2017年山东省实验中学高考数学一模试卷(文科)

2017年山东省实验中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁B）=（）UA．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．（5分）若复数z满足（1+i）z=2i，其中i为虚数单位，则（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i3．（5分）北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为1cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）A．B． C．D．4．（5分）用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1﹣300编号，按编号顺序平均分组．若第16组应抽出的号码为232，则第一组中抽出的号码是（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．26．（5分）下列叙述中正确的是（）A．命题“若a＞1，则a2＞1”的否命题为：“若a＞1，则a2≤1”B．命题“∃x0＞1，使得﹣x02+2x0﹣1≥0”的否定“∀x≤1，使得﹣x2+2x﹣1＜0”C．“x＞﹣1”是“”成立的必要不充分条件D．正弦函数是奇函数，f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，所以f（x）=sin（x2+1）是奇函数，上述推理错误的原因是大前提不正确7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48 B．32+8C．48+8D．808．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若a，b，c都是正数，且a+b+c=2，则的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知向量，，且，则向量与向量的夹角为．12．（5分）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．13．（5分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是．14．（5分）把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{a n}，若a n=623，则n的值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）和圆O：x2+y2=b2．过双曲线C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若△PAB可为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知函数（1）求f（x）的最小正周期（2）当x∈[0，π]时，若f（x）=1，求x的值．17．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率．18．（12分）如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD．（Ⅰ）求证：BC⊥BE；（Ⅱ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．19．（12分）已知数列{a n}满足3S n=（n+2）a n（n∈N*），其中S n为{a n}的前n 项和，a1=2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列的前n项和为T n是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a 的取值范围．21．（14分）设椭圆E：（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E标准方程；（Ⅱ）如图，若分别过椭圆E的左右焦点F1，F2的动直线l1，l2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4．是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．2017年山东省实验中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁B）=（）UA．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选：D．2．（5分）若复数z满足（1+i）z=2i，其中i为虚数单位，则（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴z==i（1﹣i）=1+i，则=1﹣i，故选：A．3．（5分）北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为1cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）A．B． C．D．【解答】解：由题意可得半径为1cm的圆的面积为π×12=π，而边长为0.5cm的正方形面积为0.5×0.5=0.25，故所求概率P==，故选：B．4．（5分）用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1﹣300编号，按编号顺序平均分组．若第16组应抽出的号码为232，则第一组中抽出的号码是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由题意，可知系统抽样的组数为20，间隔为15，设第一组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+15（n﹣1），所以第16组应抽出的号码为x+15（16﹣1）=232，解得x=7．故选：C．5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：由作出可行域如图所示，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过（﹣1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故选：B．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．命题“若a＞1，则a2＞1”的否命题为：“若a＞1，则a2≤1”B．命题“∃x0＞1，使得﹣x02+2x0﹣1≥0”的否定“∀x≤1，使得﹣x2+2x﹣1＜0”C．“x＞﹣1”是“”成立的必要不充分条件D．正弦函数是奇函数，f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，所以f（x）=sin（x2+1）是奇函数，上述推理错误的原因是大前提不正确【解答】解：对于A，命题“若a＞1，则a2＞1”的否命题为：“若a≤1，则a2≤1”，故A错；对于B，命题“∃x0＞1，使得﹣x02+2x0﹣1≥0”的否定“∀x＞1，使得﹣x2+2x﹣1＜0”，故B错；对于C，“x＞﹣1”推不出“”，比如x=1，反之，成立，由于“”⇔“﹣1＜x＜0”，可得“x＞﹣1”是“”成立的必要不充分条件，故C正确；对于D，正弦函数是奇函数，f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，所以f（x）=sin（x2+1）是奇函数，上述推理错误的原因是小前提不正确，f（x）=sin（x2+1）不是正弦函数，故D错．故选：C．7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48 B．32+8C．48+8D．80【解答】解：如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱，其底面上底长为2，下底长为4，高为4，故底面积S底=×（2+4）×4=12腰长为：=则底面周长为：2+4+2×=6+2则其侧面积S侧=4×（6+2）=24+8则该几何体的表面积为S=2×S底+S侧=2×12+24+8=48+8故选：C．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象，可得A=1，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2+φ=π，∴φ=﹣，∴f（x）=Asin（2x﹣）．