的作用力为支持力；受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向上的支持力列牛顿第二定律：mg+F=m/R（2）若杆的作用力为拉力；受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向下的拉力列牛顿第二定律：mg=m/R（3）若杆的作用力为零时，小球仅受竖直向下的重力；注：小球在圆形管道内运动过圆周最高点的情况与此相同。
故杆或者圆形管道内运动过圆周最高点的情况可总结为：1）小球能到达最高点的临界条件：v= 0，F=mg（F为支持力）2）当0F。
0（F为支持力）3）当v=Rg时，F=04）当v>Rg时，F随v增大而增大，且F>0（F为拉力）例1．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是（）A．球过最高点时，速度为零B．球过最高点时，绳的拉力为mg/RC．开始运动时，绳的拉力为m*v^2/RD．球过最高点时，速度大小为Lg/R解析：开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即F-mg=m*v^2/R。
竖直平面内的圆周运动(绳、杆模型)学校学案
竖直平面内的圆周运动（绳、杆模型）学习目标：1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。
2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。
注意知识点：1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。
两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是：（1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。
（2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。
一、绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m ，绳长为R ，1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。
由牛顿第二定律得：向心力由重力mg 和拉力F 的合力提供：F-mg =2v m R 得：F =mg+2v m R在最低点拉力大于重力2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉力。
可知小球做圆周运动的向心力由重力mg 和拉力F 共同提供：F+mg =2v m R在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供， v 越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v 越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。
如果v 不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F 就会减小到0，这时小球的向心力最小F 向=mg ，这时只有重力提供向心力。
故：（1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用 ，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。
mg =2v m R v 临界=Rg（2）小球能过最高点条件：v ≥Rg （当v >Rg 时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供） （3）不能过最高点条件：v <Rg（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）二、杆模型：如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为m ，杆长为R ，1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力mg 和拉力F的合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg =2v m R在最低点情况和绳模型一样2、在最高点时，我们对小球受力分析如图,杆的弹力F N 有可能是拉力，也可能是支持力。
4-07-2-物理建模：竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型
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轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高点的 临界条件
v 临＝ gr
小球恰能做圆周运动，v临＝0
(1)当 v＝0 时,FN＝mg,沿半径背离圆心
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr， 绳、 v2 轨 道 对 球 产 生 弹 力 FN ＋ (2)当 0＜v＜ gr时,－FN＋mg＝m r ,FN 背离 v2 圆心,随 v 的增大而减小 mg＝m r (3)当 v＝ gr时，FN＝0 (2)不能过最高点 v＜ gr， v2 (4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝m r ，FN 指向圆 在到达最高点前球已脱离 心并随 v 的增大而增大 圆轨道
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2017版高三一轮物理教学实用课件
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2. 典例剖析
2017版高三一轮物理教学实用课件
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【例 3】如图示，长为 L 的轻杆一端固定质量为 m 的小球，另一端固定 在转轴 O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P 为圆周的最高点，若 9 小球通过圆周最低点时的速度大小为 gL，忽略摩 2 擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是( ) A．小球不能到达 P 点 B．小球到达 P 点时的速度大于 gL C．小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向上的弹力 D．小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向下的弹力
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牛顿第二定律和机械能守恒定律
mv FN－mg＝ R 牛顿第二定律方程 1 2 mg· 2R＝ mv 机械能守恒方程 2
2
列方程
求解
自己试一试！
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物理建模系列 竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型
