蝴蝶定理模型讲解学习
蝴蝶模型概念
蝴蝶模型概念
蝴蝶模型又称梯形蝴蝶定理，是指在一个梯形中连接对角线后形成四个三角形。
梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形状奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。
梯形蝴蝶定理证明：
S1和S2的三角形是相似的，所以面积比=边长比的平方即a²︰b²。
S1和S4三角形同底等高，可知S1︰S4=OA︰OC ，又因为S1和S2是相似三角形，相似比=a︰b，所以S1︰S4=OA︰OC=a︰b=a²︰ab ；同理S1︰S3=a²︰ab。
所以S1︰S2︰S3︰S4=a²︰b²︰ab︰ab。
蝴蝶模型公式推导过程：
S1和S2的的三角形是相似的，所以面积比=边长比的平方即a²：b²。
设梯形高为h，S3+S2=1/2，bh=S4+S2，所以S3=S4。
设S4三角形高为h1（底为OB），可知S3：S1=S4：S1=OB：OA。
因为S1和S2的的三角形是相似三角形，S4：S1=OB：OA=b：a，所以S1︰S2︰S3︰S4=a²︰b²︰ab︰ab。
梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形状奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。
相似图形，面积比等于对边比的平方也就是S1：S2=a²/b²。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
蝴蝶定理
蝴蝶定理（Butterfly theorem）：设M为圆内弦PQ的中点,过M作弦AB和CD.设AD和BC各相交PQ于点X和Y,则M是XY的中点.
抽屉原理：桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”.
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一
个集合里有两个元素.”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理.它是组合数学中一个重要的原理.
燕尾定理:因此图类似燕尾而得名,是五大模型之一,是一个关于三角形的定理（如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上点,满足AD、BE、CF 交于同一点O）.
S△ABC中,S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理,S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE.
证明：利用分比性质(若a/b=c/d,则（a-b）/b=（c-d）/d,[1]b≠0,d≠0,）[2]
(注：∵（a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,
(c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,
a/b=c/d
∴（a-b）/b=（c-d）/d
∵△ABD与△ACD同高
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD
同理,S△OBD：S△OCD=BD：CD
利用分比性质,得
S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD
即S△AOB：S△AOC=BD：CD
命题得证.。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
蝴蝶定理
蝴蝶定理:这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
蝴蝶定理Butterfly Theorem 蝴蝶原理XM=MY W.G.霍纳1815年定义蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
[1-2]蝴蝶定理的证明验证编辑方法一证：过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，容易证明△ESD∽△CSF，蝴蝶定理的证明图∴ES/CS=ED/FC，根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2，∴ES/CS=EL/CT，又∵∠E=∠C，∴△ESL∽△CST，∴∠SLN=∠STM，∵S是AB的中点所以OS⊥AB，∴∠OSN=∠OLN=90°，取OM中点X，在Rt△MTO和△OSM中，TX=OX=MX=SX，∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）。
同理，O，T，M，S四点共圆，∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON，∴∠SON=∠SOM，∵OS⊥AB，∴MS=NS。
证毕。
方法二从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。
蝴蝶定理的证明（证明过程见图片）证明方法二3推广编辑该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
1.在椭圆中椭圆中的蝴蝶定理如图一，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(o，r)（b>r>0）。
（I）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率（II）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4>0）。
关于数学的知识--蝴蝶模型
蝴蝶模型☺知识总览一、蝴蝶模型1、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S S S S 3421::=或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
2、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．O DCBA s 4s 3s 2s 1A BCDO baS 3S 2S 1S 41、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？☺典例精讲2、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？EDCB A76OCDBA3、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC=？☺跟踪练习3、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．CBOGF EDC BA4、如图，22S =，34S =，求梯形的面积。
随堂练习：如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．☺典例精讲5、梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．3525OABCDO ABCD6、如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．☺跟踪练习6、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。
蝴蝶定理及其推广
蝴蝶定理及其推广本文介绍蝴蝶定理、坎迪定理及相关结论的解析法证明蝴蝶定理最开始是一个关于圆的定理，因其图形像一只翩翩起舞的蝴蝶，被称为蝴蝶定理，并可推广到了任意二次曲线之中，而坎迪定理是蝴蝶定理的一般形式。
圆中的蝴蝶定理蝴蝶定理的霍纳证法证法1.霍纳证法证明:作OU⊥AD,OV⊥BC,则U,V分别是AD,BC的中点注意到∠EUO=ZEMO=90°，从而E,M,O,U四点共圆，进而∠EOM=∠EUM，同理，可知∠FOM=ZFVM注意到△ADM∽△CBM，且U,V是这对相似三角形的对应点，那么∠AUM=∠CVM，即∠EOM=∠FOM，从而ME=MF，证毕。
证法2.单墫证法1983年，中国科技大学单墫教授给出一个简洁的解析法证明: 以M为原点，弦PQ所在直线为x轴，视圆O为单位圆，建立直角坐标系，如图:设圆O的方程为x²+(y-a)²=1，直线AB、CD的方程分别为y=k1x、y=k2x,由圆和直线组成的二次曲线系方程为:μ[x²+(y-a)²-1]+λ(y-k1x)(y-k2x)=0令y=0,则xE,xF满足方程(μ+λk1k2)x²+μ(a²-1)=0，由于x的系数为0，结合韦达定理可得xE+xF=0，即xE=-xF，故ME=MF外接图形为任意二次曲线的蝴蝶定理我们将圆换成一个任意的二次曲线，结论也是一样成立的:蝴蝶定理外接曲线型的推广证明:这里我们仍以单墫教授在上例的解析法证明思路:以M为原点，MP所在直线为x轴，设P(m,0),Q(-m,0)，且过这六点的圆锥曲线方程为:Ax²+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1)将(m,0)和(-m,0)代入，得F=-Am²,D=0，不妨设A=1,则(1)化为:x²+Bxy+Cy²+Ey-m²=0设直线AB：x=k1y,CD:x=k2y,那么经过A,B,C,D的二次曲线系方程为:x²+Bxy+Cy2+Ey-m²+λ（x-k1y)(x-k2y)=0 (2)注意到两条直线是退化的二次曲线，当y=0时，方程(1+λ)x²=m²的两根即为xE，xF，由代数方程根与系数的关系，易知:x E+x F=0,故ME=MF。
几何中的蝴蝶定理
一、基本知识点
模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S1︰S2=a︰b ；
模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的 × =
模型二：任意四边形中的比例关系（我们把它称作蝴蝶定理）
①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形 的对角线 与 交于点 （如图）所示。
如果三角形 的面积等于三角形 的面积的 ，且
， ，那么 的长度是 的长度的_________倍。
例10、左下图所示的 ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CE、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且 的面积比 的面积大6平方厘米。
3、如右图BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.
