北京市东城区2022-2023学年数学高三第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的
值为（ ） A ．24
7
-
B ．1731
-
C ．
247
D ．
1731
2．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）
A 3
B 6
C 3
D ．
336
3．若()*
3n
x n N x x ⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22a
a
a x dx --=（ ） A ．36π B ．
812
π
C ．
252
π
D ．25π
4．1x <是1
2x x
+
<-的（ ）条件 A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
5．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．9
C ．6
D ．12
6．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）
A ．300，0.25
B ．300，0.35
C ．60，0.25
D ．60，0.35
7．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A ．()0-∞，
B ．()23，
C ．()()023-∞⋃，
， D ．()3-∞， 8．3
4
8
1
(3)(2)x x x
+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864
C ．－4864
D ．1280
9．设函数
'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1
'()ln ()<-
f x x f x x
，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)
(0,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(1,0)(1,
)
D ．(,1)(0,1)-∞-
10．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3
B ．13
-
C ．12
-
D ．1-
11．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,031,0
a x x a x f x x ++>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（ ）
A ．2
B ．
23
C ．23
-
D ．89
-
12．已知曲线1
1(0x y a
a -=+>且1)a ≠过定点(),k
b ，若m n b +=且0,0m n >>，则
41
m n
+的最小值为（ ）. A ．
92 B ．9
C ．5
D ．
52
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量(2,1)m =-，(4,)n y =，若m n ⊥，则2m n +=________.
14．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．
15．已知平面向量a 、b 的夹角为
56
π，且1a b +=，则2
32a a b +⋅的最大值是_____． 16．已知函数()2sin f x x ωϕ=+（），对于任意x 都有(
+)()66f x f x π
π=-，则()6
f π
的值为______________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设不等式2120x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈.
（1）证明：
111
364
a b +<； （2）比较14ab -与2a b -的大小，并说明理由.
18．（12分）已知函数()()2
2ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）.
（1）讨论函数()f x 在[]1,e 上的单调性；
（2）若存在[]
1,x e ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.
19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，113AB BC AA AC ====，，点D E ，分别为AC 和11B C 的中点.
（Ⅰ）棱1AA 上是否存在点P 使得平面PBD ⊥平面ABE ？若存在，写出PA 的长并证明你的结论；若不存在，请说
明理由.
（Ⅱ）求二面角A BE D --的余弦值.
20．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ；
（Ⅱ）设n T 为数列1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项的和，求证：1n T <.
21．（12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形, ,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD
224,2,AB AD CD PC a E ====,是PB 的中点.
（1）.求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --的余弦值为
6
3
,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 22．（10分）已知函数()()1e x
f x x a =+-，a R ∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1a ≥时，证明：()ln 1f x a a a -+≤.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
根据三角函数定义得到4tan 3
α=，故24tan 27α=-，再利用和差公式得到答案.
【详解】
∵角α的终边过点(3,4)P --，∴4tan 3α=
，2
2tan 24
tan 21tan 7
ααα==--. ∴241
tan 2tan
1774tan 2244311tan 2tan 1147
π
απαπα-
++⎛⎫+=
==- ⎪⎝
⎭-⋅+⨯. 故选：B . 【点睛】
本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力. 2、C 【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，,,A D F 三点重合，记作D ，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，表示出三角形EGH 的三条边长，用余弦定理即可求得cos EGH ∠. 【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,,A D F 三点重合，记作D ：
则G 为BD 中点，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，设正四面体的棱长均为a ， 由中位线定理可得//GH BC 且11
22
GH BC a =
=， 所以EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，
2
2
132EG EH a a ⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
， 由余弦定理可得222
cos 2EG GH EH EGH EG GH
+-∠=
⋅
222
313
6
a a a
+-
==，
所以直线EG与直线BC
所成角的余弦值为
6
，
故选：C.
