2.4用因式分解法解一元二次方程 课件(共22张PPT)

他的解法有没有道理?
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次
方程，因此，可将方程的左边分解因式.于是得
x(x-2)=0. 所以x=0或x-2=0，所以方程x2-2x=0的
两个根为x1=0，x2=2.
根据物理学规律，如果把一个物体从地面
以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物
体离地面的高度(单位：m)为 （ 10x-4.9x2 ）
解: (1)整理,得 − ² = ,直接开平方,得x−1=3或. − =
−,解得 ₁ = , ₂ = −.
∵ = − = + = > , ∴ =
−±

= − ± , ∴ = − + , = − − .
典例精讲
【题型三】用适当的方法解一元二次方程
变式：解方程：
（1）9x²-12x-1=0； （2） + − =5
解: = − = + = > ,
+
−
∴ =
, =
.


(2) 整 理 , 得 ² + − = , 因 式 分 解 ， 得 ሺ
m
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落
回地面吗(精确到0.01 s)?
自主探究 （10min）
1.请同学们阅读课本46 页内容并思考.2.思考：他们谁的解法Fra bibliotek正确? 为什么?
（小明的解法是不正确的，原因是两
边同时除以的因式 x可能为0，而方程
两边不可以同时除以0）
自主探究 （10min）
3.请同学们在完成上面任务后填空.
单化，变得容易处理.
2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次
出现，可以用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变
形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方
程，从而达到降次的目的.
典例精讲
【题型一】用因式分解法解一元二次方程
例 1： 用因式分解法解下列方程：
4 用因式分解法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生会用因式分解法解某些简单的数字系数的一
元二次方程，提高学生的运算能力.
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生分析
问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二次方程
转化为两个一元一次方程的转化思想.
3.通过小组讨论利用不同的方法解方程，培养学生合作交流的能
(2)(x+2)(x-1)=2-2x.
解：(1)原方程可变形为
(2)原方程可变形为
(x+1)(3x-1)=0,
解得

x₁=-1,x₂=

(x+2)(x-1)+2(x-1)=0,
.
(x-1)(x+4)=0,
解得x₁=1,x₂=-4.
典例精讲
【题型二】用换元法解方程
已知((x+y-3)(x+y+4)=-10,求x+y的值.
− ሻ + = ,
∴ − = 或 + = ,解得 ₁ = , ₂ = −.
实践性作业 ： 现有若干块如图①所示的正方形和矩形硬纸片，用若干块这样
的正方形和矩形硬纸片拼成一个新的矩形，通过不同的方法计算面积，得到
相应的等式，从而探究多项式乘法或分解因式的新途径.
特别说明：
（1）能用因式分解法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一
边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用因式分解法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这
两个因式中至少有一个等于0；
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；
②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；

−

,经检验，

=

是原分式

= −,解得 = ,经检验， =
是原分式方程的解.故原方程的解为 =

,

= .
典例精讲
【题型三】用适当的方法解一元二次方程
例 3：用适当的方法解下列方程：
− ² − = ; ² + − = .
教师讲评
知识点1：因式分解法解一元二次方程（重点）
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为 0；
（2）将方程左边分解为两个一次因式的积；
（3）令这两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
教师讲评
2.常用的因式分解法
提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法.
典例精讲
【题型二】用换元法解方程
变式2：解方程：
解: 设

−

−
−

−
− = .
= ,原方程化为 ² − − = , − ሺ
+ ሻ = ,解得 ₁ = , ₂ = −,
当 ₁ = 时,

−
= ,解得 =
方程的解；当 ₂ = −时,
所拼的图形画在虚线方框内.
解: 设t=x+y,则原方程变形为(t-3)(t+4)=-10,
整理得t²+t-2=0,(t+2)(t-1)=0,
解得t₁=-2,t₂=1,
∴x+y=-2或x+y=1.
典例精讲
【题型二】用换元法解方程


变式 1: 解方程:²+ + +
²

= .


解: 设y=+ ，则²+ =（

²
力，学会在合作交流中归纳总结出不同方法解方程的特点，提
高学生解决问题的能力.
旧知回顾
1.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法？
（直接开平方法、配方法、公式法）
2.分解因式的方法有哪些？
（提公因式法、公式法）
对于方程x2-2x=0，除了可以用配方法或公式法求解，还
可以怎样求解呢?观察和分析小亮的思考及解法，你认为
例如，选取正方形、矩形硬纸片共6块，拼出一个如图 ② 所示的矩形，通过
表示它的面积写出相应的等式为
² + + ² = + + 或 + + = ² + + ².
探索问题：试借助拼图的方法，把二次三项式 2a2+5ab+2b3 分解因式，并把
+

）2 -2=y²-2，

原方程变形为 y²+y-2=0,解得y₁=1,y₂=-2,

当y=1时,+ =1，即x²-x+1=0.∵Δ=-3<0,∴此方程无实数根；


当y=-2时,+ =-2，即x²+2x+1=0，

解得x₁=x₂=-1,
经检验，x=-1是原分式方程的解，∴原方程的解为x=-1.
(1)x²-4x+3=0;
(2)(x-3)²=2x(x-3).
解：(1)原方程可变形为(x-1)(x-3)=0,
解得 x₁=1,x₂=3.
(2)原方程可变形为 (x-3)(x-3-2x)=0,
(x-3)(-x-3)=0,
解得x₁=-3,x₂=3.
典例精讲
变式： 用适当的方法解方程：
(1)3x²+2x-1=0;
两个一次因式的积
(2)把方程左边分解成___________________；
为0
(3)令每个因式分别_________，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
小组讨论 （4min）
完成课本 48 页习题 2.7 的 2(1)(2).
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
a=0或b=0
总结:1.如果 ab=0,那么________.
等于0
2.因式分解法：当一元二次方程的一边________，而另一边易于分解
成 两个一次因式的积
时，令每个因式分别为________，得到两个
0
一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的
方法称为因式分解法.
等于0
3.一般步骤如下：(1)整理方程使其右边________；
（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法，首选因式分解法.
教师讲评
知识点2：换元法解方程（难点）
1.解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从
而使问题得到简化，这叫换元法，换元的实质是转化，关键是构造元
和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新
对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简