河北省唐山市迁安市市级名校2024届中考数学五模试卷含解析

河北省唐山市迁安市市级名校2024年中考数学五模试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A ．5﹣2=3
B ．4 =±2
C ．a 6÷a 2=a 3
D ．（﹣a 2）3=﹣a 6
2．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ）
A ．1
B ．0
C ．±1
D ．±1和0
4．2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里，居世界第一，将数据135000用科学计数法表示正确的是（ ）
A ．1.35×106
B ．1.35×105
C ．13.5×104
D ．135×103
5．如图，∠AOB ＝45°，OC 是∠AOB 的角平分线，PM ⊥OB ，垂足为点M ，PN ∥OB ，PN 与OA 相交于点N ，那么PM PN
的值等于（ ）
A ．12
B ．22
C 3
D 36．运用乘法公式计算（4+x ）（4﹣x ）的结果是（ ）
A ．x 2﹣16
B ．16﹣x 2
C ．16﹣8x +x 2
D ．8﹣x 2
7．如图,在ABC ∆中，10 , 8 , 6AB AC BC === ,以边AB 的中点O 为圆心,作半圆与AC 相切，点, P Q 分别是边BC 和半圆上的动点,连接PQ ,则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6B．2131
C．9D．32 3
8．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
9．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）
A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵
10．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|-|a-2b|-|c+2b|的结果是（）
A．4b+2c B．0 C．2c D．2a+2c
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ:SⅡ:SⅢ=________.
12．用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜
色，则需要涂色部分的面积约为cm2（精确到1cm2）．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．
14．关于x的分式方程
3
1
11
m
x x
+=
--
的解为正数，则m的取值范围是___________．
15．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为_____．
16．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)=4,[−1.2)=−1，则下列结论中正确的是______ .(填写所有正确结论的序
号)①[0)=0；②[x)−x的最小值是0；③[x)−x的最大值是0；④存在实数x，使[x)−x=0.5成立．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．
18．（8分）某商店销售两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需280元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需210元．
（Ⅰ）求这两种品牌计算器的单价；
（Ⅱ）开学前，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的九折销售，B品牌计算器10个以上超出部分按原价的七折销售．设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式．
（Ⅲ）某校准备集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过15个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
19．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：
AE=CF
20．（8分）作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与双曲线y2=k
x
交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且
OA=AB．求双曲线的解析式；求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，3E，F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知点F的移动速度是点E移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设E点移动距离为x（0＜x＜6）．
（1）∠DCB=度，当点G在四边形ABCD的边上时，x=；
（2）在点E，F的移动过程中，点G始终在BD或BD的延长线上运动，求点G在线段BD的中点时x的值；（3）当2＜x＜6时，求△EFG与四边形ABCD重叠部分面积y与x之间的函数关系式，当x取何值时，y有最大值？并求出y的最大值．
23．（12分）（1）如图1，半径为2的圆O内有一点P，切OP=1，弦AB过点P，则弦AB长度的最大值为__________；最小值为___________.
图①
（2）如图2，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中∠ABC=90°，AB=80米，BC=60米，现在他利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔想建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC=60°，你认为葛叔叔的想法能实现吗？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值；若不能，请说明理由．
图②
24．如图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．
以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；
△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解题分析】
根据二次根式的运算法则,同类二次根式的判断，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算．
【题目详解】
A. 不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
=2≠±2，故B选项错误；
C. a6÷a2=a4≠a3，故C选项错误；
D. (−a2)3=−a6，故D选项正确．
故选D.
【题目点拨】
本题主要考查了二次根式的运算法则，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算，熟记法则是解题的关键.
2、C
【解题分析】
试题分析：由中心对称图形的概念可知，这四个图形中只有第三个是中心对称图形，故答案选C．
考点：中心对称图形的概念．
3、C
【解题分析】
根据倒数的定义即可求解.
【题目详解】
的倒数等于它本身，故C符合题意.
故选：C.
【题目点拨】
主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.
4、B
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【题目详解】
解：135000=1.35×105
故选B．
【题目点拨】
此题考查科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5、B
【解题分析】
过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．
【题目详解】
如图，过点P作PE⊥OA于点E，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴PE＝PM，
∵PN∥OB，
∴∠POM＝∠OPN，
∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，
∴PM
PN
＝
2
2
．
故选：B．
【题目点拨】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6、B
【解题分析】
根据平方差公式计算即可得解．
【题目详解】
222
(4)(4)416
x x x x
+-=-=-，
故选：B．
【题目点拨】
本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握平方差公式的运算是解决本题的关键.