5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE:ED=CF:FD=1:2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？
抛物线蝴蝶定理
抛物线蝴蝶定理
蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD 和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
最为欧氏几何的最精彩结论，“蝴蝶定理”仅仅停留在圆中，那是不可能的，今天我们一起来探讨圆锥曲线中的“蝴蝶定理”。
它能为我们高考数学做哪些帮助呢？
事实上，通过射影变换，显然可以知道“蝴蝶定理”对于圆锥曲线的情形是非常适合的。
但是如果针对一般情形，高考题不可能考察到，因为那样会使计算量异常恐怖。
故对于高中数学，我们需要掌握两类“蝴蝶”模型就好，我们把它们称之为“横蝴蝶”和“竖蝴蝶”。
横蝴蝶
定理1：过椭圆短轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与短轴垂直的直线为相等的线段，即：PM=MQ 定理2：过双曲线虚轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与虚轴垂直的直线为相等的线段，即：PM=MQ 定理3：过抛物线对称轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段即：PM=MQ 竖蝴蝶
定理1：过椭圆长轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB 和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM 定理2：过双曲线实轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM
定理3：过抛物线对称轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理——蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
蝴蝶定理的名字听起来很有趣，是不是让你联想到了一只美丽的蝴蝶在几何图形中翩翩起舞？其实，这个定理之所以叫这个名字，是因为它的图形看起来有点像一只蝴蝶。
那蝴蝶定理到底说的是什么呢？咱们先来看看它的基本形式。
假设有一个梯形，两条对角线相交于一点。
在这个梯形中，通过对角线相交点作两条平行于梯形底边的直线，分别与梯形的两条腰相交。
那么，位于梯形上下两个部分的三角形面积相等。
比如说，有一个梯形 ABCD，上底是 AD，下底是 BC，对角线 AC和 BD 相交于点 O。
过点 O 作 EF 平行于 AD 和 BC，分别交 AB 于点E，交 CD 于点 F。
那么三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积是相等的。
可能有的同学会问，为什么会这样呢？我们来试着解释一下。
为了更好地理解，我们可以把梯形的面积看作是由多个部分组成的。
首先，三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积是相等的，因为它们都以AD 为底边，并且顶点 B 和 C 到 AD 的距离是相等的，也就是这两个三角形的高相等。
那么，三角形 ABD 的面积减去三角形 AOD 的面积，就等于三角形AOB 的面积；三角形 ACD 的面积减去三角形 AOD 的面积，就等于三角形 DOC 的面积。
因为三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积相等，所以三角形 AOB 的面积就等于三角形 DOC 的面积。
蝴蝶定理在解决实际问题中非常有用。
比如，当我们已知梯形中某些部分的面积，要求其他部分的面积时，就可以运用这个定理来快速找到答案。
再举个例子，假如梯形 ABCD 中，三角形 AOD 的面积是 6 平方厘米，三角形 BOC 的面积是 9 平方厘米，那么三角形 AOB 的面积是多少呢？根据蝴蝶定理，我们知道三角形 AOB 的面积乘以三角形 DOC的面积等于三角形 AOD 的面积乘以三角形 BOC 的面积。
第19讲 椭圆中的蝴蝶模型(解析几何)(解析版)
第19讲椭圆中的蝴蝶模型知识与方法蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815年,由W.G.霍纳提出证明.【蝴蝶定理】M是⊙O中弦AB的中点,过点M的两条弦CD,EF,连接DE,CF交AB于P,Q两点,则M是线段PQ 的中点.问题中的图形酷似圆中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理".蝴蝶定理还可以推广到椭圆,甚至双曲线与抛物线中.高考中,直接考查圆锥曲线中的蝴蝶定理很少见，大多考查蝴蝶模型背景下的直线与椭圆的位置关系问题.此类问题的本质是研究椭圆的内接四边形, 其形如“蝴蝶”的四边形通常可以由椭圆的两条相交弦确定,在具体的问题中,此两弦要么过定点,要么某线斜率特定，由此便会呈现兼具一般解法又别具一格的定点、定值等问题,下面略举几例予以说明.