南方新高考高考数学大一轮总复习 第五章 平面向量与复数同步训练 理

第五章 平面向量与复数 第1讲 平面向量的概念及线性运算
A 级训练
(完成时间：15分钟)
1.判断下列四个命题：①若a∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若|a|＝|b|，则a∥b ；④若a ＝b ，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
＝( )
A ．0 B.BE →
C.AD →
D.CF →
3.命题p ：a 与b 是方向相同的非零向量，命题q ：a 与b 是两平行向量，则命题p 是命题q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.若AP →＝13
PB →，AB →＝λBP →
，则实数λ的值是( )
A.34 B ．－34 C.43 D ．－43
5.设四边形ABCD 中，有DC →＝12
AB →，且|AD →|＝|BC →
|，则这个四边形是 等腰梯形 .
6.(2013·四川)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →
＝λAO →
，则λ＝ 2 .
7.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA →在OB →上取点D ，使BD →＝13
OB →.DC →与OA →交于E ，设OA
→
＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.
B 级训练
(完成时间：20分钟)
1.[限时1分钟，达标是( )否( )]
已知a ，b 是非零向量，满足a ＝λb ，b ＝λa (λ∈R )，则λ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．0 D ．0
2.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2014·新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
＝( )
A.BC →
B.12AD →
C.AD →
D.12
BC →
3.[限时2分钟，达标是( )否( )]
已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →
＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶1
4.[限时3分钟，达标是( )否( )]
在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝λCA →＋μCB →
，则λμ
的值为________．
5.[限时3分钟，达标是( )否( )]
如图，在正六边形ABCDEF 中，已知AC →＝c ，AD →＝d ，则AE →
＝__________(用c 与d 表示)．
6.[限时4分钟，达标是( )否( )]
在△ABC 所在平面上有一点P ，使得PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，试判断P 点的位置．
[限时5分钟，达标是( )否( )] 设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
C 级训练
(完成时间：7分钟)
1.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2014·北京)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.
2.[限时5分钟，达标是( )否( )]
已知△OBC 中，点A 是BC 的中点，D 是OB 上的点，且OD ＝2DB ，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b .
(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →
；
(2)若OE →＝λOA →
，求实数λ的值．
第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算
A 级训练
(完成时间：10分钟) 1.若P 1(1,2)，P (3,2)且P 1P →＝2PP 2→
，则P 2的坐标为( ) A ．(7,2) B ．(－7，－2) C ．(－4，－2) D ．(4,2)
2.已知A (2，－1)，B (3,1)，若AB →
与向量a 平行且方向相反，则a 的坐标可以是( )
A ．(1，1
2
) B ．(2,1)
C ．(－1,2)
D ．(－4，－8)
3.(2013·辽宁)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →
同方向的单位向量为( )
A ．(35，－45)
B ．(45，－35)
C ．(－35，45)
D ．(－45，35
)
4.若a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3,5)，则a ＝ (2,4) ，b ＝ (－1，－1) .
5.△ABC 的两个顶点A (3,7)，B (－2,5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标为________．
6.已知点O (0,0)，A (1,2)及B (4,5)及OP →＝OA →＋tOB →
，试问：
(1)当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第三象限？
(2)四边形OABP 是否能构成平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．
B 级训练
(完成时间：15分钟)
1.[限时2分钟，达标是( )否( )]
在复平面内，O 是原点，向量OA →
对应的复数是2－i(其中，i 是虚数单位)，如果点A 关
于实轴的对称点为点B ，则向量OB →
对应的复数是( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2＋i
D ．1－2i
2.[限时2分钟，达标是( )否( )]
若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3) D ．(－6,3)
3.[限时2分钟，达标是( )否( )]
已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若向量m a ＋n b 与向量a －2b 共线，则m n
＝________. 4.[限时2分钟，达标是( )否( )]
已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且A 、B 、D 三点的坐标分别为(0,0)、(2,0)、(1,1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是 (1,3)∪(3，＋∞) .
