山东省莒南一中-度高三数学月考试题(文科)

山东省莒南一中2007-2008学年度高三数学月考试题（文科）
一、选择题：本小题12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．如果0,0>>>>d c b a ，则下列不等式中不正确的是
（ ）
A ．c b b a ->-
B ．c b d a >
C ．c b d a +>+
D ．bd ac >
2．下列函数最小值为4的是
（ ）
A ．x
x y 4+
=
B ．)0(sin 4
sin a x x
x y <<+
=
C ．x x y -⋅+=343
D ．10log 4lg x x y +=
3．若
ααπ
ααsin cos ,2
2
)
4
sin(2cos +-=-
则的值为 （ ）
A ．2
7-
B ．2
1-
C ．
2
1 D ．
2
7 4．幂函数1,1,1
====-x y x y x y 及直线将平面直角 的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，
⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数2
1
x y =的图 象经过的“卦限”是 （ ） A ．④，⑦ B ．④，⑧
C ．③，⑧
D ．①，⑤
5．已知函数ππ
的最小值正周期为)0)(3
sin()(>+=w wx x f ，则该函数的图象（ ）
A ．关于点)0,3
(π
对称
B ．关于直线4
π
=x 对称
C ．关于点)0,4
(
π
对称
D ．关于直线3
π
=
x 对称
6．若数列}{),,(1
}{*22n n
n n a n p p a a a 则称为正常数满足N ∈=-为“等方比数列”。

甲：数列}
{n a
是等比方比数列，乙：数列}{n a 是等比数列，则 （ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．函数x x g x x x x x x f 22log )(1
,341
,44)(=⎩⎨⎧>+-≤-=的图象和函数的图象的交点个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8．给出下列四个等式：)()()(),()()(),()()(y f x f y x f y f x f xy f y f x f y x f =++=+=+， )
()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+下列函数中不满足其中任何一个等式的是
（ ）
A ．x x f 3)(=
B ．x x f sin )(=
C ．x x f 2log )(=
D ．x x f tan )(=
9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四
面体ABCD 的外接球的体积为
（ ）
A ．
π12
125
B ．
π9125
C ．
π6
125
D ．
π3
125
10．x x f a x
x f 的则使是奇函数0)(,)12
lg()(>+-=的取值范围是 （ ）
A ．（－1，0）
B ．（0，1）
C ．)0,(-∞
D ．),1()0,(+∞-∞
11．已知点Q （0，2），如果点P 在平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤+-≥+-020120
22y x y x y x 上，那么|PQ|的最小值为（ ）
A ．2
B ．22
C ．
5
4
D ．5
12．如图，四棱锥的各棱长均相等，点E 在棱AB 上，点F 在棱CD 上，使
)0(>==λλFD
CF
EB AE ，设λλλβλa a f ,)(+=表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成的角，则（ ）
A ．),0()(+∞在λf 上单调递增
B ．),0()(+∞在λf 上单调递减
C ．),0()(+∞在λf 上单调递增，而在),1(+∞上单调递减
D ．),0()(+∞在λf 上为常数
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13．函数)(x f 是定义在（－2，2）上的奇函数，当)3
1(log ,12)(,)2,0(2f x f x x
则时-=∈的
值为 。

14．求斜率为
4
3
，且与坐标轴围成的三角形的周长12的直线的方程 。

15．函数])0,[cos(3sin )(π-∈-=x x x f 的单调递增区间是 。

16．在△ABC 内任取一点P ，则△ABP 与△ABC 的面积之比大于
3
2
的概率为 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知集合a B A x x x B a x x A 求实数若,},045|{},|2||{2
Φ=≥+-=≤-= 的
取值范围。

18．（本小题满分12分）
设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=2bsinA. （I ）求B 的大小；
（II ）求C A sin cos +的取值范围。

19．（本小题满分12分）
数列)(2,1,}{*11N ∈==+n S a a S n a n n n n 项和为的前 （I ）求数列n n a a 的通项}{； （II ）求数列.}{n n T n na 项和的前
20．（本小题满分12分）
已知实数.014,22=+-+x y x y x 满足方程 （1）求x y -的最大值和最小值； （2）求22y x +的最大值和最小值。

21．（本小题满分12分）
已知三棱锥A —BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD,∠ADB=60°，
E 、
F 分别是AC ，AD 上的动点，且
)10(<<==λλAD
AF
AC AE . （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （2）当λ为何值，平面BEF ⊥平面ACD 。

22．（本题满分14分）
已知与曲线0122:22=+--+y x y x C 相切的直线l 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 为原点，且|OA|=a ，|OB|=b ，(a>2，b>2)
（1）求证：曲线C 与直线l 相切的条件是（a －2）(b －2)=2； （2）求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求△AOB 面积的最小值。