物理建模系列 竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型1．模型条件(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动。
(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。
2．常用模型该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：好能在竖直面内做完整的圆周运动。
已知水平地面上的C 点位于O 点正下方，且到O 点的距离为1.9L 。
不计空气阻力。
(1)求小球通过最高点A 时的速度v A ；(2)若小球通过最低点B 时，细线对小球的拉力F T 恰好为小球重力的6倍，且小球经过B 点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C 点的距离。
解题指导： 解答本题可按以下思路进行：解析： (1)若小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A 点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有mg ＝m v 2AL解得v A ＝gL 。
(2)小球在B 点时，根据牛顿第二定律有F T －mg ＝m v 2BL其中F T ＝6mg解得小球在B 点的速度大小为v B ＝5gL细线断裂后，小球从B 点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得竖直方向上：1.9L －L ＝12gt 2水平方向上：x ＝v B t 解得x ＝3L即小球落地点到C 点的距离为3L 。
答案： (1)gL (2)3L [即学即练](2016·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析： 轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v ＝gR 时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若v ＜gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg －F ＝m v 2R ，随v 增大，F 减小，若v ＞gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg ＋F ＝m v 2R ，随v 增大，F 增大，故C 、D 均错误。
绳球模型+杆球模型导学案原创
圆周运动模型之——绳球模型+杆球模型导学案【学习目标】1.从生活实例出发，掌握竖直平面内两种圆周运动模型，绳球模型和杆球模型2.自主探究，小组协作，能够分析两种模型最高点和最低点受力及最高点速度临界问题。
3.学以致用，能用自己探究得到的模型知识解决绳球及杆球相关习题【课前自学】绳球模型一、填空题1.绳子和杆相比，绳子（是硬的，是软的），可以（拉伸，支持）物体，可以产生（支持，拉）力2.杆和绳子对比，杆（是硬的，是软的），可以（拉伸，支持）物体，可以产生（支持，拉）力二、讨论题在那某年某月的某一天，天气晴朗，微风拂面，风和日丽，时光美好。
于是，心情爽朗的你去感受过山车的速度与激情。
但是，在搭乘过山车到最高点时你的安全带脱落了！！问，在过山车运行到此最高点时，你会不会出事？此过山车是正圆环形状。
参考答案：一定会出事；不一定会出事。
【课中互学】三、绳球模型速度分析（一）在最高点1.用绳子连一物体做圆周运动，问，当物体在最高点速度等于0时，能不能使物体继续做圆周运动？（能，不能）2.用绳子连一物体做圆周运动，问，在最高点绳子能产生支持力么？（能，不能）3. 用绳子连一物体做圆周运动，问，在最高点绳子能产生拉力么？（能，不能）4. 用绳子连一物体做圆周运动，问，在最高点若重力刚好提供向心力，此时绳子对物体有拉力么？（有，没有）5. 用绳子连一物体做圆周运动，若在最高点物体仅受重力，由，求出此时物体的速度？（）6.用绳子连一物体做圆周运动，若在最高点物体不只受重力还受到绳子拉力作用，问，此时物体的速度情况如何？（等于，小于，大于）（二）在最低点根据物体在最低点的受力情况，选出求解向心力的表达式。
（，），此时物体处于（超重，失重）状态，绳子（容易，不容易）断四、方法总结1. 绳球模型中，在最高点，当速度小于时，物体（能，不能）继续做圆周运动2.绳球模型中，在最高点，当速度等于时，物体（能，不能）继续做圆周运动,物体此时仅受（重力，拉力）作用3.绳球模型中，在最高点，当速度等于0时，物体（能，不能）继续做圆周运动4.绳球模型中，在最高点，当速度大于时，物体（能，不能）继续做圆周运动,物体此时受（重力，拉力）作用,此时向心力公式为（，）5.绳球模型中，物体恰能上到最高点的临界速度是，物体此时仅受（重力，拉力）作用6.绳球模型中，在最低点，物体向心力的求解公式为【模型延伸】拓展：单轨模型有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m 的小球沿着它的内表面做圆周运动。
竖直平面内的圆周运动与临界问题 (2)
力提供向心力
mg m v2 v gL 10 0.9 3m / s
L
（3）当球在最高点的速度为v1=6m/s时，设杆对球的作用力为F1 取竖直向下为正，则有
F mg m v2
1
l
F1
v2 m
l
mg
6N
F
mg
杆对球的作用力为竖直向下6N
O
当球在最高点的速度为v2=1.5m/s时，设杆对球的作 用力为F2仍取竖直向下为正，则有
T=0
mg m v2 r
v gr
N=0
v2 mg m
r
v gr
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
在最高点时速 度应不小于
gr
在最高点时速 度应不小于
gr
在最高点速度 应大于0
在最高点速度 应大于0
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的N临界条件也不N 同。
1如图所示，细杆的一端与一小球相连，可
绕过O点的水平轴自由转动.现给小球一初速
度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小
球轨道的最低点和最高点.则杆对球的作用
力可能是（AB ）
b
A. a处为拉力，b处为拉力
B. a处为拉力，b处为推力
C. a处为推力，b处为拉力
O
D. a处为推力，b处为推力
a
实例二：杆模型 2如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长为Ｌ ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平轴在 竖直平面内转动，g=10m/s2，求：
物理建模系列(七) 竖直平面内圆周运动的两种模型