5.[限时3分钟，达标是( )否( )]
平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝αOA →
＋βOB →
，其中α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹形状是 直线AB .
6.[限时4分钟，达标是( )否( )] △ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin A
2，3)，n ＝(cos A ，2cos
2
A
4
－1)，且m ∥n .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝7且△ABC 的面积为33
2
，求b ＋c 的值．
C 级训练
(完成时间：18分钟)
1.[限时3分钟，达标是( )否( )]
已知向量集合M ＝{a|a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b|b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝ {(－2，－2)} .
2.[限时4分钟，达标是( )否( )]
(2014·上海)已知曲线C ：x ＝－4－y 2
，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上
的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AQ →
＝0，则m 的取值范围为 [2,3] .
3.[限时5分钟，达标是( )否( )]
如图，在平行四边形OABP 中，过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM →
＝xOA →，ON →＝yOB →
(0＜x ＜1)．
(1)求y ＝f (x )的解析式；
(2)令F (x )＝1
f x
＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明．
4.[限时6分钟，达标是( )否( )]
(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．
(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；
(2)设OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．
第3讲 平面向量的数量积及其应用
A 级训练
(完成时间：10分钟)
1.在△ABC 中，AB →＝a ，AC →
＝b ，当a ·b ＜0时，△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
2.已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移S ＝(2lg 5,1)，则这两个共点力对物体做的总功W 为( )
A ．1
B ．2
C ．lg 2
D ．lg 5
3.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )
A ．6
B ．2
C ．2 5
D ．27
4.(2013·大纲)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
5.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →·CB →
的值为 1 . 6.(2013·课标Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝ 2 .
7.(2014·广东深圳中学二模)
(1)若a ＝(1,0)，b ＝(－1,1)，c ＝a ＋(a ·b )b ，求|c |；
(2)已知|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝1，求a 与b 夹角θ的值．
B 级训练
(完成时间：21分钟)
1.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →
＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10
2.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2014·广东广州一模)设a ，b 是两个非零向量，则使a·b ＝|a ||b |成立的一个必要非充分条件是( )
A ．a ＝b
B ．a ⊥b
C ．a ＝λb (λ＞0)
D ．a ∥b
3.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →
＝(2,2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为 5 .
4.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2013·安徽)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角的余弦值为________．
5.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2014·广东潮州二模)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3，则AB →·CD →
＝ －1 .
6.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2014·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若b ∈R ，若AO →＝12
(AB →＋AC →)，则AB →与AC
→
的夹角为 90° .
7.[限时4分钟，达标是( )否( )]
在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，若AB →⊥a ，且|AB →
|＝5|OA →|(O 为坐标原点)，求向量OB →
.
[限时5分钟，达标是( )否( )]
已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点，其中O 为坐标原点．
(1)求使CA →·CB →取得最小值时向量OC →
的坐标； (2)当点C 满足(1)时，求cos ∠ACB .
C 级训练
(完成时间：5分钟)
1.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2014·辽宁)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )
A ．p ∨q
B ．p ∧q
C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨(綈q )
2.[限时3分钟，达标是( )否( )]
(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →
＝2，
则AB →·AD →
的值是 22 .第4讲 复数的概念及运算
A 级训练
(完成时间：10分钟)
1.设i 为虚数单位，则复数3－4i 的虚部是( ) A ．4i B ．－4i C ．4 D ．－4
2.下列说法正确的是( ) A ．0i 是纯虚数
B ．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点
C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数
D ．i 2
是虚数
3.(2013·课标Ⅱ)|2
1＋i |＝( )
A ．2 2
B ．2 C. 2 D ．1
4.(2013·福建)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
5.(2014·北京)复数(1＋i 1－i
)2
＝ －1 .
6.若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a ＋b ＝ 1 .
7.(2013·天津)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝______.