【点睛】
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题. 3、C
【解析】
()*
3x
n
n N
+∈展开式的通项为
(
)52
1
33,0,1,,
r
n r
n r
r n r r
r n n
T C x C x r n
-
--
+
===，因为展开式中含有常数项，所以
5
2
n r
-=，即
2
5
r n
=为整数，故n的最小值为1．
所以
5
25
2
a
π
--
⎰=⎰=.故选C
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1
r+项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1
r+项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
4、B
【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

【详解】
设:p1
x<对应的集合是(,1)
A=-∞，由12
x
x
+<-解得0
x<且1
x≠-
:q12
x
x
+<-对应的集合是()()
,11,0
B=-∞--，所以
B A，
故1
x<是
1
2
x
x
+<-的必要不充分条件，故选B。

【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。

设{}{}
B A
x x p x x q =∈=∈， ， 如果A B ⊆，则p 是q 的充分条件；如果A B 则p 是q 的充分不必要条件；
如果B A ⊆，则p 是q 的必要条件；如果B A ，则p 是q 的必要不充分条件。

5、C 【解析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】
作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．
由32z x y =+，得322z y x =-
+，平移直线322z y x =-+，当直线322
z
y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 6、B 【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，
的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】
由频率分布直方图得：
在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，
的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，
的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7、C 【解析】
直接求交集得到答案. 【详解】
集合{|3}
{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C . 【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题. 8、A 【解析】
根据二项式展开式的公式得到具体为：()2
317426
8811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
化简求值即可.
【详解】
根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出
1
x
项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()
2
317426
8811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
9、D 【解析】
构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x
=+，
由()()1
'f x lnx f x x
<-
可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，
当x ∈(0,1)时,g (x )>0,∵lnx <0,f (x )<0,(x 2-1)f (x )>0; 当x ∈(1,+∞)时,g (x )<0,∵lnx >0,∴f (x )<0,(x 2-1)f (x )<0 ∵f (x )是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )<0 ∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )>0.
综上所述,使得(x 2-1)f (x )>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃. 本题选择D 选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 10、B 【解析】
利用乘法运算化简复数()()2a i i --即可得到答案. 【详解】
由已知，()()221(2)a i i a a i --=--+，所以212a a -=--，解得13
a =-. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 11、C 【解析】
根据分段函数的解析式，知当0x ≤时，()1
3
1,x f x +=-且()3f x <，由于()3f a =，则()log 3a f a a a =+=，即
可求出a . 【详解】 由题意知：
当0x ≤时，()1
3
1,x f x +=-且()3f x <
由于()3f a =，则可知：0a >， 则()log 3a f a a a =+=， ∴2a =，则2a -=-， 则()()1
22313
f a f --=-=-=-
. 即()23
f a -=-. 故选：C. 【点睛】
本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量. 12、A 【解析】
根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41
m n
+的最小值. 【详解】 定点为(1,2),
1,2k b ∴==，
2m n ∴+=
41141()()2m n m n m n +=++∴
149(5+)22
m n n m =+ 当且仅当4m n
n m =时等号成立，
即42
,33m n =
=时取得最小值92
. 故选：A 【点睛】
本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、10
【解析】
根据垂直得到8y =，代入计算得到答案.
【详解】
m n ⊥，则(2,1)(4,)80m n y y ⋅=-⋅=-+=，解得8y =，
故()()()24,24,80,10m n +=-+=，故210m n +=.
故答案为：10.
【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.
14、100.
【解析】
分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数．
详解：由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,,20和[]35,40内，
根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=，
∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=.
点睛：频率分布直方图的纵坐标为
频率组距，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误．
15、3+【解析】
建立平面直角坐标系，设AOC θ∠=，可得1OC =，进而可得出2sin OB θ=，52sin 6OA πθ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，由此将232a a b +⋅转化为以θ为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.