物理建模系列(七)竖直平面内圆周运动的两种模型1．模型构建在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．2．模型条件(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动．(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑．3．常用模型面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g .当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )A ．Mg －5mgB ．Mg ＋mgC ．Mg ＋5mgD ．Mg ＋10mg【解析】 解法一：以小环为研究对象，设大环半径为R ，根据机械能守恒定律，得mg ·2R ＝12m v 2，在大环最低点有F N －mg ＝m v 2R ，得F N ＝5mg ，此时再以大环为研究对象，受力分析如图，由牛顿第三定律知，小环对大环的压力为F ′N ＝F N ，方向竖直向下，故F ＝Mg ＋5mg ，由牛顿第三定律知C 正确．解法二：设小环滑到大环最低点时速度为v ，加速度为a ，根据机械能守恒定律12m v 2＝mg ·2R ，且a ＝v 2R，所以a ＝4g ，以整体为研究对象，受力情况如图所示．F －Mg －mg ＝ma ＋M ·0 所以F ＝Mg ＋5mg ，C 正确． 【答案】 C[高考真题]1．(2016·上海卷，16)风速仪结构如图(a)所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住．已知风轮叶片转动半径为r ，每转动n 圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt 内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片( )A ．转速逐渐减小，平均速率为4πnr ΔtB ．转速逐渐减小，平均速率为8πnrΔtC ．转速逐渐增大，平均速率为4πnrΔtD ．转速逐渐增大，平均速率为8πnrΔt【解析】 据题意，从b 图可以看出，在Δt 时间内，探测器接收到光的时间在增长，圆盘凸轮的挡光时间也在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在Δt 时间内可以从图看出有4次挡光，即圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n 周，风轮叶片转过的弧长为l ＝4n ×2πr ，叶片转动速率为：v ＝8n πrΔt，故选项B 正确．【答案】 B2．(2016·浙江卷，20)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝3.14)，则赛车( )A ．在绕过小圆弧弯道后加速B ．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s【解析】 赛车用时最短，就要求赛车通过大、小圆弧时，速度都应达到允许的最大速度，通过小圆弧时，由2.25mg ＝m v 21r 得v 1＝30 m/s ；通过大圆弧时，由2.25mg ＝m v 22R得v 2＝45 m/s ，B 项正确．赛车从小圆弧到大圆弧通过直道时需加速，故A 项正确．由几何关系可知连接大、小圆弧的直道长x ＝50 3 m ，由匀加速直线运动的速度位移公式：v 22－v 21＝2ax得a ≈6.50 m/s 2，C 项错误；由几何关系可得小圆弧所对圆心角为120°，所以通过小圆弧弯道的时间t ＝13×2πrv 1≈2.79 s ，故D 项错误．【答案】 AB3．(2015·课标卷Ⅰ，22)某物理小组的同学设计了一个粗测玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验．所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器(圆弧部分的半径为R ＝0.20 m)．完成下列填空：(1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图(a)所示，托盘秤的示数为1.00 kg.(2)将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图(b)所示，该示数为 ________ kg.(3)将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m ；多次从同一位置释放小车，记录各次的m 值如下表所示.(4)N ；小车通过最低点时的速度大小为 ________ m/s.(重力加速度大小取9.80 m/s 2，计算结果保留2位有效数字)【解析】 (2)由题图(b)可知托盘秤量程为10 kg ，指针所指的示数为1.40 kg.(4)由多次测出的m 值，利用平均值可求m ＝1.81 kg.而模拟器的重力为G ＝m 0g ＝9.8 N ，所以小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为F N ＝mg －m 0g ≈7.9 N ；根据径向合力提供向心力，即7.9 N －(1.40－1.00)×9.8 N ＝0.4v 2R，解得v ≈1.4 m/s.【答案】 (2)1.40 (4)7.9 1.4[名校模拟]4．(2018·山东烟台高三上学期期中)如图所示，水平圆盘可以绕竖直转轴OO ′转动，在距转轴不同位置处通过相同长度的细绳悬挂两个质量相同的物体A 、B .不考虑空气阻力的影响，当圆盘绕OO ′轴匀速转动达到稳定状态时，下列说法正确的是( )A ．A 比B 的线速度小B ．A 与B 的向心加速度大小相等C ．细绳对B 的拉力大于细绳对A 的拉力D ．悬挂A 与B 的细绳与竖直方向夹角相等【解析】 物体A 、B 绕同一轴转动，角速度相同，由v ＝ωr 知，v A <v B ，由a ＝ω2r 知，a A <a B ，由T sin θ＝ma ，T cos θ＝mg 及a A <a B 得T A <T B ，θA <θB ，故A 、C 正确．【答案】 AC5．(2018·广东惠州市高三上学期第二次调研)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等直径约为30 cm 的感应玻璃盘起电的．其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮链接如图乙所示，现玻璃盘以100 r/min 的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm ，从动轮的半径约为2 cm ，P 和Q 是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是( )A ．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反B ．P 、Q 的线速度相同C ．P 点的线速度大小约为1.6 m/sD ．摇把的转速约为400 r/min【解析】 若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故A 正确；线速度也有一定的方向，由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由图可知，P 、Q 两点的线速度的方向一定不同，故B 错误；玻璃盘的直径是30 cm ，转速是100 r/min ，所以线速度：v ＝ωr ＝2n πr ＝2×10060×π×0.32m/s ＝0.5π m/s ≈1.6 m/s ，故C 正确；从动轮边缘的线速度：v c ＝ωr c ＝2×10060×π×0.02m/s ＝115π m/s ，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即v z ＝v c ，所以主动轮的转速：n z ＝ωz 2π＝v z r z 2π＝115π2π×0.08＝12.4r/s ＝25 r/min.