8.实数m 取什么值时，复数z ＝(m －1)＋(m ＋1)i 是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
B 级训练
(完成时间：20分钟)
1.[限时1分钟，达标是( )否( )]
(2014·广东梅州一模)在复平面内，复数5i
2－i
的对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2014·江西)z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －
)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )
A ．1＋i
B ．－1－i
C ．－1＋i
D ．1－i
3.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2014·安徽)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i
＋i·z －
＝
( )
A ．－2
B ．－2i
C ．2
D ．2i
4.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2013·安徽)设i 是虚数单位，若复数a －10
3－i
是纯虚数，则实数a 的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
5.[限时2分钟，达标是( )否( )]
复数1＋i ＋i 2＋…＋i 10
等于( ) A ．i B ．－i C ．2i D ．－2i
6.[限时2分钟，达标是( )否( )]
若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( ) A.1
2 B. 5 C.
52 D.54
7.[限时4分钟，达标是( )否( )]
若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，求z 1.
8.[限时5分钟，达标是( )否( )]
已知复数z 1＝sin 2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(λ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2. (1)若λ＝0且0＜x ＜π，求x 的值；
(2)设λ＝f (x )，求f (x )的最小正周期和单调减区间．
C 级训练
(完成时间：4分钟)
1.[限时2分钟，达标是( )否( )]
若M ＝{x |x ＝i n
，n ∈Z }，N ＝{x |1x
＞－1}(其中i 为虚数单位)，则M ∩(∁R N )＝( )
A ．{－1,1}
B ．{－1}
C ．{－1,0}
D ．{1}
2.[限时2分钟，达标是( )否( )]
满足条件|z －i|＝|3＋4i|复数z 在复平面上对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆 D ．椭圆
第五章 平面向量与复数
第1讲 平面向量的概念及线性运算
【A 级训练】
1．A 解析：只有④正确．
2．D 解析：BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →
.
3．A 解析：因为p ⇒q 为真命题，q ⇒p 为假命题，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．
4．D 解析：由题意得AP →＝13PB →，结合图示可得AB →
＝－43
BP →.
5．等腰梯形 解析：由DC →＝12
AB →知四边形ABCD 是梯形，又|AD →|＝|BC →
|，即梯形的对角
线相等，所以，四边形ABCD 是等腰梯形．
6．2 解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →
＝AC →，
又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →
，
所以AB →＋AD →＝2AO →，
因为AB →＋AD →＝λAO →
，所以λ＝2. 7．解析：因为A 是BC 的中点，
所以OA →＝12(OB →＋OC →)，
即OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b ；
DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →
＝2a －b －23b ＝2a －53
b .
【B 级训练】
1．B 解析：因为a ＝λb ，b ＝λa ，所以(λ2－1)a ＝0，所以λ2
＝1，有λ＝±1.
2．C 解析：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12
·2AD →＝AD →
.
3．A 解析：设AC 的中点为D ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OA →＋OC →＋2OB →＝2OD →＋2OB →＝0，OD
→
＝－OB →
即点O 为AC 边上的中线BD 的中点，所以△AOC 与△ABC 的面积之比是12
.
4.12 解析：因为AD →＝2DB →，所以CD →＝CA →＋23AB →. 因为AB →＝CB →－CA →，
所以CD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23
(CB →－CA →)
＝13CA →＋23
CB →. 因为CD →＝λCA →＋μCB →
，所以λ＝13，μ＝23
.
所以λμ＝12.
5.32
d －c 解析：连接BE 、CF ，它们交于点O ，则CD →＝d －c ，由正六边形的性质得OE →＝BO →＝CD →＝d －c ，又AO →＝12d ，所以AE →＝AO →＋OE →＝1
2d ＋(d －c )＝32d －c .
6．解析：因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，
所以PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AB →＋BP →＝AP →，
所以PC →＝AP →－PA →＝2AP →，
所以AP →与PC →
共线，即点A ，P ，C 共线，
故点P 位于线段AC 的三等分点处(靠近点A )．
7．解析：(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，
所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →.
所以AB →，BD →
共线，又它们有公共点，所以A ，B ，D 三点共线．
(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .
又a ，b 是两不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0.