【详解】
根据题意建立平面直角坐标系如图所示，设a OA =，b OB =，
以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC a b =+， 设AOC θ∠=，则56BOC ACO πθ∠=∠=-，6
OAC OBC π∠=∠=，且1OC =，
在OBC ∆中，由正弦定理1
sin sin 6OB πθ=，得2sin OB θ=，即2sin b θ=，
在OAC ∆中，由正弦定理1
5sin sin 66OA ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，得52sin 6OA πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即52sin 6a πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22a a =，5555cos 2sin 2sin cos 23sin 6666a b a b ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则2
2553232sin 43sin 66a a b ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦25512sin 43sin 66ππθθθ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51cos 23131243cos 222πθθθθ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭
21361cos 226sin 322θθθθ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭1cos 263cos 233263232322θθθθθ-=-+-⨯
=+， 当sin 21θ=时，232a a b +⋅取最大值323+故答案为：323+【点睛】
本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难题．
16、22-或
【解析】
由条件得到函数的对称性，从而得到结果
【详解】
∵f 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝f 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∴x ＝6
π是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴． ∴f 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝±2. 【点睛】
本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)证明见解析；(2)|14|2||ab a b ->-.
【解析】
试题分析：
(1)首先求得集合M ，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；
(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab |＞2|a -b |.
试题解析：
（Ⅰ）证明：记f (x ) =|x -1|-|x +2|，
则f (x )=3-21,3,x ⎧⎪-⎨⎪-⎩
， 2211.x x x ≤--<<≥，所以解得-12＜x ＜12，故M =(-12,12). 所以，|
36a b +|≤13|a |+16|b |＜13×12+16×12=14
. （Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a 2＜14，0≤b 2＜14. |1-4ab |2-4|a -b |2=(1-8ab +16a 2b 2)-4(a 2-2ab +b 2)=4(a 2-1)(b 2-1)>0.
所以，|1-4ab |＞2|a -b |.
18、（1）见解析（2）1a ≥-
【解析】
（1）分类讨论a 的值，利用导数证明单调性即可；
（2）利用导数分别得出2a ≤，22a e <<，2a e ≥时，()f x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围.
【详解】
（1）()()()222'22x a x a a f x x a x x
-++=-++=()()21x a x x --=，[]1,x e ∈.
当12
a ≤即2a ≤时，[]1,x e ∈，()'0f x ≥，此时，()f x 在[]1,e 上单调递增； 当12a e <<即22a e <<时，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减； ,2a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在,2a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增； 当2
a e ≥即2a e ≥时，[]1,x e ∈，()'0f x ≤，此时，()f x 在[]1,e 上单调递减； （2）当2a ≤时，因为()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()f x 的最小值为()11f a =--，所以12a -≤≤
当22a e <<时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 所以()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 因为22a e <<，所以0ln
12a <<，311242a e <+<+. 所以ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以22a e <<. 当2a e ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递减
所以()f x 的最小值为()()2
2f e e a e a =-++ 因为2221
e e a e e -≥>-，所以()0
f e <，所以2a e ≥，综上，1a ≥-. 【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题，属于中档题.
19、（Ⅰ）存在点P 满足题意，且34PA =
，证明详见解析；（Ⅱ）1119. 【解析】
（Ⅰ）可考虑采用补形法，取11A C 的中点为F ，连接EF AF DF ，，，可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证BD ⊥平面1ACC ，即BD AF ⊥，若能证明AF PD ⊥，则可得证，可通过Rt PAD Rt ADF △∽△我们反推出点P 对应位置应在34
PA =处，进而得证； （Ⅱ）采用建系法，以D 为坐标原点，以DB DC DF ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法向量，再结合向量夹角公式即可求解；
【详解】
（Ⅰ）存在点P 满足题意，且34PA =. 证明如下： 取11A C 的中点为F ，连接EF AF DF ，，.
则11EF A B AB ∥∥，所以AF ⊂平面ABE .
因为AB BC D =，是AC 的中点，所以BD AC ⊥.