故D 错误．【答案】 AC6.(2018·华中师大第一附中高三上学期期中)如图所示，ABC 为在竖直平面内的金属半圆环，AC 连线水平，AB 为固定的直金属棒，在金属棒上和圆环的BC 部分分别套着两个相同的小环M 、N ，现让半圆环绕对称轴以角速度ω做匀速转动，半圆环的半径为R ，小圆环的质量均为m ，棒和半圆环均光滑，已知重力加速度为g ，小环可视为质点，则M 、N 两环做圆周运动的线速度之比为( )A.gR 2ω4－g 2B ．g 2－R 2ω4gC.g g 2－R 2ω4D ．R 2ω4－g 2g【解析】 AB 杆倾角45°，对于M 环：mg ＝mrω2＝m v 2Mr2v M ＝g ω.对于N 环：mg tan θ＝mR sin θ·ω2＝mωv N v N ＝R sin θ·ω＝Rω1－g 2R 2ω4 所以v M ∶v N ＝g ∶R 2ω4－g 2，A 对，B 、C 、D 错． 【答案】 A课时作业(十二) [基础小题练]1．如图所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O 匀速转动，a 和b 是轮上质量相等的两个质点，则偏心轮转动过程中a 、b 两质点( )A ．角速度大小相同B ．线速度大小相同C ．向心加速度大小相同D ．向心力大小相同【解析】同轴转动角速度相等，A 正确；由于两者半径不同，根据公式v ＝ωr 可得两点的线速度不同，B 错误；根据公式a ＝ω2r ，角速度相同，半径不同，所以向心加速度不同，C 错误；根据公式F ＝ma ，质量相同，但是加速度不同，所以向心力大小不同，D 错误．【答案】 A2．(2018·甘肃河西五市联考)利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面，如图所示，用两根长为L 的细线系一质量为m 的小球，两线上端系于水平横杆上，A ，B 两点相距也为L ，若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，则小球运动到最低点时，每根细线承受的张力为( )A ．23mgB ．3mgC ．2.5mgD ．732mg【解析】 小球恰好过最高点时有mg ＝m v 21R，解得v 1＝32gL ，根据动能定理得mg ·3L ＝12m v 22－12m v 21，由牛顿第二定律得3T －mg ＝m v 2232L ，联立得T ＝23mg ，故A 正确，B 、C 、D 错误．【答案】 A3．如图为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n 1，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮边缘线速度大小为r 22r 1n 1D ．从动轮的转速为r 2r 1n 1【解析】 主动轮沿顺时针方向转动时，传送带沿M →N 方向运动，故从动轮沿逆时针方向转动，故A 错误，B 正确；由ω＝2πn 、v ＝ωr 可知，2πn 1r 1＝2πn 2r 2，解得n 2＝r 1r 2n 1，从动轮边缘线速度大小v ＝2πn 2r 2＝2πn 1r 1，故C 、D 错误．【答案】 B4.(2018·山东青岛市即墨一中高三上学期期中)如图所示，甲、乙圆盘的半径之比为1∶2，两水平圆盘紧靠在一起，乙靠摩擦随甲不打滑转动．两圆盘上分别放置质量为m 1和m 2的小物体，m 1＝2m 2，两小物体与圆盘间的动摩擦因数相同．m 1距甲盘圆心为r ，m 2距乙盘圆心为2r ，此时它们正随圆盘做匀速圆周运动．下列判断正确的是( )A ．m 1和m 2的线速度之比为1∶4B ．m 1和m 2的向心加速度之比为2∶1C ．随转速慢慢增加，m 1先开始滑动D ．随转速慢慢增加，m 2先开始滑动【解析】 甲、乙两轮子边缘上的各点线速度大小相等，有：ω1R ＝ω22R ，则得ω1∶ω2＝2∶1，所以物块相对圆盘开始滑动前，m 1与m 2的角速度之比为2∶1.根据公式：v ＝ωr ，所以：v 1v 2＝ω1r ω2·2r ＝11，故A 错误．根据a ＝ω2r 得：m 1与m 2的向心加速度之比为 a 1∶a 2＝(ω21r )∶(ω222r )＝2∶1，故B 正确．根据μmg ＝mrω2＝ma 知，m 1先达到临界角速度，可知当转速增加时，m 1先开始滑动，故C 正确，D 错误．【答案】 BC5.如图所示，水平放置的圆筒可以绕中心轴线匀速转动，在圆筒上的直径两端有两个孔A 、B ，当圆筒的A 孔转到最低位置时，一个小球以速度v 0射入圆筒，圆筒的半径为R ，要使小球能够不碰到筒壁首次离开圆筒，则圆筒转动的角速度可能为(已知重力加速度大小为g )( )A.n πgv 0，n ＝1,2,3，… B.(2n －1)πg 2v 0，n ＝1,2,3，…C.2n πg v 0－v 20－4Rg ，n ＝1,2,3，…D.2n πg v 0＋v 20－4Rg，n ＝1,2,3，… 【解析】 若小球上升最大高度小于圆筒直径，小球从A 孔离开，则竖直上抛时间为t ＝2v 0g ＝2n πω，n ＝1,2,3，…，ω＝n πgv 0，A 正确；若小球上升最大高度小于圆筒直径，从B 孔离开，则有t ＝2v 0g ＝(2n －1)πω，n ＝1,2,3，…，ω＝(2n －1)πg 2v 0，B 正确；若小球上升最大高度大于直径，从B 孔离开，小球经过圆筒时间为t ，则有2R ＝v 0t －gt 22，圆筒转动时间为t ＝2n πω，n ＝1,2,3，…，解得ω＝2n πgv 0－v 20－4Rg ，C 正确；若小球上升最大高度大于直径，从A 孔离开，则圆筒转动时间为t ＝(2n －1)πω，n ＝1,2,3，…，解得ω＝(2n －1)πgv 0－v 20－4Rg，D 错误． 【答案】 ABC6．(2018·开封高三模拟)在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型内壁，产生次品．已知管状模型内壁半径为R ，则管状模型转动的最低角速度ω为( )A.gR B ． g 2R C.2g RD ．2g R【解析】 最易脱离模型内壁的位置在最高点，转动的最低角速度ω对应铁水在最高点受内壁的作用力为零，即mg ＝mω2R ，得：ω＝gR，A 正确． 【答案】 A[创新导向练]7．生活实际——圆周运动中的自行车问题雨天在野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会粘附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”．如果将自行车后轮撑起，并离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来．如图所示，图中a 、b 、c 、d 为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则( )A ．泥巴在图中a 、c 位置的向心加速度大于b 、d 位置的向心加速度B ．泥巴在图中的b 、d 位置时最容易被甩下来C ．泥巴在图中的c 位置时最容易被甩下来D ．泥巴在图中的a 位置时最容易被甩下来【解析】 当后轮匀速转动时，由a ＝Rω2知a 、b 、c 、d 四个位置的向心加速度大小相等，A 错误．