典型例题类型 1：蝴蝶模型中的定点问题【例1】 在平面直角坐标系中,已知圆O:x 2+y 2=9,Q 是圆O 上任意一点,Q 在x 轴上的射影是点D , 点P 满足DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√53DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程;(2)若A(−3,0),B(3,0),过直线x =9上任意一点T (不在x 轴上）作两条直线TA,TB 与曲线E 分别 交于点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)(异于A,B ),求证：直线CD 过定点. 【答案】(1)x 29+y 25=1; (2)见解析.【解析】(1) 设 P(x,y),Q (x 0,y 0), 因为: DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√53DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 x 0=x,y 0=√5, 代入圆 O:x 2+y 2=9 中,得x 29+y 25=1, 所以曲线 E 的方程为: x 29+y 25=1.(2)由对称性,定点在x 轴上. 解法1：设点表点 设点T 的坐标为(9,m) 直线TA 方程为:y−0m−0=x+39+3,即y =m 12(x +3), 直线TB 方程为: y−0m−0=x−39−3,即y =m 6(x −3).分别与椭圆x 29+y 25=1联立方程组,同时考虑到x 1≠−3,x 2≠3,解得:C (3(80−m 2)80+m 2,40m80+m 2),D (3(m 2−20)20+m 2,−20m20+m 2) 当x 1≠x 2时,直线CD 方程为:y+20m20+m 240m 80+m 2+20m20+m 2=x−3(m 2−20)20+m 23(80−m 2)80+m 2−3(m 2−20)20+m 2令y =0,解得:x =1.此时必过点K(1,0);当x 1=x 2时,直线CD 方程为: x =1,与x 轴交点为 K(1,0).所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 K(1,0).解法 2：设线表点显然AC 斜率存在,设AC 斜率为k ,则BD 斜率为2k ,直线TA 方程为:y =k(x +3),与椭圆 x 29+y 25=1联立方程组得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0,由韦达定理,x A ⋅x c =81k 2−459k 2+5,得x C =15−27k 29k 2+5,y C=30k9k 2+5; 直线TB 方程为:y =2k(x −3),与椭圆x 29+y 25=1联立方程组得(5+36k 2)x 2+216k 2x +324k 2−45=0， 由韦达定理,x B ⋅x D =324k 2−4536k 2+5,得x D =108k 2−1536k 2+5,y D =−60k 36k 2+5;(1)当x C =x D ,易得直线CD 为x =1,(2)当x C ≠x D ,k CD =y D −y C x D −x C =−15k 18k 2−5,所以直线CD 的方程为y −y C=−15k18k 2−5(x −x c ), 由对称性定点在x 轴上,方程中令y =0,化简得x =1, 所以直线MN 必过x 轴上的一定点K(1,0).【注】上述两种解法的关键是通过设点或设线，利用韦达定理表示出点C 和点D : C (3(80−m 2)80+m 2,40m80+m 2),D (3(m 2−20)20+m 2,−20m20+m 2)或C (15−27k 29k 2+5,30k9k 2+5),D (108k 2−1536k 2+5,−60k36k 2+5)在此条件下研究直线CD 过定点,研究的思路可以先由对称性,推断其在x 轴上，写出直线CD 的方程，令y =0,求出x 的值得定点,另一种更一般的思路是先设出定点,再转为多项式恒等解出定点.其过程如下: 设直线CD 经过定点(s,t).k CD =−10mm 2−40,直线CD 的方程为y −40m m 2+80=−10m m 2−40(x −3(80−m 2)m 2+80),也可表示为y −t =−10mm 2−40(x −s),则10mm 2−40⋅3(80−m 2)m 2+80+40mm 2+80=10mm 2−40s +t ，则10m ⋅3(80−m 2)+40m (m 2−40)=10ms (m 2+80)+t (m 2−40)(m 2+80)对m 恒成立， ∴s =1,t =0,定点为(1,0). 解法 3:韦达代换直线CD方程为:x=my+t(t≠0),与椭圆x29+y25=1联立方程组得(5m2+9)y2+10mty+5t2−45=0,由韦达定理,y1+y2=−10mt5m2+9,y1y2=5t2−455m2+9,Δ=180(5m2+9−t2)>0,AC:y=y1x1+3(x+3),x=9,y T=12y1x1+3,BD:y=y2x2−3(x−3),x=9,y T=6y2x2−3,所以:12y1x1+3=6y2x2−3,化简得:2x2y1−x1y2=3y2+6y1 ⋯(1)又x2y1+x1y2=2my1y2+t(y1+y2)=−90m5m2+9=9(y1+y2)t⋯(2)由(1)(2)可知:{x2y1=(3t+2)y1+(3t+1)y2x1y2=(6t−2)y1+(6t−1)y2在直线CD方程y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)中,令y=0则x=x1y2−x2y1y2−y1=(3t−4)y1+(3t−2)y2y2−y1当(3t−4)+(3t−2)=0,即t=1时,定点为(1,0).