所以k 2
－1＝0.所以k ＝±1. 【C 级训练】
1. 5 解析：因为λa ＋b ＝0， 所以λa ＝－b ，
所以|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12
＝5，
所以|λ|·|a |＝ 5.又|a |＝1，所以|λ|＝ 5. 2．解析：(1)因为A 是BC 的中点，
所以BA →＝AC →＝12
BC →.
因为OD ＝2DB ，
所以OD →＝2DB →＝23
OB →.
由向量加法的三角形法则可得
OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋12BC →＝OA →＋12
(OC →－OB →
)，
所以OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b ，
DC →＝DB →＋BC →＝13OB →＋(OC →－OB →)＝OC →－23OB →
＝2a －b －23b ＝2a －53
b .
(2)设CE →＝μCD →，因为OE →＝λOA →，
又因为OC →＝OE →＋EC →＝λOA →＋μDC →
＝λa ＋μ(2a －53b )＝(2μ＋λ)a －53
μb ，
因为OC →
＝2a －b ，所以2μ＋λ＝2，53
μ＝1，
解得μ＝35，λ＝4
5
.
第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算
【A 级训练】
1．D 解析：设P 2(x ，y )，因为P 1P →＝2PP 2→
，所以(2,0)＝2(x －3，y －2)．所以2＝2(x －3)，0＝2(y －2)，解得x ＝4，y ＝2.所以即P 2＝(4,2)．
2．D 解析：AB →＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，设a ＝(x ，y )．因为a ∥AB →
且方向相反，所以y ＝2x .令x ＝－4，y ＝－8.所以a ＝(－4，－8)．
3．A 解析：因为AB →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，|AB →|＝9＋16＝5，则与向量AB →
同
方向的单位向量为AB →|AB →|
＝(35，－4
5)．
4．(2,4) (－1，－1) 解析：两式相加除以2得a ，两式相减除以2得b .
5．(2，－7) 解析：设顶点C (x ，y )，因为AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，所以7＋y 2＝0，y ＝－7，－2＋x 2
＝0，x ＝2，所以C 的坐标是(2，－7)．
6．解析：OP →＝OA →＋tOB →
＝(1＋4t,2＋5t )． (1)点P (1＋4t,2＋5t )，
当2＋5t ＝0即t ＝－2
5时，点P 在x 轴上；
当1＋4t ＝0解得t ＝－1
4
时，点P 在y 轴上；
当1＋4t ＜0,2＋5t ＜0即t ＜－2
5
时，点P 在第三象限．
(2)若能构成平行四边形，则有OA →＝PB →
， 即(1,2)＝(3－4t,3－5t )， 所以1＝3－4t,2＝3－5t 无解，
故不存在t 使四边形OABP 构成平行四边形． 【B 级训练】
1．C 解析：由题意可得点A 的坐标为(2，－1)，点A 关于实轴的对称点为点B (2,1)，则向量OB →
对应的复数是2＋i.
2．A 解析：设b ＝(x ，y )，a 与b 反向，
由已知条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2＝35x y ＝1
－2
x <0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3
y ＝6，
所以b ＝(－3,6)． 3．－1
2
解析：因为a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，
所以m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)，
因为向量m a ＋n b 与向量a －2b 共线，
所以4×(3m ＋2n )＝n －2m ，所以14m ＝－7n ，所以m n ＝－1
2
.
4．(1,3)∪(3，＋∞) 解析：当ABCD 为平行四边形，则AC →＝AB →＋AD →
＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足题意的顶点C 的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
5．直线AB 解析：设C (x ，y )，由题意，得OC →＝αOA →＋βOB →
， 所以(x ，y )＝α(3,1)＋β(－1,3)＝(3α－β，α＋3β)，
可得x ＝3α－β，y ＝α＋3β，
解得α＝3x ＋y 10，β＝3y －x
10
.
因为α＋β＝1，所以3x ＋y 10＋3y －x
10
＝1，
化简x ＋2y －5＝0，恰好为点A 、B 所在直线方程， 由此可得：点C 的轨迹是直线AB . 6．解析：(1)因为m ∥n ， 所以3cos A ＝2sin A
2(2cos 2
A
4－1)
＝2sin A 2cos A
2＝sinA.