在角速度ω相同的情况下，泥巴在a 点有F a ＋mg ＝mω2R ，在b 、d 两点有F bd＝mω2R ，在c 点有F c －mg ＝mω2R ，所以泥巴与轮胎在c 位置的相互作用力最大，容易被甩下，故B 、D 错误，C 正确．【答案】 C8．生活实际——通过“过山车”考查圆周运动最高点的临界问题如图所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R ，下列说法正确的是( )A ．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力B ．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力C ．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力D ．丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR【解析】 在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得，mg －F N ＝m v 2R，即座椅给人施加向上的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，mg ＋F N ＝m v 2R，即座椅给人施加向下的力，故A 错误；在乙图中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带给人一定是向上的力，故B 正确；在丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，故C 正确；在丁图中，由于轨道车有安全锁，可知轨道车在最高点的最小速度为零，故D 错误．【答案】 BC9．高新科技——圆周运动中的运动学问题应用实例某计算机读卡系统内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A 、B ，A 盘固定一个信号发射装置P ，能持续沿半径向外发射红外线，P 到圆心的距离为28 cm.B 盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q ，Q 到圆心的距离为16 cm.P 、Q 转动的线速度均为4π m/s.当P 、Q 正对时，P 发出的红外线恰好进入Q 的接收窗口，如图所示，则Q 每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值为( )A．0.42 s B．0.56 s C．0.70 s D．0.84 s【解析】P的周期T P＝2πr Pv＝2π×0.284πs＝0.14 s，同理Q的周期T Q＝2πr Qv＝2π×0.164πs＝0.08 s，而经过的时间应是它们周期的整数倍，因此B项正确．【答案】 B10．科技生活——汽车后备箱升降学问汽车后备箱盖一般都配有可伸缩的液压杆，如图甲所示，其示意图如图乙所示，可伸缩液压杆上端固定于后盖上A点，下端固定于箱内O′点，B也为后盖上一点，后盖可绕过O 点的固定铰链转动，在合上后备箱盖的过程中()A．A点相对O′点做圆周运动B．A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等C．A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等D．A点与B点相对于O点转动的向心加速度大小相等【解析】在合上后备箱盖的过程中，O′A的长度是变化的，因此A点相对O′点不是做圆周运动，A错误；在合上后备箱盖的过程中，A点与B点都是绕O点做圆周运动，相同的时间绕O点转过的角度相同，即A点与B点相对O点的角速度相等，但是OB大于OA，根据v＝rω，所以B点相对于O点转动的线速度大，故B错误，C正确；根据向心加速度a＝rω2可知，B点相对O点的向心加速度大于A点相对O点的向心加速度，故D错误．【答案】 C[综合提升练]11.物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定，若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需＞F供，物体将做离心运动；若F需<F供，物体将做近心运动．现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O 点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，g取10 m/s2，则：(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A 点至少应施加给小球多大的水平速度？(2)在小球以速度v 1＝4 m/s 水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？(3)在小球以速度v 2＝1 m/s 水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．【解析】(1)小球做圆周运动的临界条件为重力刚好提供最高点时小球做圆周运动的向心力，即mg ＝m v 20L，解得v 0＝gL ＝10 m/s. (2)因为v 1＞v 0，故绳中有张力．根据牛顿第二定律有F 1＋mg ＝m v 21L，代入数据得绳中张力F 1＝3 N.(3)因为v 2<v 0，故绳中无张力，小球将做平抛运动，其运动轨迹如图中实线所示，有L 2＝(y －L )2＋x 2，x ＝v 2t ，y ＝12gt 2，代入数据联立解得t ＝0.6 s. 【答案】 (1)10 m/s (2)3 N (3)无张力，0.6 s12．(2018·山东潍坊高三上学期期中)如图所示，圆形餐桌中心有一半径为R 的圆盘，可绕穿过中心的竖直轴转动，圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计．当圆盘的角速度为 g 2R时，放置在圆盘边缘的小物体恰好滑上餐桌．已知小物体与餐桌间的动摩擦因数为0.25，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.求：(1)小物体与圆盘的动摩擦因数；(2)小物体恰好不从餐桌滑落时餐桌的最小半径．【解析】(1)设小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1，小物体恰好滑到餐桌上时圆盘的角速度为ω0μ1mg＝mω20R代入数据解得：μ1＝0.5.(2)小物体从圆盘甩出时的速度v1＝ω0R设小物体与餐桌间的动摩擦因数为μ2，小物体在餐桌上滑动距离x1恰不滑出桌面，0－v21＝2ax1a＝－μ2g餐桌的最小半径R min＝R2＋x21联立解得：R min＝2R【答案】(1)0.5(2)2R。
圆周运动中绳模型和杆模型的一般解析
圆周运动中绳模型和杆模型的一般解析
一：绳模型：若已不可伸长的绳子长L，其一端栓有一质量m的小球（可看成质点）。
现使绳子拉着小球绕一点O做匀速圆周运动，则（1）小球恰好通过最高点的速度v。
(2)当能通过最高点时，绳子拉F。
解：（1）小球恰能通过最高点的临界条件是绳子没有拉力，则对小球研究，其只受重力mg作用，
故，由其做圆周运动得: mg=mv2/L
故v=√(gL)
(2)由分析得，当小球到最高点时速度v’﹥v=√(gl)时，
则，F=mv’2/L-mg
而，当v’<v=√(gL)时，那么小球重力mg大于其所需向心力，因此小球做向心运动。
二：杆模型：若一硬质轻杆长L，其一端有一质量m 的小球（可看成质点）。