7、C
【解题分析】
如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
【题目详解】
解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=10°，
∵∠OP1B=10°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，\
∴P1C=P1B，
∴OP1=1
2
AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是1．
故选：C．
【题目点拨】
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
8、A
【解题分析】
试题分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可知，A为轴对称图形．
故选A．
考点：轴对称图形
9、D
【解题分析】
试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．
故选D．
考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．
10、A
【解题分析】
由数轴上点的位置得：b<a<0<c，且|b|>|c|>|a|，
∴a+c>0，a−2b>0，c+2b<0，
则原式=a+c−a+2b+c+2b=4b +2c.
故选：B.
点睛：本题考查了整式的加减以及数轴，涉及的知识有：去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1:3:5
【解题分析】
∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∵AD=DF=FB，
∴AD:AF:AB=1:2:3，
∴::
ADE AFG ABC
S S S=1:4:9，
∴SⅠ:SⅡ:SⅢ=1:3:5.
故答案为1:3:5.
点睛: 本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质．相似三角形的面积比等于相似比的平方．
12、174cm1．
【解题分析】
直径为10cm的玻璃球，玻璃球半径OB=5，所以AO=18−5=13，由勾股定理得，AB=11，
∵BD×AO=AB×BO,BD=
60
13 AB BO
AO
⨯
=，
圆锥底面半径=BD=60
13
,圆锥底面周长=1×
60
13
π,侧面面积=
1
2
×1×
60
13
π×11=
720
13
π
.
点睛: 利用勾股定理可求得圆锥的母线长，进而过B作出垂线，得到圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷1．本题是一道综合题，考查的知识点较多，利用了勾股定理，圆的周长公式、圆的面积公式和扇形的面积公式求解．把实际问题转化为数学问题求解是本题的解题关键．
13、4.8或64 11
【解题分析】
根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可.
【题目详解】
①CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA ， 所以
CP CB ＝CQ CA
， 即16216t -＝12t ， 解得t ＝4.8；
②CP 和CA 是对应边时，△CPQ ∽△CAB ， 所以
CP CA ＝CQ CB
， 即16212t -＝16
t ， 解得t ＝6411. 综上所述，当t ＝4.8或
6411时，△CPQ 与△CBA 相似． 【题目点拨】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.
14、2?m >且3m ≠.
【解题分析】
方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x ，再列不等式得出m 的取值范围．
【题目详解】
方程两边同乘以x-1，得，m-1=x-1，
解得x=m-2， ∵分式方程3111m x x
+=--的解为正数， ∴x=m-2＞0且x-1≠0，
即m-2＞0且m-2-1≠0，
∴m ＞2且m≠1，
故答案为m ＞2且m≠1．
15、2753x y x y
+=⎧⎨=⎩ 【解题分析】
根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y ，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x ，或x+3y ，故2x=3y+x ，整理得x=3y ，联立两个方程即可．
【题目详解】
根据图示可得
275
3
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
故答案是：
275
3
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
．
【题目点拨】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．16、④
【解题分析】
根据题意[x)表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【题目详解】
①[0)=1，故本项错误；
②[x)−x>0，但是取不到0，故本项错误；
③[x)−x⩽1，即最大值为1，故本项错误；
④存在实数x，使[x)−x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．
故答案是：④．
【题目点拨】
此题考查运算的定义，解题关键在于理解题意的运算法则.
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）6π；（2）GB=DF，理由详见解析.
【解题分析】
（1）根据弧长公式l=计算即可；
（2）通过证明给出的条件证明△FDC≌△GBC即可得到线段GB与DF的长度关系．
【题目详解】
解：（1）∵AD=2，∠DAE=90°，
∴弧DE的长l1==π，
同理弧EF的长l2==2π，弧FG的长l3==3π，
所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=6π．
（2）GB=DF．
理由如下：延长GB交DF于H．
∵CD=CB，∠DCF=∠BCG，CF=CG，
∴△FDC≌△GBC．
∴GB=DF．
【题目点拨】
本题考查弧长公式以及全等三角形的判定和性质，题目比较简单，解题关键掌握是弧长公式．
18、（1）A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；（2）y 1=45x，y2=
60(010)
42180(10)
x x
x x
≤≤
⎧
⎨
+
⎩
；（3）详见解
析.
