人教A版高中数学必修五高二上学期第一次月考 (3).docx

高中数学学习材料
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安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期第一次月考
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 1．若关于x 的二次不等式2
10x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是 A ．2m ≤-或2m ≥ B. 22m -≤≤ C.2m <-或2m > D.22m -<<
2. 已知,a b 是两个不相等的正数，A 是,a b 的等差中项，B 是,a b 的等比中项，则A 与B 的大小关系是
A. A B <
B. A B >
C. A B =
D. 11A B < 3．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若222
()tan a b c C ab +-=，则角C 等于 A ．30 B ．60 C ． 30或150 D.60或120
4.设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是
A.a ＜b ＜ab ＜
2a b + B.a ＜ab ＜2a b
+＜b C.a ＜ab ＜b ＜2a b + D. ab ＜a ＜2
a b
+＜b
5. 在△ABC 中，角A=60°，AB=2，且△ABC 的面积S △ABC =3
2
，则BC 的长为
A.3
B.3
C.7
D.7
6.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 7．已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则前200项的和为
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
2
3 8.数列{a n }中，a n = 4211
n n π
--,则该数列最大项是
A. 1a
B. 5a
C. 6a
D. 7a
9. 已知0,,,22ππ
απ⎛⎫⎛⎫
∈⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
且sin α,sin 2α,sin 4α成等比数列，则α的值为 A.
6
π
B. 3π
C. 23π
D. 34
π
10．方程sin 2
x ＋sin x －1-m=0在实数集上有解，则实数m 的范围为 A ．5[,)4-
+∞ B. 5[,1]4- C. 5
(,]4
-∞- D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54
11.已知x,y 满足约束条件0
20x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z=ax+y 的最大值为4，则a 的值为
A.3
B.2
C.-2
D.-3
12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若2b=a+c,则角B 的取值范围是 A. ,2ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
B.,32ππ⎛⎤
⎥⎝
⎦
C. 0,
2π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
D. 0,
3π⎛⎤
⎥⎝
⎦
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．
13. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1，b=2,则边长c 的取值范围
14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若13n n S a +=-，则a 的值为________．
15. 等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ，若2,31n n S n T n =+，则1010
a b =
16.已知,αβ是方程2220x ax b ++=的两根，且[0,1],[1,2],,a b R αβ∈∈∈
则22
2
542a ab b a ab
+++的范围
三、解答题：本大题共6小题，17题10分，16-21题各12分，22题22分，70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17．函数2()sin 3sin cos f x x x x =+
(2) 在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且3
(),22
f A a ==，求△ABC 的面积的最大值
18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13. (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝4a 2
n －1
(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n .
19.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
规格类型 钢板规格 A 规格
B 规格
C 规格
第一种钢板 2 1 1 第二种钢板
1 2 3
今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需A 、B 、C 三种规格成品,且使所用的钢板的张数最少？
20.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB ＝5 km.
(1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
(2)求景点C 和景点D 之间的距离．参考数据：sin75°=6＋2
4
62
cos 754
-=
21.已知函数2
2
()(1)f x ax a x a =-++
（1）若当0a >时()0f x <在(1,2)x ∈上恒成立，求a 范围 （2）解不等式()0f x >
22.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+ （I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =， {}n b 的前n 项和n T
①求n T
②若n P T Q <<对于*n N ∈恒成立，求P 与Q 的范围
文科数学试卷参考答案
一、选择题：B B C B A D B C C B B D 二、填空题： （1,3） 3 1929 5[2,]2
三、解答题：
17．函数2()sin 3sin cos f x x x x =+ (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2) 在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且3
(),32
f A a =
=，求△ABC 的面积的最大值 解：(1) 21cos 231
()sin 3sin cos sin 2sin(2)2262
x f x x x x x x π-=+=
+=-+ 所以最小正周期为π
（2）13
sin 24
S bc A bc =
= 由3()2f A =得到3
A π
= 所以221422b c bc +-=，所以224c b bc +-=
所以，224b c bc +=+，由于222b c bc +≥，所以42bc bc +≥ 解得4,2bc b c ≤==取等号，所以△ABC 的面积的最大值为3
18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13. (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝
4a 2
n －1
(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，
解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，
S n ＝3n ＋n (n －1)2
×2＝n 2＋2n .