g（x）=Asinωx=sin2x，故把f（x）的图象向左平移个单位长度，可得g（x）=sin（2x+﹣）=sin2x的图象，故选：A．9．（5分）若a，b，c都是正数，且a+b+c=2，则的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由题意可得a，b，c都是正数，且a+b+c=2，且a+1＞0，且b+c＞0，可得a+1+b+c=3=（a+1+b+c）×（）=（+5）≥（4+5）=3（仅当a=1，b+c=1等号成立）由基本不等式求最值可得的最小值为3．故选：B．10．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知向量，，且，则向量与向量的夹角为．【解答】解：设向量与向量的夹角为θ，∵向量，，且，∴+﹣2=+||•||cosθ﹣2=16+12cosθ﹣18=4，即cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：12．（5分）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．【解答】解：由A向BC作垂线，垂足为E，∵AB=AC∴BE=BC=∵AB=2∴cosB==∴B=30°∴AE=BE•tan30°=1∵∠ADC=45°∴AD==故答案为：13．（5分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是﹣1．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：a i 是否继续循环循环前 2 1第一圈a=，i=2 是循环第二圈a=﹣1，i=3 是循环第三圈a=2，i=4 是循环第四圈a=，5 是循环…观察规律可得a的取值周期为3，由于20=3×6+2，可得第19圈a=，i=20 是循环第20圈a=﹣1，i=21 否循环输出a的值为﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{a n}，若a n=623，则n的值为324．【解答】解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由242＜623＜252，则623出现在第25行，第25行第一个数为242+1=577，所以第+1=24个数623，则n=+24=324故答案为：32415．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）和圆O：x2+y2=b2．过双曲线C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若△PAB可为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是[，+∞）．【解答】解：∵△PAB可为正三角形，∴∠OPA=30°，∴OP=2b则2b≥a，∴≥，∴双曲线C的离心率e≥．∴双曲线C的离心率的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知函数（1）求f（x）的最小正周期（2）当x∈[0，π]时，若f（x）=1，求x的值．【解答】解：=2cosx（cosx+sinx）﹣sin2x+sinxcosx=（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2（cos2x+sin2x）=2sin（2x+），（1）∵ω=2，∴T==π；（2）∵f（x）=1，即2sin（2x+）=1，∴sin（2x+）=，又x∈[0，π]，∴2x+∈[，]，∴2x+=或2x+=，解得：或．17．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，所以a=0.006．（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4．所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．（Ⅲ）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是Ω={（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即（B1，B2），故所求的概率为P=．18．（12分）如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD．（Ⅰ）求证：BC⊥BE；（Ⅱ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．【解答】证明：（Ⅰ）因为正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，DE⊥AD 所以DE⊥平面ABCD∴DE⊥BC（1分）因为AB=AD，所以，取CD中点N，连接BN则由题意知：四边形ABND为正方形所以，BD=BC则△BDC为等腰直角三角形则BD⊥BC（5分）则BC⊥平面BDE则BC⊥BE（7分）（Ⅱ）取EC中点M，则有BM∥平面ADEF（8分）证明如下：连接MN由（Ⅰ）知BN∥AD，所以BN∥平面ADEF又因为M、N分别为CE、CD的中点，所以MN∥DE则MN∥平面ADEF（10分）则平面BMN∥平面ADEF，所以BM∥平面ADEF（12分）19．（12分）已知数列{a n}满足3S n=（n+2）a n（n∈N*），其中S n为{a n}的前n 项和，a1=2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列的前n项和为T n是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由3S n=（n+2）a n得3S n﹣1=（n+1）a n﹣1（n≥2），二式相减得3a n=（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1f（x）∴（n≥2）∴；…；；；a1=2叠乘得a n=n（n+1）；（2）=，∴，令=得n＞9故满足条件的M存在，集合M={n|n＞9，n∈N*}．20．（13分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=e x+4x﹣3，则f'（1）=e+1，又f（1）=e﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+1=（e+1）（x﹣1），即（e+1）x﹣y﹣2=0；（2）∵f′（0）=e0﹣3=﹣2＜0，f′（1）=e+1＞0，∴f′（0）•f′（1）＜0，令h（x）=f′（x）=e x+4x﹣3，则h′（x）=e x+4＞0，∴f′（x）在[0，1]上单调递增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点；（3）由，得，即，∵，∴，令，则，令，则ϕ'（x）=x（e x﹣1）∵，∴ϕ'（x）＞0，∴ϕ（x）在上单调递增，∴，因此g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增，则．∴实数a的取值范围a≤．21．（14分）设椭圆E：（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E标准方程；（Ⅱ）如图，若分别过椭圆E的左右焦点F1，F2的动直线l1，l2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4．是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由2a=6，则a=3，e==，则c=，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆标准方程（Ⅱ），，当直线l 1或l2斜率不存在时，P点坐标为或当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．∴l 1的方程为，l2的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立，得到，∴，，同理，．∵=，，，又满足k1+k2=k3+k4．=，=，设点P（x，y），则，（），由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为或也满足，∴点P在椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为、，使得为定值．。