在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面1ACC ，且交线为AC ，
所以BD ⊥平面1ACC ，所以BD AF ⊥.
在平面1ACC 内，32
AP AD AD DF ==，90PAD ADF ∠=∠=︒， 所以Rt PAD Rt ADF △∽△，从而可得AF PD ⊥.
又因为PD BD D ⋂=，所以AF ⊥平面PBD . 因为AF ⊂平面ABE ，所以平面PBD ⊥平面ABE .
（Ⅱ）如图所示，以D 为坐标原点，以DB DC DF ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系.
易知()0,0,0D ，1,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，134E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以134BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，132AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02DB ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =，则有
130,4130.2m BE x y z m AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩
取2y =，得(23,2,3m =--. 同理可求得平面BDE 的法向量为(0,4,3n =-.
则11cos ,19
1243163m n m n m n ⋅===++⋅+.
由图可知二面角A BE D --为锐角，所以其余弦值为
1119
. 【点睛】 本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题
20、（Ⅰ）21n a n =-，2n S n = （Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案. （Ⅱ）211111n S n n n n n ==-+++，根据裂项求和法计算得到111
n T n =-+得到证明. 【详解】
（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，由3718a a +=，636S =得59a =，1612a a +=，
即149a d +=，12512a d +=，解得11a =，2d =.
∴21n a n =-，2135(21)n S n n =+++
+-=. （Ⅱ）2n S n =，∴211111(1)1
n S n n n n n n n ===-++++， ∴11111111122311n T n n n =-
+-+⋅⋅⋅+-=-<++，即1n T <. 【点睛】
本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
21、（1）见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）根据PC ⊥平面ABCD 有PC AC ⊥，利用勾股定理可证明AC BC ⊥，故AC ⊥平面PBC ，
再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在C 点建立空间直角坐标系，利用二面角P AC E --的余弦值为3建立方程求得2PC =，在利用法向量求得PA 和平面EAC 所成角的正弦值.
试题解析：（Ⅰ） PC ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥
因为4,2AB AD CD ===,所以AC BC ==
所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．
（Ⅱ）如图，
以点C 为原点， ,,DA CD CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则
()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -.设()0,0,2(0)P a a >，则()1,1,E a -
()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量． 设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，
即0
{0x y x y az +=-+=，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =-- 依题意26cos ,3
2m n
a
m n m n a ⋅〈〉===⋅+，则2a =．于是()()2,2,2,2,2,4n PA =--=-． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n
PA n PA n θ⋅=〈〉=
=⋅ 即直线PA 与平面EAC 2． 22、（1）见解析；（2）见解析
【解析】 （1）求导得()1e x
f x a ='-，分类讨论0a ≤和0a >，利用导数研究含参数的函数单调性； （2）根据（1）中求得的()f x 的单调性，得出()f x 在ln x a =-处取得最大值为
()1ln ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭
，构造函数()ln 1ln g a a a a a a =---+，利用导数，推出()()11g a g ≤=，即可证明不等式.
【详解】
解：（1）由于()()1e x f x x a =+-，得()1e x
f x a ='-， 当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上递增；
当0a >时，由()0f x '=，解得ln x a =-，
若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>，
若()ln ,x a ∈-+∞，()0f x '<，
此时()f x 在(),ln a -∞-递增，在()ln ,a -+∞上递减.
（2）由（1）知()f x 在ln x a =-处取得最大值为：
()1ln ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭
， 设()ln 1ln g a a a a a a =---+，则()11ln g a a a
'=--， 令()11ln h a a a =--，则()2110h a a a
'=-≤， 则()h a 在[)1,+∞单调递减，∴()()10h a h ≤=，
即()0g a '≤，则()g a 在[)1,+∞单调递减
∴()()11g a g ≤=，
∴()ln ln 1f a a a a --+≤，
∴()ln 1f x a a a -+≤.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.。