(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝4a 2n －1＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1，
所以T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
. 19.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表
所示:
规格类型 钢板规格 A 规格
B 规格
C 规格
第一种钢板 2 1 1 第二种钢板
1 2 3
今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需A 、B 、C 三种
解:设需截第一种钢板x 张,第二种钢板y 张,可得且x 、y 都是整数,求使z=x+y 取得最
小值时的x 、y.
首先作出可行域,其次平移直线z=x+y,可知直线经过点(),此时 x=,y=.z=x+y 有最
小值11
,但(
,
)不是最优解.
首先在可行域内打网格,其次推出点A(,)附近所有整点,接着平移直线l:x+y=0,会发现当平移至B(4,8)、C(3,9)时直线与原点的距离最近,即z 的最小值为12.
20.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB ＝5 km.
(1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
(2)求景点C 和景点D 之间的距离．参考数据：sin75°=
6＋2
4
62
cos 754
-= 解：(1)在△ABD 中，∠ADB ＝30°，AD ＝8 km ，AB ＝5 km ，设DB ＝x km ， 则由余弦定理得52＝82＋x 2－2×8×x·cos30°，
即x 2
－83x ＋39＝0，解得x ＝43±3.
∵43＋3>8，舍去，∴x ＝43－3， ∴这条公路长为(43－3)km.
(2)在△ADB 中，AB sin ∠ADB ＝DB
sin ∠DAB
，
∴sin ∠DAB ＝DB·sin ∠ADB
AB ＝(43－3)·
1
25＝43－310，
∴cos ∠DAB ＝33＋4
10
.在△ACD 中，∠ADC ＝30°＋75°＝105°，
∴sin ∠ACD ＝sin[180°－(∠DAC ＋105°)]＝sin(∠DAC ＋105°)
＝sin ∠DACcos105°＋cos ∠DACsin105°＝43－310·2－64＋33＋410·6＋24＝76－2
20
.
∴在△ACD 中，AD sin ∠ACD ＝CD sin ∠DAC ，∴876－220＝CD
43－3
10，∴CD ＝3242－68673 km.
21.已知函数2
2
()(1)f x ax a x a =-++
（1）若当0a >时()0f x <在(1,2)x ∈上恒成立，求a 范围 （2）解不等式()0f x > 解：（1）只需(1)0(2)0
f f ≤⎧⎨
≤⎩解得1
(0,][2,)2a ∈⋃+∞
（2）22()(1)0(1)()0f x ax a x a ax x a =-++>⇔--> 当0a =时得到0x <
当0a >时，化为1
()()0x x a a --> 当1a >时得到1
x a
<或x a > 当1a =时得到1x ≠ 当01a <<时得到x a <或1x a
>
当0a <时，化为1()()0x x a a --< 当10a -<<时得到1
x a a
<< 当1a =-时得到x φ∈ 当1a <-时得到1
a x a
<<
综述。

22.设数列{}
n a 的前n 项和为n S .已知2n S =3n
+3. （I ）求{}
n a 的通项公式；
（II ）若数列{}
n b 满足3log n n n a b a =，求{}
n b 的前n 项和n T ，并求n T 的范围 解：（I ）因为233n n S =+ 所以，1233a =+ ，故13,a = 当1n > 时，1
123
3,n n S --=+
所以1363
1243
n n
n T +=
-⋅ ②由1130n n n n T T b n -++-==⋅>知道n T 递增，而113T = 当13,12
n n T →+∞→ 若n P T Q <<对于*n N ∈恒成立，有113
,312
P Q <
≥。