参考答案
一、选择题
C C C
D A B B B C B D D 二、填空题
13．－2 14．01242=±-y x 15． 16．9
1
三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知集合B A x x x B a x x A 若},045|{},|2||{2
≥+-=≤-= …………11分 范围。

解：当φφ==<B A A a 显然时,,0
…………12分
},
22|{}|2||{,0a x a x a x x A A a +≤≤-=≤-=≠≥φ
时当
}41|{}045|{2≥≤=≥+-=x x x x x x B 或
由φ=B A ，得 .104
21
2<≤⎩⎨
⎧<+>-a a a 解得
18．解：（I ）由2
1sin ,sin sin 2sin ,sin 2===B A B A A b a 所以根据正弦定理得， 由△ABC 为锐角三角形得.6
π
=
B …………4分
（II ）)6
sin(
cos )6
sin(cos sin cos A A A A C A ++=--
+=+π
π
π
).3
sin(3sin 23cos 21cos π+=++
=A A A A …………8分
由△ABC 为锐角三角形知，.3
6
2
2
,2
,2
π
π
π
π
π
π
=
-
=
->
>
+<
B A B A A
.2
3)3s i n (21,65332<+<∴<+<∴
ππππA A 由此有
32
3
)3sin(323⨯<+<πA ， 所以，).2
3
,23(sin cos 的取值范围为
C A + …………12分
19．解：（I ）解法一：n n S a 21=+ ，
.
1.3,
2111
1===∴
=-∴++a S S S S S S n
n n n n 又
).(3,3,1}{*1N ∈=∴+n S S n n n 的等比数列公式为是首项为数列 …………4分 当)2(322,221≥⋅==≥-+n S a n n n n 时， ⎩⎨
⎧≥⋅==∴-2
,3
21
,12
n n a n n …………6分
解法二：n n S a 21=+ ① )2(21≥=-n S a n n ②
∴当2≥n 时，①－②得
2
22321121
1====∴
=-++a S a a a a a a n
n n
n n 又
)2(322≥⋅=∴-n a n n
…………4分
故⎩⎨⎧≥⋅==-2
,321,
12
n n a n n …………6分
（II ）n n na a a a T ++++= 12132， 当1,11==T n 时；
…………7分
当2
1
9
3236341,2+⋅++⋅+⋅+=≥n n n T n 时，…………①
1
2
1
3
2363433+⋅++⋅+⋅+=n n n T ， …………②
①－②得：122132)333(2422+-⋅-+++++-=-n n n n T
1
1
23)21(1323
1)
31(322++-⋅-+-=⋅---⋅+=n n n n n ).2(3)2
1
(211≥-+=
∴-n n T n n …………11分
又111==a T 也满足上式， ).(3)2
1
(21*1N n n T n n ∈-+=
- …………12分
20．（1）y b x y x y 在可看作是直线+=-轴上的截距，当直线b x y +=与圆相切时纵截距
b 取得最大和最小值，此时
,62,32
|
02|±-==+-b b 解得
所以.62,62--+--最小值是的最大值是x y
（2）22y x +表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的
连地与圆的两个交点处取得最大和最小值，又圆心到原点的距离为
.
247)32(,247)32(,2)00()02(2
2
2
22222-=-++=++=-+-的最小值是的最大值是所以y x y x
21．证明：（1）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ，
又)10(<<==λλAD
AF
AC AE
， ∴不论λ为何值，恒有EF//CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF ， ∴不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
（2）由（1）知：BE ⊥EF ，又要平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥AC ，∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
.
,7
6
,76
,7
6,
7,660tan 2,2ACD BEF AC AE AE AC AE AB AC AB BD 平面平面时故当得由⊥===∴=⋅==∴===∴λλ
（1）因为1
221)(,1021,0)0(,)(++-=∴=⇒=+-=x x
a x f
b a b f x f 即所以是奇函数 又由.21
21
1421)1()1(=⇒+-
-=+---=a a a f f 知 （2）解法一：由（1）知),()(,121
212
221)(1+∞-∞++-=+-=+在易知x f x f x
x x 上为减函数，又因0)2()2(:,)(22<-+-k t f t t f x f 从而不等式是奇函数
等价于)(),2()2()2(222x f t k f k t f t t f 因-=--<-为减函数，由上式推得：
3
1
0124,
023:,22222-
<⇒<+=∆>--∈->-k k k t t t t k t t 从而判断式有即对一切R 解法二：由（1）知1
2221)(++-=x x
x f ，
又由题设条件得：022*******
122
<+-=+-+--+--k n k
n n x x x
， 即：0)2
1)(22
()2
1)(22(22
1
221
<-++-+-+--+-k
b n x
k a
，
整理得023:,12,02
21
2>-->>--k t t n a 故因底数
上式对一切.3
10124,-<⇒<+=∆∈k k t 从而判别式均成立R。