【解题分析】
(1)根据题意列出二元一次方程组并求解即可；
(2)按照“购买所需费用=折扣×单价×数量”列式即可，注意B品牌计算器的采购要分0≤x≤10和x＞10两种情况考虑；
(3)根据上问所求关系式，分别计算当x＞15时，由y1=y2、y1＞y2、y1＜y2确定其分别对应的销量范围，从而确定方案. 【题目详解】
（Ⅰ）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，
根据题意得，
23280 3210
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
50
60 a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；（Ⅱ）A品牌：y1=50x•0.9=45x；
B品牌：①当0≤x≤10时，y2=60x，
②当x＞10时，y2=10×60+60×（x﹣10）×0.7=42x+180，综上所述：
y1=45x，
y2=
()
() 60010 4218010
x x
x x
⎧≤≤
⎪
⎨
+
⎪⎩＞
；
（Ⅲ）当y1=y2时，45x=42x+180，解得x=60，即购买60个计算器时，两种品牌都一样；
当y1＞y2时，45x＞42x+180，解得x＞60，即购买超过60个计算器时，B品牌更合算；
当y1＜y2时，45x＜42x+180，解得x＜60，即购买不足60个计算器时，A品牌更合算，
当购买数量为15时，显然购买A品牌更划算.
【题目点拨】
本题考查了二元一次方程组的应用.
19、详见解析
【解题分析】
根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF．
【题目详解】
证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF. （其他证法也可）
20、见解析
【解题分析】
先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．
【题目详解】
①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；
②分别以D、E为圆心，以大于1
2
DE为半径画圆，两圆相交于F点；
③连接AF，则直线AF即为∠ABC的角平分线；
⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于1
2
AC为半径画圆，两圆相交于F、H两点；
⑥连接FH交BF于点M，则M点即为所求．
【题目点拨】
本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键．
21、（1）
24
y
x
；（1）C（﹣1，﹣4），x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
【解题分析】
【分析】（1）作高线AC，根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=1x﹣1，可得A的坐标，从而得双曲线的解析式；
（1）联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论．【题目详解】（1）∵点A在直线y1=1x﹣1上，
∴设A（x，1x﹣1），
过A作AC⊥OB于C，
∵AB⊥OA，且OA=AB，
∴OC=BC，
∴AC=1
2
OB=OC，
∴x=1x﹣1，x=1，
∴A（1，1），∴k=1×1=4，
∴
24
y
x
=；
（1）∵
22
4
y x
y
x
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，解得：1
1
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，2
2
1
4
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y1时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
【题目点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．
22、(1) 30；2；（2）x=1；（3）当x=18
7
时，y最大
93
；
【解题分析】
(1)如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．AD=BH=3，BC=6，CH=BC﹣BH=3，当等边三角形△EGF 的高3,时，点G在AD上，此时x=2；
（2）根据勾股定理求出BD的长度，根据三角函数，求出∠ADB=30°，根据中点的定义得出
11233,22
BG BD ==⨯=根据等边三角形的性质得到BF ,即可求出x 的值； （3）图2，图3三种情形解决问题．①当2<x<3时，如图2中，点E 、F 在线段BC 上，△EFG 与四边形ABCD 重叠部分为四边形EFNM ；②当3≤x<6时，如图3中，点E 在线段BC 上，点F 在射线BC 上，重叠部分是△ECP ；
