2021高三数学北师大版(文)：节圆锥曲线中的证明与存在性问题含解析
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(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明，多采用直接法证明，有时也会用到反证法．
(20xx·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x∠ABM＝∠ABN转化为证明kBM＋kBN＝0是解题的关键．
(20xx·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C： ＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 ＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且 · ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
∴f(t)≥f(1)＝4，∴S△F1AB≤3，即当t＝1，m＝0时，△F1AB的面积取得最大值3，此时直线l的方程为x＝1.
(20xx·哈尔滨模拟)已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，点F为左焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在圆x2＋y2＝3上是否存在一点P，使得在点P处的切线l与椭圆C相交于M，N两点，且满足 ⊥ ？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由．
由题意得 · ＝0，所以x0＋c＋y0＝0.
又因为点P在椭圆上，所以 ＋ ＝1，由以上两式可得3x ＋4cx0＝0.
因为P不是椭圆的顶点，
所以x0＝－ c，y0＝ c，故P .
设圆心为(x1，y1)，则x1＝－ c，y1＝ c，
圆的半径r＝ ＝ c.
假设存在过点F2的直线满足题设条件，并设该直线的方程为y＝k(x－c)，
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
[解](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝ x＋1或y＝－ x－1.
(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由相切可知 ＝r，
所以 ＝ c，
即20k2＋20k－1＝0，解得k＝－ ± .
故存在满足条件的直线，其斜率为－ ± .
本例第(2)问中，涉及直线与圆相切问题，需要求出圆心和半径，然后利用圆心到直线的距离等于半径，列等式求解．
[教师备选例题]
(20xx·长沙模拟)已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为1.
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1.
联立
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
则y1＋y2＝ ，y1y2＝ ，
∴S△F1AB＝ |F1F2|(y1－y2)＝ .
令 ＝t，可知t≥1，
则m2＝t2－1，
∴S△F1AB＝ ＝ .
令f(t)＝3t＋ ，则f′(t)＝3－ ，
当t≥1时，f′(t)>0，即f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增，
[解](1)∵e＝ ＝ ，∴3a2＝4b2.
又∵|AB|＝ ＝3，∴a＝2，b＝ .
∴椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
(2)假设存在点P，使得 ⊥ .
当直线l的斜率不存在时，
l：x＝ 或x＝－ ，与椭圆C： ＋ ＝1相交于M，N两点，
此时M ，N 或M ，N ，
∴ · ＝3－ ＝ ≠0，
∴当直线l的斜率不存在时，不满足 ⊥ .
· ＝3＋3m－tn，
＝(m，n)， ＝(－3－m，t－n)．
由 · ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以 · ＝0，即 ⊥ .
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
⊙考点2存在性问题
圆锥曲线中存在性问题的求解方法
[解](1)易知a＝2，因为 · ＝0，
所以△BF1F2为等腰直角三角形．
所以b＝c，由a2－b2＝c2可知b＝ ，故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
(2)由已知得b2＝c2，a2＝2c2，
设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，点P的坐标为(x0，y0)．
因为F1(－c,0)，B(0，c)，所以 ＝(x0＋c，y0)， ＝(c，c)，
由 得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝ ，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝ ＋ ＝ .①
将x1＝ ＋2，x2＝ ＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝ ＝ ＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
∵ · ＝0，∴ ＋ ＝0，
∴7m2－12k2－12＝0.
又∵直线l与圆x2＋y2＝3相切，∴ ＝ ，
∴m2＝3＋3k2，∴21＋21k2－12k2－12＝0，
解得k2＝－1，显然不成立，
∴在圆上不存在这样的点P使 ⊥ 成立．
当直线l的斜率存在时，设y＝kx＋m，
联立 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∵直线l与椭圆C相交于M，N两点，
∴Δ＞0，化简得4k2＞m2－3.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝ .
[解](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)， ＝(x－x0，y)， ＝(0，y0)．
由 ＝ 得x0＝x，y0＝ y.
因为M(x0，y0)在C上，所以 ＋ ＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则 ＝(－3，t)， ＝(－1－m，－n)，
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F2的直线与椭圆C分别相交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解](1)设椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)，∵e＝ ＝ ，a－c＝1，
∴a＝2，c＝1，
∴椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1>0，y2<0.
(20xx·泉州模拟)椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量 · ＝0.