【注】在此解法中关键是处理非对称式: 2x2y1−x1y2=3y2+6y1.常见的处理解法是构造对称式x2y1+x1y2=9(y1+y2)t,再与2x2y1−x1y2=3y2+6y1构造方程组,解出x2y1,x1y2,从而化解式子x1y2−x2y1y2−y1.这种处理手法在《非对称韦达定理》章节有详细说明.类型2：蝴蝶模型中的斜率定比问题【例2】已知椭圆C:x 216+y212=1的左、右顶点分别为P,Q,过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,且直线l的斜率不为0.分别记直线AP和BQ的斜率为k1与k2,问是否存在常数λ,使得在直线l转动过程中,有k1=λk2恒成立?【答案】见解析.【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l:x =my +2, k 1=y 1x 1+4,k 2=y 2x 2−4,λ=k 1k 2=y 1(x 2−4)y 2(x 1+4)=x 2y 1−4y 1x 1y 2+4y 2用x =my +2消去y,得到λ=y 1(my 2−2)y 2(my 1+6)=my 1y 2−2y 1my 1y 2+6y 2(∗)联立{x =my +2x 216+y 212=1⇒(3m 2+4)y 2+12my −36=0由韦达定理得:y 1+y 2=−12m3m 2+4,y 1y 2=−363m 2+4,可得my 1y 2=3(y 1+y 2),代入(∗)式, 得到:λ=y 1+3y 23y 1+9y 2=13.解法2：设点解点F(2,0), 设A (x 0,y 0)(y 0≠0),则AB:x =x 0−2y 0+2,由直线AB 与椭圆方程联立,{ x =x 0−2y 0+2x 216+y 212=1⇒B (5x 0−16x 0−5,3y 0x 0−5) 所以k 1=k AP =y 0x 0+4,k 2=k BQ =3y 0x 0−55x 0−16x 0−5−4=3y 0x 0+4，从而k 1k 2=13. 解法3:三点共线+对偶式因为A,F,B 三点共线,故有y 1x 1−2=y 2x 2−2,整理可得x 1y 2−x 2y 1=2(y 2−y 1), 又由{x 1y 2+x 2y 1=−963m 2+4y 1+y 2=−12m3m 2+4,可得x 1y 2+x 2y 1=8(y 1+y 2) 所以由{x 1y 2−x 2y 1=2(y 2−y 1)x 1y 2+x 2y 1=8(y 1+y 2),解得{x 1y 2=3y 1+5y 2x 2y 1=5y 1+3y 2从而λ=x 2y 1−4y 1x 1y 2+4y 2=y 1+3y 23y 1+9y2=13类型3: 蝴蝶模型中的弦长关系问题【例3】已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P (√3,12)在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程;(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A,B ,线段AB 中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C,D ,求证:|MA||MB|=|MC ∥MD|. 【答案】(1)x 24+y 2=1(2)见解析.【解析】（1）椭圆E 的方程为x 24+y 2=1; (2)设直线l 的方程为y =12x +m(m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由方程组{x 2+4y 2−4=0y =12x +m得: x 2+2mx +2m 2−2=0,则{x 1+x 2=−2mx 1x 2=2m 2−2Δ=4(2−m 2)>0,易知−√2<m <√2,点M (−m,m 2),直线OM:y =−12x ,由方程组{x 2+4y 2−4=0y =−12x得:C (−√2,√22),D (√2,−√22). ∴|MC ∥MD|=√52(−m +√2)⋅√52(m +√2)=54(2−m 2) |MA||MB|=14|AB|2=14[(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2]=516(x 1+x 2)2−4x 1x 2=54(2−m 2) ∴|MA||MB|=|MC||MD|.【注】此问题结构漂亮，结论优美，相仿于圆中的相交线定理.一般地,|MA|⋅|MB||MC|⋅|MD|=(1+k 2)a 2b 2a 4k 2+b 4,其中k 为直线AB斜率.强化训练1.如图,O 为坐标原点,椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距等于其长半轴长,M,N 为椭圆C 的上、下顶点,且|MN|=2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点P(0,1)作直线l 交椭圆C 于异于M,N 的A,B 两点,直线AM,BN 交于点T .求证：点T 的纵坐标为定值3【答案】(1)x 24+y 23=1; (2)见解析.【解析】(1)由题意可知: 2c =a,2b =2√3,又a 2=b 2+c 2,有b =√3,c =1,a =2,故椭圆C 的方程为: x 24+y 23=1.