所以tan A ＝ 3.
又A ∈(0，π)，所以A ＝π
3
.
(2)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝33
2
，
所以bc ＝6. 由余弦定理得：
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos π
3
⇒(b ＋c )2＝7＋3bc ＝25.
所以b ＋c ＝5. 【C 级训练】
1．{(－2，－2)} 解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得1＋3λ1＝－2＋4λ2,2＋4λ1＝－2＋5λ2，解得λ1＝－1，λ2＝0，所以M ∩N ＝{(－2，－2)}．
2．[2,3] 解析：曲线C ：x ＝－4－y 2
，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P
∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AQ →
＝0，说明A 是PQ 的中
点，Q 的横坐标x ＝6，所以m ＝x p ＋6
2
∈[2,3]．
3．解析：(1)OP →＝AB →＝OB →－OA →
，
则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →，MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA →＝－(1＋x )OA →＋OB →，又NM →∥MP →， 有x －y (1＋x )＝0，
即函数的解析式为f (x )＝x
x ＋1
(0＜x ＜1)．
(2)由(1)得F (x )＝
1
f x
＋x ＝
x ＋1x ＋x ＝x ＋1
x
＋1(0＜x ＜1)， 设0＜x 1＜x 2＜1，
则F (x 1)－F (x 2)＝(x 1＋1x 1＋1)－(x 2＋1x 2＋1)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)(1－1
x 1x 2
)＝
(x 1－x 2)
x 1x 2－1
x 1x 2
， 由0＜x 1＜x 2＜1，得x 1－x 2＜0，x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0， 得F (x 1)－F (x 2)＞0，即F (x 1)＞F (x 2)． 所以F (x )在(0,1)上为减函数．
4．解析：(1)解法一：因为 PA →＋PB →＋PC →
＝0， 又PA →＋PB →＋PC →
＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝2，
即OP →＝(2,2)，故|OP →
|＝2 2.
解法二：因为PA →＋PB →＋PC →
＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →
)＝0，
所以 OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →
)＝(2,2)，
所以|OP →
|＝2 2.
(2)因为OP →＝mAB →＋nAC →
，
所以(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，
两式相减得，m －n ＝y －x .
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
第3讲 平面向量的数量积及其应用
【A 级训练】
1．C 解析：因为a ·b ＝|AB →|·|AC →|·cos〈AB →，AC →
〉<0，
所以cos 〈AB →，AC →
〉＜0，
所以〈AB →，AC →
〉＞90°，所以△ABC 为钝角三角形．
2．B 解析：因为F 1＋F 2＝(lg 2，lg 2)＋(lg 5，lg 2)＝(1,2lg 2)，又因为在共点力的作用下产生位移S ＝(2lg 5,1)，所以这两个共点力对物体做的总功W 为(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.
3．D 解析：因为F 23＝F 21＋F 2
2－2F 1F 2cos(180°－60°)＝28，所以F 3＝27. 4．B 解析：因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)， 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)． 因为(m ＋n )⊥(m －n )， 所以(m ＋n )·(m －n )＝0，
所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.
5．1 解析：因为DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|·cos〈DE →·DA →〉＝DA →2
＝1. 6．2 解析：因为c ＝t a ＋(1－t )b ，c·b ＝0，
所以c·b ＝t a·b ＋(1－t )b 2
＝0，
所以t cos 60°＋1－t ＝0，所以1－1
2
t ＝0，
解得t ＝2.
7．解析：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(－1,1)，a ·b ＝－1， 所以c ＝a ＋(a ·b )b ＝(1,0)－(－1,1)＝(2，－1)，
所以|c |＝22＋－12
＝ 5.
(2)因为|a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2
＝12
＋
3
2
＋2×1×3cos θ＝1， 所以cos θ＝－3
2
，
因为θ∈[0，π]，所以θ＝5π
6
.