现使杆和小球绕一点O做匀速圆周运动，则（1）小球恰好通过最高点的速度v。
(2)当能通过最高点时，杆对小球的作用力F。
解：（1）因为杆具有不可弯曲不可伸长的性质，所以小球在最高点，当速度为0时，恰好能通过。
（2）①由绳模型可知，当小球通过最高点速度v=√(gL)
时，恰好有绳子拉力为0，则同理可知，当杆拉小球到最高点时，若小球速度v=√(gL)时，小球所需向心力恰好等于重力mg，故，此时杆对小球没有作用力。
②当小球通过最高点时速度v>√(gL)时，
则小球所需向心力比重力mg，所以此时杆对小球表现为拉力，使小球不至于做离心运动
故对小球有，
F+mg=mv2/L
③同理，当小球通过最高点时速度v<√(gL)时，
则小球所需向心力小于重力mg，所以此时小球对杆有压力作用，有牛顿第三定律得，杆对小球表现为支持力作用，故对小球有，
mg-F=mv2/L。
《拓展课 竖直面内圆周运动的轻绳、轻杆模型》圆周运动PPT优质课件
1
拓展点一 竖直面内球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运 动，称为“轻绳模型”。
2
2.模型特点 情景图示 弹力特征
轻绳模型 弹力可能向下，也可能等于零
3
受力示
意图
力学方 程
mg＋FT＝mvr2
5
(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆 周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。 此时有 mg＝mvl20，则所求的最小速率为 v0＝ gl≈2.24 m/s。 (2)此时桶底对水有一向下的压力，设为 FN，则由牛顿第二定律有 FN＋mg＝mvl2， 代入数据可得 FN＝4 N。 由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小为FN′＝4 N。 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N
答案 C
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拓展点二 竖直面内圆周运动的轻杆模型 1.模型概述
有支撑物(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为 “轻杆模型”。 2.模型特点
轻杆模型
情景图示
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弹力特征
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程 临界特征 v＝ gr 的意义
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mg±FN＝mvr2
v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg FN表现为拉力还是支持力的临界点
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解析 (1)小球在最低点受力如图甲所示，合力提供向心力，则 FN1－mg＝mvL2，解 得 FN1＝56 N。
(2)小球在最高点受力如图乙所示，则 mg－FN2＝mω2L， 解得ω＝4 rad/s。 答案 (1)56 N (2)4 rad/s
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方法总结 解答竖直面内圆周运动问题的基本思路 首先要分清是绳模型还是杆模型，其次明确两种模型到达最高点的临界条件。另外， 对于杆约束物体运动到最高点时的弹力方向可先假设，然后根据计算结果的正负确 定实际方向。
(2021年整理)竖直面圆周运动的绳球,杆球模型
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类型题：竖直面上圆周运动（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示,没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况:①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即r mv mg 2临界=⇒rg =临界υ（临界υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。
②能过最高点的条件：临界υυ≥。
此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mg rv m N -=2 ③不能过最高点的条件：临界υυ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）.（2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况:①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用,小球恰能达到最高点的临界速度0=临界υ。
②图(a)所示的小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况是：F G 绳 FGG F当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力,即N=mg ；当0〈v 〈rg 时，杆对小球有竖直向上的支持力r v m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg 〉N 〉0. 当rg =υ时，N=0； 当v 〉rg 时，杆对小球有指向圆心的拉力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大。
③图（b ）所示的小球过最高点时,光滑硬管对小球的弹力情况是： 当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg 。
必修二 绳球 杆球两种模型问题
探究讨论1
绳球模型
Байду номын сангаас
用长为r的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平面内作圆周运 动，如图所示。
v1
T
思考1、小球在最高点，可能受那些力的作用？ mg
思考2、在最高点，最小向心力是多少呢？mg
o
思考3、试求小球能够在竖直平面内做完整的圆周运动， 在最高点的向心力范围？
F nm g
v2
思考4、试求小球能够在竖直平面内做完整的圆周运动，在最高点的线速度范围？
v2 m mg r
结论：绳球模型，在最高点 v 做完整圆周运动的临界条件。
v g r gr
是物体恰好在竖直平面内
v1
o
T'
v2
mg
思考5、如果小球在最高点达不到
v gr 这个速度，则小球将如何运动？
小球将不会到达最高点，在到最高点之前沿原路径返回，或者做斜抛运动。 思考6、小球能够在竖直面内做完整的圆周运动,则小球在最低点绳对小球 的拉力如何？
v2 m 0 r
v0
结论：杆球模型中，在最高点，杆对球可以是向上的支撑力， 也可以是向下的拉力，在最高点的速度可以为零。
与杆球类似的模型
一内壁光滑的环形细圆管，
位于竖直平面内，小球沿 环形圆管运动。
杆球模型的规律：
在最高点：
F n 0
v o
v0