(2)由题意知直线l 的斜率存在,设其方程为y =kx +1,联立直线方程和椭圆方程得{y =kx +13x 2+4y 2−12=0,消去y 得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1x 2≠0),则x 1+x 2=−8k 4k 2+3,x 1x 2=−84k 2+3又A,P,B 三点共线,则 y 1−1x 1=y 2−1x 2,即x 2y 1−x 1y 2=x 2−x 1.构造式子: x 2y 1+x 1y 2=2kx 1x 2+x 1+x 2=3(x 1+x 2),则{x 2y 1=2x 2+x 1x 1y 2=2x 1+x 2.又l BN :y =y 2+√3x 2⋅x −√3,l AM :y =y 1−√3x 1⋅x +√3由{y =y 2+√3x2⋅x −√3y =y 1−√3x 1⋅x +√3,√3y +√3=y 1−√3x 1y 2+√3=√3x x 1y 2+√3x 1∴y −√3y +√3=x y −√3x x 1y 2+√3x 1=x +(2−√3)x (2+√3)x 1+x 2=(2−√3)[(2+√3)x +x ](2+√3)x 1+x 2=2−√3解之,得y =3.故点T 的纵坐标为3.【注 1】此问题是例1的逆向问题,其中也再次用到了手法:据A,P,B 三点共线,可知x 2y 1−x 1y 2=x 2−x 1.构造式子:x 2y 1+x 1y 2=3(x 1+x 2), 则{x 2y 1=2x 2+x 1x 1y 2=2x 1+x 2. 【注 2】椭圆的内接四边形的对边交点落在定直线上等价于其对角线交点为定点.一般结论如下:结论1:椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A,B,T 为定直线x =t(t ≠0)上任意一点,直线TA,TB 分别与椭圆交于点M,N.则直线MN 恒过定点S (a 2t,0).结论2:过有心圆锥曲线mx 2+ny 2=1的中心O 的直线交曲线于A,B,T 为定直线l:mx 0x +ny 0y =1上任意一点,直线TA,TB 分别与椭圆交于点M,N ,则直线MN 恒过定点(x 0,y 0). 2.已知椭圆C:x 26+y 24=1与定点A(0,−2),经过点E(0,1),且斜率存在的直线l 交椭圆于Q,N 两点, 点B 与点Q 关于坐标原点对称,连接AB,AN .求证：存在实数λ,使得k AN =λk AB 恒成立?【答案】见解析【 解析】设l:y =kx +1,由{y =kx +12x 2+3y 2−12=0可知,(2+3k 2)x 2+6kx −9=0, 设N (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则{x 1+x 2=−6k2+3k 2x 1x 2=−92+3k 2,∴x 1y 2+x 2y 1=4(x 1+x 2) 又N,E,Q 三点共线,则y 2−1x 2=y 1−1x 1,即x 2y 1−x 1y 2=x 2−x 1.∴{x1y2=52x1+32x2x2y1=32x1+52x2,∵A(0,−2),B(−x2,−y2)则λ=k ANk AB =(y1+2)x2(y2+2)x1=x2y1+2x2x1y2−2x1=32x1+92x212x1+32x2=3∴存在实数λ=3,使得k AN=3k AB恒成立.【注】以上问题具有如下共同特征:(1)直线a与直线b的斜率之积为定值−b2a2;(2)直线d过坐标轴上一定点;(3)直线c与直线b的斜率之积为定值.3.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M在椭圆上,ΔMF1F2的周长为2√5+4,面积的最大值为2 .(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B连接AF2,BF2并延长交椭圆C于D,E,连接DE,探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由.【答案】(1)x 25+y2=1;(2)见解析【解析】(1)|F1F2|+|MF1|+|MF2|=2a+2c=2√5+4,S=12×(2c)b=bc=2,得a=√5,c=2,b=1,所以椭圆C的方程为: x 25+y2=1.(2)设A(x0,y0),则B(−x0,−y0).直线AD:x=x0−2y0y+2，代入C:x 25+y 2=1得[(x 0−2)2+5y 02]y 2+4(x 0−2)y 0y −y 02=0 ，因为x 025+y 02=1,代入化简得(9−4x 0)y 2+4(x 0−2)y 0y −y 02=0,设D (x 1,y 1),E (x 2,y 2),则y 0y 1=−y 029−4x 0,所以y 1=−y 09−4x 0,x 1=x 0−2y 0y 1+2 ，直线BE:x =x 0+2y 0y +2, 同理可得y 2=y 09+4x 0,x 2=x 0+2y 0y 2+2.所以k DE =y 1−y2x 1−x 2=y 1−y 2x 0−2y 0y 1−x 0+2y 0y 2=y 1−y 2x 0y 0(y 1−y 2)−2y 1+y2y 0=1x 0y 0−2y 0⋅y 1+y2y 1−y 2=1x 0y 0−2y 0⋅4x 09=9×y0x 0=9k ,所以k DE :k =9:1【注】此问题可推广为如下一般结论:椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A,B.