【B 级训练】
1．C 解析：因为在四边形ABCD 中， AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，AC →·BD →
＝0， 所以四边形ABCD 的对角线互相垂直， 又|AC →|＝12＋22＝5，|BD →|＝－42＋22＝25，
该四边形的面积：12|AC →|·|BD →
|＝12
×5×25＝5.
2．D 解析：因为a ，b 是两个非零向量， 则a·b ＝|a ||b |，
所以a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |， 所以cos 〈a ，b 〉＝1， 所以〈a ，b 〉＝0.
所以a ∥b 是使a·b ＝|a ||b |成立的一个必要非充分条件．
3．5 解析：因为知OA →＝(－1，t )，OB →
＝(2,2)，
所以AB →
＝(3,2－t )， 又∠ABO ＝90°，
所以OB →·AB →
＝0，
可得：2×3＋2(2－t )＝0. 解得t ＝5.
4．－13 解析：由题意可得a 2＝9b 2
，
且a 2＝a 2＋4b 2
＋4a·b ，
化简可得4b 2
＝－4a·b ，
所以|b|·|b|＝－|a|·|b|·cos〈a ，b 〉，
所以cos 〈a ，b 〉＝－|b||a|＝－1
3
.
5．－1 解析：因为CD →＝CB →＋BA →＋AD →，AB →·CB →＝AB →·AD →
＝0，
所以AB →·CD →＝AB →·(CB →＋BA →＋AD →)＝AB →·CB →＋AB →·BA →＋AB →·AD →＝－AB →2
＝－1.
6．90° 解析：在圆中若AO →＝12
(AB →＋AC →)，即2AO →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →
的和向量是过A ，
O 的直径，则以AB ，AC 为邻边的四边形是矩形，则AB →⊥AC →，即AB →与AC →
的夹角为90°.
7．解析：因为点A (8,0)，B (n ，t )，
所以AB →
＝(n －8，t )，
因为AB →
⊥a ，
所以AB →
·a ＝(n －8，t )·(－1,2)＝0， 得n ＝2t ＋8. 则AB →＝(2t ，t )，又|AB →|＝5|OA →|，|OA →
|＝8，
所以(2t )2＋t 2
＝5×64， 解得t ＝±8，
当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8.
所以OB →＝(24,8)或OB →
＝(－8，－8)． 8．解析：(1)因为点C 在直线OP 上，
所以可设OC →＝tOP →
＝(2t ，t )．
因为OA →＝(1,7)，OC →＝(2t ，t )，OB →
＝(5,1)，
所以CA →＝OA →－OC →
＝(1－2t,7－t )， CB →＝OB →－OC →
＝(5－2t,1－t )，
所以CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2
－8，
所以当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值－8，此时，OC →
＝(4,2)．
(2)当OC →＝(4,2)时，CA →＝(－3,5)，CB →
＝(1，－1)，
所以cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|
＝－417
17.
【C 级训练】
1．A 解析：方法一：取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，所以p 是假命题．
a ，
b ，
c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ， 所以a ＝xy c ，所以a ∥c ，所以 q 是真命题． 综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 又因为綈p 为真命题，綈q 为假命题，
所以(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题． 方法二：由于a ，b ，c 都是非零向量， 因为a ·b ＝0，所以a ⊥b . 因为b ·c ＝0，所以b ⊥c . 如图，则可能a ∥c ，
所以 a ·c ≠0，
所以命题p 是假命题，
所以綈p 是真命题．命题q 中，a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反；b ∥c ，则b 与c 方向相同或相反．故a 与c 方向相同或相反，
所以a ∥c ，即q 是真命题，则綈q 是假命题，故p ∨q 是真命题，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题．
2．22 解析：由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14
AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →
＋
14AB →－AB →＝AD →－34
AB →. 因为AP →·BP →
＝2，
所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34
AB →
)＝2，
即AD →2－12AD →·AB →－316
AB →2
＝2.
又因为AD →2＝25，AB →2
＝64，
所以AB →·AD →
＝22.