杆球模型，小球能够在竖直面内做完整的圆 周运动时,小球在最高点的最小速度可以是零。
FN
伴P16
思考1、小球在最高点，可能提受哪些力的作用？
思考2、试求小球能够在竖直平面内做完整的圆 周运动，最小速度、最小向心力是多少呢？
FN
2024届高考物理微专题：竖直面内的圆周运动
微专题29竖直面内的圆周运动1．“绳—球”模型特点：下无支撑，上有约束，最高点最小速度v min＝gR.2.“杆—球”模型特点：下有支撑，上有约束，在最高点最小速度为0，但速度为gR是球对杆有压力还是拉力的分界点.3.通常情况下竖直平面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的运动情况，通常由动能定理联系物体在两点的速度．1.(2023·山西大同市调研)如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg(g为重力加速度)，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身重力的一半，则过山车在最高点时的速度大小为()A．0 B.3gR2C.gRD.3gR答案B解析由题意可知，在最高点座椅对乘客的支持力大小为mg2，根据牛顿第二定律可得mg2＋mg＝m v2R，解得v＝3gR2，故B正确，A、C、D错误．2．(2023·北京市东城区模拟)如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O 点的正下方钉一个钉子A，小球从一定高度自由摆下，当细绳与钉子相碰后继续向右做摆长更小的摆动．不计空气阻力，假设小球碰钉子前后无机械能损失，有关摆球在整个摆动过程中，下列说法正确的是()A．小球碰钉子之后，绳上拉力减小B．碰后小球向心加速度大小不变C．碰后小球仍能摆到碰前释放摆球时高度D．碰后小球最大摆角小于碰前释放摆球的摆角答案C解析由于小球碰钉子前后无机械能损失，可知细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，半径变小，根据牛顿第二定律可得F T－mg＝m v2r，可得F T＝mg＋mv2r，可知小球碰钉子之后，绳上拉力增大，A错误；根据向心加速度与线速度关系a＝v2r，细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，半径变小，可知碰后小球向心加速度大小变大，B错误；细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，说明小球在整个摆动过程都满足机械能守恒，故碰后小球仍能摆到碰前释放摆球时高度，设碰前释放摆球的摆角为θ1，半径为r1，碰后小球最大摆角为θ2，半径为r2，则有mgr1(1－cosθ1)＝mgr2(1－cosθ2)，又r1>r2，可得cosθ1>cos θ2，即θ1<θ2，C正确，D错误．3.(多选)如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．小球通过最高点时的最小速度v min＝g R＋rB．小球通过最高点时的最小速度v min＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力答案BC解析小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F N与小球所受重力在背离圆心方向的分力F′的合力提供向心力，即F N－F′＝ma′，因此，外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，外侧管壁对小球不一定有作用力，D错误．4．如图所示，一质量为m的小球分别在甲、乙两种竖直固定轨道内做圆周运动．若两轨道内壁均光滑，半径均为R，重力加速度为g，小球可视为质点，空气阻力不计，则()A．小球通过轨道甲最高点时的最小速度为零B．小球通过管道乙最高点时的最小速度为gRC ．小球以最小速度通过轨道甲最高点时受到轨道弹力大小为mgD ．小球以最小速度通过管道乙最高点时受到轨道弹力大小为mg 答案D解析小球通过轨道甲最高点时，当轨道对小球的弹力等于零时，小球的速度最小，最小为gR ，故A 、C 错误；小球通过管道乙最高点时，因为外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg ，故最小速度为0，故B 错误，D 正确．5．如图所示，将过山车经过两段弯曲轨道的过程等效简化成如图所示两个圆周的一部分(R A <R B )，A 、B 分别为轨道的最低点和最高点，过山车与轨道间的动摩擦因数处处相等，则过山车()A ．在A 点时合力方向竖直向上B ．在B 点时合力方向竖直向下C ．在A 点时所受摩擦力比在B 点时大D ．在B 点时所需向心力比在A 点时大答案C解析过山车在两段弯曲轨道中所做的运动不是匀速圆周运动，经过A 点或B 点时，其合力并不指向圆心，选项A 、B 错误；过山车经过A 点的速度大于B 点的速度，在A 点根据向心力公式有F N A －mg ＝m v A 2R A ，过山车在A 点对轨道的压力F N A ′＝F N A ＝mg ＋m v A 2R A ，由题图可知，过山车在最高点B 时是在轨道的外侧运动，根据向心力公式有mg －F N B ＝m v B 2R B，对轨道的压力F N B ′＝F N B ＝mg －mv B 2R B，故F N A ′>F N B ′，又摩擦力F f ＝μF N ，因动摩擦因数处处相等，所以F f A >F f B ，选项C 正确；因半径R A <R B ，速度v A >v B ，则由向心力公式F n ＝m v 2R可知，在A 点向心力较大，选项D 错误．6．(2023·重庆市南开中学高三月考)如图所示，质量为4kg 、半径为0.5m 的光滑管状细圆环用轻杆固定在竖直平面内，A 、B 两小球的直径略小于管的内径，它们的质量分别为m A ＝1kg 、m B ＝2kg.某时刻，A 、B 两球分别位于圆环最低点和最高点，且A 的速度大小为v A ＝3m/s ，此时杆的下端受到向上的压力，大小为56N ．则B 球的速度大小v B 为(取g ＝10m/s 2)()A ．2m/sB ．4m/sC ．6m/sD ．8m/s答案C解析对A 球，合力提供向心力，设环对A 球的支持力为F A ，由牛顿第二定律有F A －m A g＝m A v A 2R，代入数据解得F A ＝28N ，由牛顿第三定律可得，A 球对环的力向下，大小为28N ．设B 球对环的力为F B ′，由环的受力平衡可得F B ′＋28N ＋m 环g ＝－56N ，解得F B ′＝－124N ，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，环对B 球的力F B 为124N 、方向竖直向下，对B 球由牛顿第二定律有F B ＋m B g ＝m B v B 2R，解得v B ＝6m/s ，故选C.7．(2023·海南西南大学东方实验中学模拟)汽车通过拱形桥面和凹形桥面是生活中常见的两种现象．如图所示，若在汽车中固定一力传感器，力传感器下端挂有一小球．当汽车通过拱形桥面的最高点和通过凹形桥面最低点时速度大小均为v .已知汽车的质量为M ，小球的质量为m ，桥面的圆弧半径均为r ，重力加速度为g .下列说法正确的是()A ．甲图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力B ．乙图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力C ．