椭圆的弦过定点M(t,0),则k AP k AQ =(−b 2a 2)⋅a−ta+t ，k AP k BQ=a−t a+t. (定点在y 轴上时类似.)4.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1的左、右顶点分别为A,B ,椭圆的弦PQ 过定点M(t,0),直线PQ 斜率为k 且 k ≠0,求kAP k BQ的值.【答案】k APkBQ=a−ta+t .【解析】设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)(x 2≠±a ),因点Q 在椭圆上有 x 22a 2+y 22b 2=1 有−b 2a 2=y 22x 22−a 2=y 2x2−a ⋅y 2x2+a=k AQ ⋅k BQ ，另有k AQ ⋅k AP =y 2x2+a ⋅y 1x1+a=y 1y 2(x1+a )(x 2+a )(∗)设直线PQ:y =k(x −t)与椭圆联立消去y ,得(a2k2+b2)x2+(−2ta2k2)x+a2(t2k2−b2)=0,左边为g(x)=(a2k2+b2)x2+(−2ta2k2)x+a2(t2k2−b2)=(a2k2+b2)(x1−x)(x2−x)令x=−a,得(x1+a)(x2+a)=g(−a)a2k2+b2代入(∗)式中,得k AQ⋅k AP=b2(t2−a2)k2a4k2+2a3tk2+a2t2k2−a2b2+a2b2由于k≠0且t≠a,化简得k AQ⋅k AP=b2(t2−a2)a2(t+a)2=−b2(a−t)a2(a+t)又因k AQ⋅k BQ=−b2a2,两式作商得: k APk BQ=a−ta+t.5．已知椭圆Γ的方程为x29+y25=1,经椭圆的左焦点F(−2,0)、斜率为k1(k1;k1≠0)的直线与椭圆交于A、B两点.设R(1,0),延长AR、BR分别与椭圆交于C、D两点, 直线CD的斜率为k2.则k1k2=【答案】47.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则直线l AR:x=x1−1y1y+1.代入椭圆方程消去x得5−x1y12y2+x1−1y1y−4=0.则y3=−4y15−x1.代入直线AR的方程得x3=5x1−9x1−5.于是C(5x1−9x1−5,4y1x1−5).同理,D(5x2−9x2−5,4y2 x2−5).则k2=4y1x1−5−4y2x2−55x1−9r−5−5x2−9r−5=4(y1x2−5y1−y2x1+5y2)16(x2−x1)因为A、F、B三点共线,所以y1x1+2=y2x2+2⇒y1x2−y2x1=2(y2−y1).故k2=74⋅y2−y1x2+x1=74k1⇒k1k2=47.。
公考几何五大定理——蝴蝶定理
公考几何五大定理——蝴蝶定理
蝴蝶定理是公共考试几何学中的一个重要定理，也被称为“巴斯卡定理”。
它是基于帕斯卡定理的一个推论，用于解决关于圆的切线和割线的性质问题。
蝴蝶定理的内容如下：
在一个圆内，任意取两个不相交的割线AB和CD，它们相交于点E。
连接AC和BD，它们相交于点F。
则AE × EB = CE × ED。
这个定理的名字来源于连接AE、BE、CE和DE的四条线段形成的形状，它们看起来像一只蝴蝶的翅膀。
蝴蝶定理的证明可以通过应用帕斯卡定理来完成。
首先，我们可以利用帕斯卡定理证明三个点A、E和D在同一直线上。
根据帕斯卡定理，我们可以得到：AD ∩ BE、AF ∩ CD和BF ∩ CE三个交点共线。
因此，我们可以得出结论：AE × EB = CE × ED。
蝴蝶定理的应用非常广泛，特别是在解决与圆相关的几何问题时。
例如，可以利用蝴蝶定理证明两条割线的交点与两条切线的交点共线，或者利用蝴蝶定理证明两条割线的交点与圆心共线等。
总结起来，蝴蝶定理是公共考试几何学中一个重要的定理，用于解决与圆的切线和割线的性质问题。
它是基于帕斯卡定理的一个推论，通过连接割线和相交点形成的四条线段，得到了一个重要的几何关系式。
几何蝴蝶模型定理
几何蝴蝶模型定理
几何蝴蝶模型定理是一个关于多边形对称性的定理，其主要内容如下：
定理：设P是一个凸n边形（n≥3），如果P中存在两个不重
合的对应边的相交交点，那么P一定有一对对称的顶点。
简要解释：对于一个凸多边形，如果存在两条不重合的边，这两条边的相交点，那么这个多边形一定有一对对称的顶点。
进一步解释：假设我们有一个凸n边形，如果存在两条不重合的边，这两条边的相交点A和B。
可以证明，在多边形P中，存在一对对称的点C和D，使得AC=BD。
也就是说，从中心
C或D作线段所在斜边的中垂线，这条垂线会与另一条斜边
相交于同一个点，从而形成了一个几何蝴蝶模型。
这个定理的证明可以使用向量方法、旋转角度方法等多种方式。
这个定理的应用可以帮助我们在解决与凸多边形对称性相关的问题时，更好地理解和分析问题。
蝴蝶定理的证明方式
蝴蝶定理的证明方式1. 用射影几何中的交比性质证明蝴蝶定理。
- 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD与PQ交点为X，BC与PQ交点为Y。
- 以M为中心，考虑线束MA, MX, MB, MP和线束MC, MY, MD, MP。
- 根据交比的性质，对于线束MA, MX, MB, MP，交比(MA,MX;MB,MP)等于(A,X;B,P)（这是通过中心投影得到的交比不变性）。
- 同理，对于线束MC, MY, MD, MP，交比(MC,MY;MD,MP)等于(C,Y;D,P)。
- 由于圆的射影性质，(A,X;B,P)=(C,Y;D,P)，即(MA,MX;MB,MP)=(MC,MY;MD,MP)。