第4讲 复数的概念及运算
【A 级训练】
1．D 解析：由复数的基本概念可知，复数3－4i 的虚部是－4.
2．C 解析：0i ＝0∈R 故A 错；原点对应复数为0∈R ，故B 错，i 2
＝－1∈R ，故D 错，实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数是正确的，C 正确．
3．C 解析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
4．C 解析：－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．
5．－1 解析：(1＋i 1－i )2＝1＋i 2
＋2i 1＋i 2
－2i ＝i
－i
＝－1. 6．1 解析：因为(a －2i)i ＝b －i ，所以2＋a i ＝b －i ，可得b ＝2，a ＝－1，所以a ＋b ＝1.
7．5－5i 解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2
＝5－5i.
8．解析：(1)复数z ＝(m －1)＋(m ＋1)i 是实数时，此复数的虚部等于0，即m ＋1＝0，解得m ＝－1，即当m ＝－1时，复数z 是实数．
(2)复数z ＝(m －1)＋(m ＋1)i 是虚数时，此复数的虚部不等于0，即m ＋1≠0，解得m ≠－1，即当m ≠－1时，复数z 是虚数．
(3)复数z ＝(m －1)＋(m ＋1)i 是纯虚数时，此复数的实部等于0，虚部不等于0，即m －1＝0，且m ＋1≠0，解得m ＝1.故当m ＝1时，复数z 是纯虚数．
【B 级训练】
1．B 解析：因为复数5i 2－i ＝5i 2＋i
2－i 2＋i ＝－1＋2i ，所以复数对应的点的坐标
是(－1,2)．所以复数5i
2－i
在复平面内对应的点位于第二象限．
2．D 解析：方法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数， 则z －
＝a －b i.
因为z ＋z －
＝2a ＝2，
所以a ＝1.又(z －z －)i ＝2b i 2
＝－2b ＝2， 所以b ＝－1.故z ＝1－i.
方法二：因为(z －z －
)i ＝2，
所以z －z －＝2
i ＝－2i.
又z ＋z －
＝2，
所以(z －z －)＋(z ＋z －
)＝－2i ＋2， 所以2z ＝－2i ＋2，所以z ＝1－i. 3．C 解析：因为z ＝1＋i ，
所以z －
＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i
＝1－i ，
所以z i
＋i·z －
＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)＋(1＋i)＝2.
4．D 解析：因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i ＝a －103＋i
10
＝(a －3)－i 是纯
虚数，所以a －3＝0，解得a ＝3.
5．A 解析：(方法一)因为i n 的周期性：i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n
＝1，可得A 正确；
(方法二)可以利用公比为i 的等比数列的性质求解． 6．C 解析：因为(1＋2a i)i ＝1－b i ， 所以i －2a ＝1－b i.所以－2a ＝1，b ＝－1.
所以a ＝－12，b ＝－1.所以|a ＋b i|＝5
2
.
7．解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ， 因为z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b i 3－i ＝－a ＋b i 1＋3i a 2＋b 2
＝2， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1
b ＝－1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1
b ＝1，
则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.
8．解析：(1)因为z 1＝z 2，所以sin 2x ＝m ，λ＝m －3cos 2x . 所以λ＝sin 2x －3cos 2x .
由λ＝0，得sin 2x －3cos 2x ＝0， 所以tan 2x ＝ 3.
因为0＜x ＜π，所以x ＝π6或x ＝2π
3
.
(2)因为λ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π
3
)，
所以函数的最小正周期是π.
由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3
2π(k ∈Z )，
得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12
(k ∈Z )，
所以f (x )的单调减区间为[k π＋5π12，k π＋11π
12
](k ∈Z )．
【C 级训练】
1．B 解析：依题意M ＝{1，－1，i ，－i}，N ＝{x |x ＞0或x ＜－1}，所以∁R N ＝{x |－1≤x ≤0}，故M ∩(∁R N )＝{－1}．
2．C 解析：|3＋4i|＝5满足条件|z －i|＝|3＋4i|＝5的复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆心为(0,1)，半径为5的圆．。