甲图中力传感器的示数大小为F T1＝mg －m v 2r D ．乙图中力传感器的示数大小为F T2＝mg ＋m v 2r答案A解析当汽车通过凹形桥面最低点时，根据曲线运动特点可知，汽车处于超重状态，凹形桥面对汽车的支持力大于汽车所受到的重力，由牛顿第三定律可知，题图甲中汽车对桥面的压力大于汽车所受重力，当汽车通过拱形桥面的最高点时，汽车处于失重状态，桥面对汽车的支持力小于汽车所受到的重力，由牛顿第三定律可知，题图乙中汽车对桥面的压力小于汽车所受重力，故A 正确，B 错误；对题图甲中的小球受力分析如图(a)所示，根据牛顿第二定律得F T1－mg ＝m v 2r，则力传感器的示数大小为F T1＝mg ＋m v 2r，故C 错误；对题图乙中的小球受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律得mg －F T2＝m v 2r ，则力传感器的示数大小为F T2＝mg －m v 2r，故D 错误．8．(多选)如图甲所示，用不可伸长的轻质细绳拴着一可视为质点的小球，在竖直面内做圆周运动，不计一切阻力．小球运动到最高点时绳对小球的拉力F 与小球速度的平方v 2的图像如图乙所示，已知重力加速度g ＝10m/s 2，下列说法正确的有()A ．小球运动到最高点的最小速度为1m/sB ．小球的质量为0.1kgC ．细绳长为0.2mD ．当小球在最高点的速度为2m/s 时，小球运动到最低点时细绳的拉力大小为7N 答案ABD解析在最高点，根据牛顿第二定律有F ＋mg ＝m v 2L ，解得F ＝m v 2L－mg ，根据纵轴截距有－mg ＝－1N ，可知质量为m ＝0.1kg ，根据图像的斜率为mL ＝1kg/m ，可得绳长为L ＝0.1m ，故B 正确，C 错误；根据绳—球模型可知小球运动到最高点且速度最小时拉力为零，只有重力提供向心力，有mg ＝m v min 2L，解得最小速度为v min ＝gL ＝1m/s ，故A 正确；当小球在最高点的速度为v 1＝2m/s 时，根据动能定理有mg ·2L ＝12m v 22－12m v 12，在最低点由牛顿第二定律有F ′－mg ＝m v 22L，联立解得小球运动到最低点时细绳的拉力大小为F ′＝7N ，故D正确．9.(多选)如图所示，长为0.3m 的轻杆一端固定质量为m 的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴O 连接．现使小球在竖直面内绕O 点做匀速圆周运动，轻杆对小球的最大作用力为74mg ，已知转动过程中轻杆不变形，重力加速度g 取10m/s 2，下列说法正确的是()A ．小球转动的角速度为5rad/sB ．小球通过最高点时对杆的作用力为零C ．小球通过与圆心等高的点时对杆的作用力大小为34mgD ．小球在运动的过程中，杆对球的作用力不一定总是沿杆方向答案AD解析小球运动到最低点时杆对小球的作用力最大，则F T －mg ＝mω2r ，解得ω＝5rad/s ，选项A 正确；小球通过最高点时F T ′＋mg ＝mω2r ，解得F T ′＝－14mg ，可知杆对球有向上的支持力，球对杆有向下的压力，大小为14mg ，选项B 错误；小球通过与圆心等高点时对杆的作用力大小为F T ″＝ mg 2＋ mω2r 2＝54mg ，此时杆对球的作用力方向不是沿着杆的方向，选项C 错误，D 正确．10．(多选)如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O 点做半径为R 的圆周运动．小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F ，小球在最高点的速度大小为v ，其F —v 2图像如图乙所示，g 取10m/s 2，则()A．小球的质量为4kgB．固定圆环的半径R为0.8mC．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受圆环的弹力大小为20N，方向向上D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100N答案BD解析对小球在最高点进行受力分析，速度为0时，F1＝20N，则m＝F1g＝2010kg＝2kg，小球质量为m＝2kg，故A错误；当F2＝0时，由重力提供向心力可得mg＝m v2R，结合题图乙可知R＝v22g0.8m，故B正确；小球在最高点的速度大小为4m/s(大于22m/s)，小球受圆环的弹力方向向下，且F3＋mg＝m v32RF3＝20N，故C错误；小球经过最低点时，其受力最大，由牛顿第二定律得F4－mg＝m v42R，若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得mg·2R＝12m v42，由以上两式得F4＝5mg，代入数据得F4＝100N，故D正确．。
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（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其
做圆周运动的向心力，即
r
mv
mg
2
临界
=⇒rg
=
临界
υ（
临界
υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。
②能过最高点的条件：
临界
υ
υ≥。
此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力
mg
r
v
m
N-
=
2
③不能过最高点的条件：
临界
υ
υ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。
（2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0
=
临界
υ。
②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：
当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；
当0<v<rg时，杆对小球有竖直向上的支持力
r
v
m
mg
N
2
-
=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。
当rg
=
υ时，N=0；
当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力mg
r
v
m
N-
=
2
，其大小随速度的增大而增大。
③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：
当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。
G
F
当0<v<rg 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力r
v m mg N 2
-=，大小随速度的
增大而减小，其取值范围是mg>N>0。
当v=
gr 时，N=0。
当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg r
v m N -=2
，其大小随速度的增大而增大。
④图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。
在最高点的v 临界=gr 。
当v=
gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动。