- 又因为M是PQ中点，MP = MQ，在交比(MA,MX;MB,MP)和(MC,MY;MD,MP)中，利用交比的计算(a,b;c,d)=((a - c)(b - d))/((a - d)(b - c))，经过计算可得MX=MY。
2. 利用面积法证明蝴蝶定理。
- 连接OM、OA、OB、OC、OD。
- 因为M是弦PQ的中点，所以OM⊥ PQ。
- 设∠ AOM=α，∠ COM=β，圆的半径为r。
- 根据三角形面积公式S = (1)/(2)absin C。
- 对于AXM和BXM，frac{S_ AXM}{S_ BXM}=(frac{1)/(2)AX· MX·sin∠AXM}{(1)/(2)BX· MX·sin∠ BXM}。
- 由于∠ AXM+∠ BXM = π，sin∠ AXM=sin∠ BXM，所以frac{S_AXM}{S_ BXM}=(AX)/(BX)。
- 同理frac{S_ CXM}{S_ DXM}=(CX)/(DX)。
- 又S_ AOM=(1)/(2)r^2sin2α，S_ BOM=(1)/(2)r^2sin2(π - α)= (1)/(2)r^2sin2α，S_ COM=(1)/(2)r^2sin2β，S_ DOM=(1)/(2)r^2sin2(π-β)=(1)/(2)r^2sin2β。
梯形蝴蝶定理模型 -回复
梯形蝴蝶定理模型-回复【梯形蝴蝶定理模型】是一种用于解决不确定性问题的数学模型。
它通过将问题分解为多个子问题，并利用逐步逼近的方法来求解，从而得到问题的近似解。
本文将详细介绍梯形蝴蝶定理模型，并逐步回答中括号内所设的主题。
第一步：梯形蝴蝶定理模型的基本原理梯形蝴蝶定理模型最初由数学家冯康发展而来，其基本思想是将待解决的问题划分为一系列子问题，并通过逐步逼近的方式求解这些子问题。
在梯形蝴蝶定理模型中，问题被视为一个巨大的蝴蝶，而子问题则被视为蝴蝶的一个个翅膀。
通过解决这些翅膀，最终得到整体问题的解。
第二步：梯形蝴蝶定理模型的应用领域梯形蝴蝶定理模型可以广泛应用于各种领域，特别是在处理不确定性问题时具有较强的优势。
例如，在金融领域，梯形蝴蝶定理模型可以用于分析股票价格的涨跌趋势，帮助投资者做出更明智的决策。
在供应链管理中，该模型可以用于优化物流调度，提高效率和利润。
在环境保护领域，该模型可以用于评估气候变化对生态系统的影响，并制定相应的保护策略。
第三步：梯形蝴蝶定理模型的基本步骤梯形蝴蝶定理模型的求解过程包括以下几个基本步骤：1. 定义问题：明确待解决的问题，并将其转化为数学建模问题。
2. 划分子问题：将大问题划分为小的子问题，每个子问题对应于解决整体问题的一个局部性质。
3. 设计逐步逼近方案：为每个子问题设计相应的逐步逼近方案，例如使用迭代、递推或优化算法等。
4. 求解子问题：根据逐步逼近方案，依次求解每个子问题，得到一个个局部解。
5. 合并解：根据问题的性质和要求，将局部解进行合并，得到整体问题的近似解。
6. 评估解的准确性：对整体问题的近似解进行评估，判断其是否满足问题的要求。
7. 迭代改进：根据评估结果，对逐步逼近方案进行迭代改进，直到得到满意的解。
第四步：梯形蝴蝶定理模型的优缺点梯形蝴蝶定理模型具有一些显著的优点和一些限制。
其优点包括：1. 灵活性：梯形蝴蝶定理模型可以根据问题的特点和要求进行调整和改进，适用于不同类型的问题。
圆锥曲线的蝴蝶定理
蝴蝶定理是一种经典的圆锥曲线的研究方法，用于推导有关曲线的性质。
它也可以帮助研究对象更理解圆锥曲线的线性分析和多项式函数
上的行为，从而更好地应用到实际工程中。
蝴蝶定理是18法国数学家拉瓦锡发现的，最早叫做拉瓦锡定理，而后
被称为蝴蝶定理。
蝴蝶定理可以将圆锥曲线分解成一种由圆锥曲线单元，称为蝴蝶，来描述它的特性。
它的定义如下：
若将一个曲线划分为m个蝴蝶，则存在n个样条曲线，每个样条曲线
都能够拟合圆锥曲线的m个蝴蝶，且拟合的拟合准确值的数目为n，
拟合的准确值越大，拟合的精度越高。
由于蝴蝶定理可以将圆锥曲线分解成一组蝴蝶，且可以利用样条曲线
准确拟合该组蝴蝶，因此蝴蝶定理可以为圆锥曲线进行点位精确建模，这是圆锥曲线优势最大的地方。
蝴蝶定理也可以提供一个解决方案，
帮助优化圆锥曲线，避免造成有多个特征点的拟合不准确，造成计算
误差。
此外，蝴蝶定理相比传统的拟合方法，低复杂度，在实际应用过程中，可以帮助减少计算时间，极大地提高了计算效率。
由此可见，蝴蝶定理是一个简单而实用的拟合方法，它可以准确而快
速地建模圆锥曲线。
它不仅可以提高计算效率，还可以帮助更好地理
解圆锥曲线曲线的属性，并且可以应用到更广泛的研究领域。
因此，
蝴蝶定理也被用于实际工程中，在很多工程领域发挥着重要的作用。
蝴蝶模型(基础)(知识讲解)(学生版)
蝴蝶模型（基础）知识讲解（学生版）蝴蝶模型是一种用于描述和理解复杂系统中非线性关系的模型。
它基于混沌理论和蝴蝶效应，通过简单的数学方程，展示了微小的初始差异如何随着时间的推移导致巨大的系统变化。
这个模型不仅在数学和物理学中有重要应用，还可以帮助我们理解自然界和日常生活中的许多现象。
一、什么是蝴蝶模型？蝴蝶模型，也称为洛伦兹系统，是由美国气象学家爱德华·洛伦兹在1960年代提出的。
洛伦兹在研究天气预报时发现，即使是微小的初始条件变化，也会导致长期天气预报的巨大差异。
这个发现后来被称为“蝴蝶效应”，即“蝴蝶在巴西扇动翅膀，可能会在美国的德克萨斯州引发龙卷风”。
二、蝴蝶模型的方程dx/dt = σ(y x)dy/dt = x(ρ z) ydz/dt = xy βz其中，x、y、z是系统的状态变量，而σ、ρ、β是参数，通常取σ = 10, ρ = 28, β = 8/3。
