22.3实际问题与一元二次方程(1)

22.3实际问题与一元二次方程（1）
教学内容
由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际 问题. 教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题.
通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关 系”建立数学模型，并利用它解决实际问题.
重难点关键
1 •重点：用“倍数关系”建立数学模型
2 .难点与关键：用 教学过程 一、复习引入
（学生活动）问题 下表是某一周甲、 格）:
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手 续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加 200元，？星期三比星期二增加 1300
元，这人持有的甲、乙股票各多少股？
老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各 X 、y 张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是 乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加 期三比星期二增加1300元，便可列出等式.
解：设这人持有的甲、乙股票各 则
p 5x + (72)y=200
l0.4x+0.6y =1300
答：（略） 二、探索新知
上面这道题大家都做得很好， 型，那么还有没有利用其它形式，也就
是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模 型解应用题呢？请同学们完成下面问题.
（学生活动）问题2:某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1万台，第一季度生产
电视机的总台数是 3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
老师点评分析：直接假设二月份、
三月份生产电视机平均增长率为
x . ?因为一月份是
1万台，那么二月份应是(1+X )台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长 的同样“倍数”增
“倍数关系”建立数学模型
1:列方程解应用题 乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价
x 或y 200元，星
x 、y 张.
解得阡
1000
（股）
这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模
长，即(1+X)+( 1+X)X=( 1+X)2,那么就很容易从第一季度总台数列出等式.
解:设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为X,则1+( 1+X) + (1+X)2?=3.31 去括号：1+1+X+1+2X+X 2=3.31
整理，得：X2+3X-0.31=0
解得：x=10%
答：(略)
以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程(组) 、分式方程等为背景
建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问
题和解决问题的类型.
例1 .某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、？二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率.
分析：设这个增长率为X,由一月份的营业额就可列出用X表示的二、三月份的营业
额，又由三月份的总营业额列出等量关系.
解：设平均增长率为X
则200+200 (1+X) +200 (1+X) 2=950
整理，得：X2+3X-1.75=0
解得：x=50%
答：所求的增长率为50%
三、巩固练习
(1 )某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长P%那么两年后该林
场有木材多少立方米？
(2)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第
一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为X，可列出方
程为____________ .
四、应用拓展
例2.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩
下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.
分析：设这种存款方式的年利率为X，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利
息是1000+2000X • 80% 第二次存，本金就变为1000+2000X • 80% 其它依此类推.
解：设这种存款方式的年利率为X
贝y：1000+2000X • 80%+(1000+2000X • 8%) x • 80%=1320 整理，得：
1280X2+800X+1600X=320，即8x2+15x-2=0
1
解得：X1=-2 (不符，舍去)，X2=—=0.125=12.5%
8
答：所求的年利率是12. 5%
五、归纳小结
B . P
C . 100
P
100 + P 1000 -P
二、填空题
1•某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 X ，第一年的产量为6万
为 _______ kg ，第三年的产量为 __________ ，三年总产量为 __________ .
2. 某糖厂2002年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为
年的产量将是 ___________ .
3.
?我国政府为了解决老百姓看病难的问题， ？决定
下调药品价格，？某种药品在1999年
涨价30%?后, ?2001?年降价 70%?至 a?元，？则这种药品在 1999?年涨价前价格是
三、综合提高题
1•为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，
2000年我省某地退耕还林
1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长 率2•洛阳东
方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型 16台，？从二
月份起，甲型每月增产
10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙
两型的产量之比是 3: 2,三月份甲、乙两型产量之和为 65台，？求乙型拖拉机每月的增
长率及甲型拖拉机一月份的产量.
本节课应掌握：
利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它. 六、布置作业
1 •教材P 53复习巩固1综合运用1 . 2
•选用作业设计.
作业设计 一、选择题
1. 2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100家，后来二、？三月份新发生禽流感的养鸡
场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为 X ,依题意列出的方程是(
).
A . 100 ( 1+X )2=250
B
C . 100 ( 1-x ) 2=250 D
2 .一台电视机成本价为 a 元，
的70%出售，那么每台售价为
A . (1+25% (1+70%
C . (1+25% (1-70%)
3.某商场的标价比成本高
.100 (1+X ) +100 (1+X ) 2=250 .100 (1+X ) 2
销售价比成本价增加 : ).
25%因库存积压, ?所以就按销售价
a 元 B . 70% (1+25% a
元 D . (1+25%+70%
P%当该商品降价出售时，
d%则d 可用P 表示为
a 元 a 元
为了不亏损成本, ().
?售价的折扣(即
100 P 100 + P
kg , ?第二年的产量 x ，?那么预计2004
3.某商场于第一年初投入 50万元进行商品经营，？以后每年年终将当年获得的利润与当 年年初投入的资
金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营.
（1）
如果第二年的年获利率多 10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利
66万元，求第一年的年获利率.
2
X ,则 1600 (1+X ) =1936, x=10%
甲型一月份产量为 y :
来表示） 年利润
（注：年获利率=年初投入资金
X
100%)
如果第一年的年获利率为 P ,那么第一年年终的总资金是多少万元 ？（？用代数式
率与 （2）
10%勺和），第二年年终的总资金为
答案： 一、1 . 二、1 .
2 . B (1+X ) (1+X )
3 . 6 2t D 2 2
(1+X ) 6+6 (1+X ) +6 (1+X )
a 100a
39
三、1•平均增长率为
2•设乙型增长率为 X ,
「y =24x+14 2
j l6x 2
+ y + 32x-29 = 0 0+20)+16(1 + X )2
=65 I
2 1 即 16X 2
+56X -15=0，解得 x=—=25% y=20 (台)
4
3. (1)第一年年终总资金 =5O ( 1+P )
(2) 50 (1+P ) ( 1+P+10% =66,整理得：P 2
+2.1 P-O.22=O ，解得 P=10%
q=3
则｛16(1+x) 2。