(1)若A(2,0)，求椭圆的标准方程；
(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点F1，问是否存在过点F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．
2021高三数学北师大版（文）：节圆锥曲线中的证明与存在性问题含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
第十节 圆锥曲线中的证明与存在性问题
(对应学生用书第168页)
⊙考点1证明问题
圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；二是数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．
(20xx·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x∠ABM＝∠ABN转化为证明kBM＋kBN＝0是解题的关键．
(20xx·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C： ＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 ＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且 · ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
∴f(t)≥f(1)＝4，∴S△F1AB≤3，即当t＝1，m＝0时，△F1AB的面积取得最大值3，此时直线l的方程为x＝1.
(20xx·哈尔滨模拟)已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，点F为左焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在圆x2＋y2＝3上是否存在一点P，使得在点P处的切线l与椭圆C相交于M，N两点，且满足 ⊥ ？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由．
由题意得 · ＝0，所以x0＋c＋y0＝0.
又因为点P在椭圆上，所以 ＋ ＝1，由以上两式可得3x ＋4cx0＝0.
因为P不是椭圆的顶点，
所以x0＝－ c，y0＝ c，故P .
设圆心为(x1，y1)，则x1＝－ c，y1＝ c，
圆的半径r＝ ＝ c.
假设存在过点F2的直线满足题设条件，并设该直线的方程为y＝k(x－c)，
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
[解](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝ x＋1或y＝－ x－1.
(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由相切可知 ＝r，
所以 ＝ c，
即20k2＋20k－1＝0，解得k＝－ ± .
故存在满足条件的直线，其斜率为－ ± .
本例第(2)问中，涉及直线与圆相切问题，需要求出圆心和半径，然后利用圆心到直线的距离等于半径，列等式求解．
[教师备选例题]
(20xx·长沙模拟)已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为1.
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1.
联立
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
则y1＋y2＝ ，y1y2＝ ，
∴S△F1AB＝ |F1F2|(y1－y2)＝ .
令 ＝t，可知t≥1，
则m2＝t2－1，
∴S△F1AB＝ ＝ .
令f(t)＝3t＋ ，则f′(t)＝3－ ，
当t≥1时，f′(t)>0，即f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增，
[解](1)∵e＝ ＝ ，∴3a2＝4b2.
又∵|AB|＝ ＝3，∴a＝2，b＝ .
∴椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
(2)假设存在点P，使得 ⊥ .
当直线l的斜率不存在时，
l：x＝ 或x＝－ ，与椭圆C： ＋ ＝1相交于M，N两点，
此时M ，N 或M ，N ，
∴ · ＝3－ ＝ ≠0，
∴当直线l的斜率不存在时，不满足 ⊥ .
· ＝3＋3m－tn，
＝(m，n)， ＝(－3－m，t－n)．
由 · ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以 · ＝0，即 ⊥ .
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
⊙考点2存在性问题
圆锥曲线中存在性问题的求解方法
[解](1)易知a＝2，因为 · ＝0，
所以△BF1F2为等腰直角三角形．
所以b＝c，由a2－b2＝c2可知b＝ ，故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
(2)由已知得b2＝c2，a2＝2c2，
设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，点P的坐标为(x0，y0)．
因为F1(－c,0)，B(0，c)，所以 ＝(x0＋c，y0)， ＝(c，c)，
由 得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝ ，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝ ＋ ＝ .①
将x1＝ ＋2，x2＝ ＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝ ＝ ＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
∵ · ＝0，∴ ＋ ＝0，
∴7m2－12k2－12＝0.
又∵直线l与圆x2＋y2＝3相切，∴ ＝ ，
∴m2＝3＋3k2，∴21＋21k2－12k2－12＝0，
解得k2＝－1，显然不成立，
∴在圆上不存在这样的点P使 ⊥ 成立．
当直线l的斜率存在时，设y＝kx＋m，
联立 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∵直线l与椭圆C相交于M，N两点，
∴Δ＞0，化简得4k2＞m2－3.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝ .
[解](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)， ＝(x－x0，y)， ＝(0，y0)．
由 ＝ 得x0＝x，y0＝ y.
因为M(x0，y0)在C上，所以 ＋ ＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则 ＝(－3，t)， ＝(－1－m，－n)，
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F2的直线与椭圆C分别相交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解](1)设椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)，∵e＝ ＝ ，a－c＝1，
∴a＝2，c＝1，
∴椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1>0，y2<0.
(20xx·泉州模拟)椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量 · ＝0.
(1)若A(2,0)，求椭圆的标准方程；
(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点F1，问是否存在过点F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．
2021高三数学北师大版（文）：节圆锥曲线中的证明与存在性问题含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
第十节 圆锥曲线中的证明与存在性问题
(对应学生用书第168页)
⊙考点1证明问题
圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；二是数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．