这些参数的取值对于系统的行为有着重要影响。
三、蝴蝶模型的特性蝴蝶模型具有几个显著特性，使其成为一个有趣的研究对象：1. 混沌性：蝴蝶模型的解表现出混沌行为，这意味着即使初始条件非常接近，随着时间的推移，解也会迅速分离。
2. 敏感性：蝴蝶模型对初始条件非常敏感，微小的变化会导致长期行为的巨大差异。
3. 吸引子：蝴蝶模型的解趋向于一个复杂的几何形状，称为“洛伦兹吸引子”。
这个吸引子是混沌系统的典型特征。
四、蝴蝶模型的应用蝴蝶模型不仅在理论研究中有着重要地位，它在实际应用中也展现出广泛的价值。
例如：1. 气象学：蝴蝶模型有助于理解天气预报的不确定性，以及为什么长期天气预报难以准确。
2. 经济学：蝴蝶模型可以用来模拟经济系统的复杂动态，如股市波动和宏观经济预测。
3. 生态学：蝴蝶模型可以用来研究生态系统中的种群动态和生物多样性。
通过学习蝴蝶模型，我们可以更好地理解复杂系统的行为，以及如何在不同领域中应用这些知识。
希望这个基础讲解能够帮助你入门，激发你对混沌理论和非线性动力学的兴趣。
初中数学微课课件：蝴蝶定理
思考：蝴蝶除了对称性外，还有哪些特
征？ 将实际问题抽象为几何图形后，怎样研
究图形所具有的性质？
图2
二、问题解决
连结六个特殊点, 得到三个等腰梯形, 其中图2是两个等腰梯形, 图3 中的四边形 ABDC是等腰梯形, 并且AD , BC 和EF 近似过同一点。下 面我们重点研究这个图形（图4）.
B
F
A N
二、问题解决
问题2：若将图5中的等腰梯形ABDC改为一般梯形，其他条件不变 （图6），以上结论还成立吗？ 请加以说明.
B
A N
H
M
解 （1）角: 平行线和对顶角所形成的角仍
然成立，原来由全等和等腰产生的角不再
A
B
成立.
M
N
EHF
（2）线段: HM=HN
S△AHC = S△BHD
HM=HN
D C
图5
C P 图6Q
D（3）三角形: △ABH∽△DCH， △AMH∽△ACD， △BHN∽△BCD.
三角形的面积关系仍然成立.
三、生长拓学
问题3: 在问题1中，设△ABH，△CDH，△AHC的面积分别为S1,S2,S0,试
证明: S02=S1•S2. 问题引导：△ABH，△CDH，△AHC在位置上有怎样的关
A
B
F
H
EM
N
K
L
O
C D
∴O, H, M, K四点共圆, O, H, N, L四点共圆,
图7
∴∠AKH=∠MOH, ∠BLH= ∠NOH,
∴∠MOH= ∠NOH.
∴△MOH≌△NOH.
∴MH= NH.
蝴蝶定理: 过弦EF的中点H，任作两条弦AD，BC，弦AC和BD分别交EF于点M，N.则H为线段MN的中点.
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蝴蝶定理模型
（1）
1243
::
S S S S
=或1324
S S S S
⨯=⨯
（2）根据
1
S与4S的高相等，3S与2S的高相等可以得到
1234
:():()
AO CO S S S S
=++
【2】梯形中的比例关系（“蝴蝶定理”）
（1）22
13
::
S S a b
=(a、b为份数)
（2）22
1324
:::::():()
S S S S a b ab ab
=(a、b为份数)
（3）梯形面积的对应份数为：()2
a b
+(a、b为份数)
【3】已知四边形ABCD，O是BD的中点。
NE、MF相交于点O。
那么OP＝OQ
【例1】已知正方形的面积为12，E、F是DC上三等分点。
求阴影部分的面积。
【分析提示】：由E、F是DC上三等分点可知，:1:3
EF AB=。
设1
EOF
S
∆
=(份)，根据梯形蝴蝶定理1可以知道()
AOE BOF
S S
∆∆
==份,
()
AOB
S
∆
=份。
又()
ADE BFC
S S
∆∆
==。
A
B C
D
O
1
S
2
S
3
S
4
S
a
b
D
A
C
B
E
F
M N
O
P Q
B C
从而阴影部分的面积为： 。
【例2】如图，四边形ABCD 被两条对角线分成4个三角形，其中三
个三角形的面积如图所示。
求（1）BGC S ∆;
(2):AG GC 。
123BGC S ∆⨯=⨯ 那么6BGC S ∆=
（2）。
【训练与提高】
1.在直角梯形ABCD 中，AB=15厘米，
AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。
梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
解答:连接AE,可得15AEF BFC S S ∆∆==，。
而因为(ABC S ∆=再次用蝴蝶定理可求()EFC S ∆=
所以(
)ABCD S ∆=
C
D
1E
2．如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方
为多少？
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空
白三角形的高均为（），因此空白处的总面积为
（），
阴影部分的面积为（）＝（）。
形的上底
都为2，下底都为6，上底、下底之比为（
定理，这四
个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为（），所以每个梯形中的
空白三角形占该梯形面积的（），阴影部分的面积占该梯形面积的（），所
以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的（），那么阴影部分的面积为（）。