【题目详解】
（1）作DH ⊥BC 于H ，则四边形ABHD 是矩形．
∵AD=BH=3，BC=6，
∴CH=BC ﹣BH=3，
在Rt △DHC 中，CH=3，3,DH AB ==
∴3tan DH DCB CH ∠== 当等边三角形△EGF 3G 在AD 上，此时x=2，∠DCB=30°，
故答案为30，2，
（2）如图
∵AD ∥BC
∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣90°
=90° 在Rt △ABD 中，()22223323,BD AB BD =+=+=
31sin ,2
23AB ADB BD ∠=
== ∴∠ADB=30° ∵G 是BD 的中点
∴11233,22
BG BD ==⨯= ∵AD ∥BC
∴∠ADB=∠DBC=30°
∵△GEF是等边三角形，∴∠GFE=60°
∴∠BGF=90°
在Rt△BGF中，
3
2, cos cos30
BG
BF
GBF
===
∠
∴2x=2即x=1；
（3）分两种情况：
当2＜x＜3，如图2
点E、点F在线段BC上△GEF与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM ∵∠FNC=∠GFE﹣∠DCB=60°﹣30°=30°
∴∠FNC=∠DCB
∴FN=FC=6﹣2x
∴GN=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6
∵∠FNC=∠GNM=30°，∠G=60°
∴∠GMN=90°
在Rt△GNM中，
13333
3tan603333, 222
MG GN x NM MG x
⎛⎫
==-=⋅=-=-
⎪
⎝⎭
∴
131333
333,
222
EFG GMN
x
y S S x x x
⎛⎫
=-=---
⎪
⎝⎭⎝
2
2
739393731893
7
x x x
⎫
==-+
⎪
⎝⎭
∴当
18
7
x=时，y最大3
7
=
当3≤x＜6时，如图3，
点E 在线段BC 上，点F 在线段BC 的延长线上，△GEF 与四边形ABCD 重叠部分为△ECP
∵∠PCE=30°，∠PEC=60°
∴∠EPC=90°
在Rt △EPC 中EC=6﹣x ， 113,22
EP EC x ==- 13tan 3tan 6033,2PC EP PEC x x ⎛⎫=⋅∠=-⋅= ⎪⎝⎭
21133339333322y x x x ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对称轴为33
36,32x ==⨯ 当x ＜6时，y 随x 的增大而减小
∴当x=3时，y 最大93= 综上所述：当187x =
时，y 最大937
= 【题目点拨】 属于四边形的综合题，考查动点问题，等边三角形的性质，三角函数，二次函数的最值等，综合性比较强，难度较大.
23、（1）弦AB 长度的最大值为4，最小值为3（2）面积最大值为（3）平方米，周长最大值为340米.
【解题分析】
（1）当AB 是过P 点的直径时，AB 最长；当AB ⊥OP 时，AB 最短，分别求出即可.（2）如图在△ABC 的一侧以AC 为边做等边三角形AEC ，再做△AEC 的外接圆，则满足∠ADC=60°的点D 在优弧AEC 上（点D 不与A 、C 重合），当D 与E 重合时，S △ADC 最大值=S △AEC ，由S △ABC 为定值，故此时四边形ABCD 的面积最大，再根据勾股定理和等
边三角形的性质求出此时的面积与周长即可.
【题目详解】
（1）（1）当AB是过P点的直径时，AB最长=2×2=4；
当AB⊥OP时，AB最短，AP=2222
213
OA OP
-=-=
∴AB=23
（2）如图，在△ABC的一侧以AC为边做等边三角形AEC，再做△AEC的外接圆，
当D与E重合时，S△ADC最大
故此时四边形ABCD的面积最大，
∵∠ABC=90°，AB=80，BC=60
∴AC=22100
AB BC
+=
∴周长为AB+BC+CD+AE=80+60+100+100=340(米)
S△ADC=11
10050325003 22
AC h
⨯=⨯⨯=
S△ABC=11
80602400 22
AB BC
⨯=⨯⨯=
∴四边形ABCD面积最大值为（25003+2400）平方米.
【题目点拨】
此题主要考查圆的综合利用，解题的关键是熟知圆的性质定理与垂径定理.
24、（1）作图见解析；（2）作图见解析；5π（平方单位）．
【解题分析】
（1）连接AO、BO、CO并延长到2AO、2BO、2CO长度找到各点的对应点，顺次连接即可．
（2）△A′B′C′的A′、C′绕点B′顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接即可．A′B′在旋转过程中扫过的图形面积是一个扇形，根据扇形的面积公式计算即可．
【题目详解】
解：（1）见图中△A′B′C′
（2）见图中△A″B′C″ 扇形的面积()22901242053604S πππ=
+=⋅=（平方单位）． 【题目点拨】
本题主要考查了位似图形及旋转变换作图的方法及扇形的面积公式．。