2024年常州二中高一数学下学期3月份考试卷附答案解析

2024年常州二中高一数学下学期3月份考试卷
2024.03
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知()()sin15,sin 75,cos30,sin 30a b =︒︒=︒︒r r ，则a b ⋅
＝（
）A ．
22
B ．2
2C ．12
D ．1-2
2．若(3,4)AB =
，A 点的坐标为()2,1--，则B 点的坐标为（）
A ．()1,3
B ．()5,5
C ．()1,5
D ．()
5,43．在△ABC 中，
()
2BC BA AC AC +⋅= ，则△ABC 的形状一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
4．已知向量()4,a x = ，(),1b x = .那么“2x =”是“//a b
”的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件5．已知向量(3a = ，(3b =- ，则a 在b
上的投影向量为（
）
A ．1344⎛- ⎝⎭
B ．13,4⎛ ⎝⎭
C ．13,22⎛ ⎝⎭
D ．1322⎛- ⎝⎭
6．已0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且14
sin cos ,θθ-=则22cos 1
cos 4θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
等于（）
A ．
2
3
B ．
43
C ．
34
D ．
32
7．若将函数()()()2
cos 1cos 1cos f x x x x =+-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递减区间为（
）
A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦
B ．()
,2k k k Z πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦C ．()
1
1,844k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()
1
1,4
84k k k Z
πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦8．已知ABC 中，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，直线AE ，CD 交于点P ，且满足1162
BP BA BC =+
，
则BPD BPE
S S △△的值为（）
A ．
43
B ．
52
C ．
53
D ．
109
二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．下列说法中正确的是（）
A ．在ABC 中，A
B c = ，B
C a = ，CA b = ，若0a b ⋅>
，则ABC 为锐角三角形
B ．非零向量a 和b
满足1a = ，2=+= b a b ，则6
a b -= C ．已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+
的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪
⎝⎭
D ．在ABC 中，若2350OA OB OC ++= ，则AOC 与AOB 的面积之比为
3
5
10．已知函数()sin 3f x x x =,则下列命题正确的是（
）
A ．函数π()(0,)2f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
的单调递增区间是π0,6⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；
B ．函数()f x 的图象关于点π
(,0)6
-对称；
C ．函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是
π6
；D ．若实数m 使得方程()f x m =在[]02π，
上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1237π3
x x x ++=．11．直角ABC 中，斜边2AB =，P 为ABC 所在平面内一点，22
1sin cos 2
AP AB AC θθ=⋅+⋅ （其中R θ∈），
则（
）
A ．A
B A
C ⋅uu u r uuu r
的取值范围是(0,4)
B ．点P 经过AB
C 的外心C ．点P 所在轨迹的长度为2
D ．()PC PA PB ⋅+ 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若04
π
α<<
，04π
β-
<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 433
πβ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，则cos 3βα⎛⎫+=
⎪⎝⎭.
13．设a b c
，，是单位向量，且0⋅ ＝a b ，则()()
a c
b
c -⋅- 的最小值为
．
14．笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正
半轴的夹角为60︒，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12a xe ye =+
，则称有序实
数对(
),x y 为a
在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n 在该斜角坐标系下的坐标分别为()3,2，()2,k ，当k =
时，11m n ⋅=
.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知()()
1,0,2,1a b ==
（1）当k 为何值时，ka b - 与2a b +
垂直
（2）若23,AB a b BC a mb =+=+
，且A B C ､､三点共线，求m 的值．16．已知向量a 和b ，则2= a ,2b = ,,60a b 〈〉=︒
求：
(1)a b ⋅
的值；
(2)2a b + 的值；
(3)2a b + 与b
的夹角θ的余弦值．
17．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若AB a = ，AD b =
．
（1）试以a ，b 为基底表示BE ，DF ；
（2）求证：A ，G ，C 三点共线．
18．已知函数()()2
sin2cos 2cos sin cos 2f x x x πϕπϕϕ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭
．
（Ⅰ）化简()y f x =的表达式并求函数的周期；（Ⅱ）当2
2
π
π
ϕ-
<<
时，若函数()y f x =在6
x π
=
时取得最大值，求ϕ的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，将函数()f x 图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
()g x 的图象，求函数()g x 的单调递增区间.
19．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =
为函数()f x 的相伴特征向
量，同时称函数()f x 为向量OM
的相伴函数.
（1）设函数53()sin sin 62g x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，试求()g x 的相伴特征向量OM ；（2）记向量3)ON = 的相伴函数为()f x ，求当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，sin x 的值；
（3）已知(2,3)A -，(2,6)B ，(3,1)OT =- 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，请
问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥
.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.
1．A
【分析】由数量积的坐标公式结合正弦函数的和角公式可得答案.【详解】由题意sin15cos30sin 75sin 30a b ⋅=︒︒+︒︒
r r
2sin15cos30cos15sin 30sin 452
=︒︒+︒︒=︒=
故选：A 2．A
【分析】根据向量坐标的求解公式可求.
【详解】设(,)B x y ，因为A 点的坐标为()2,1--，所以(2,1)(3,4)AB x y =++=
.
所以1,3x y ==，即()1,3B .故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量坐标的运算，侧重考查数学运算的核心素养.3．A
【分析】注意到22
=AC AC ，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到0BA AC ⋅=
，进而得到结论.
【详解】()
2
BC BA AC AC
+⋅- ()
BC BA AC AC
=+-⋅ ()
BC BA CA AC
=++⋅ 2BA AC =⋅ 0
=∴BA ⊥AC ,
∴△ABC 为直角三角形，故选：A 4．A
【分析】先由向量平行求出2x =±,再讨论充要性．
【详解】向量()4,a x = ，(),1b x = ，//a b ，则24x =解之得2x =±,
则“2x =”是“2x =±”的充分而不必要条件.
即向量()4,a x = ,(),1b x = .那么“2x =”是“//a b
”的充分而不必要条件.
故选：A ．5．A
【分析】利用向量的数量积坐标表示及向量的模公式，再利用投影向量的定义即可求解.【详解】因为(3a =
，(3b =- ，
所以()21331a b ⋅=⨯-=
，()()
2
2
13
2b =-+
= ，
所以a 在b 上的投影向量是(21
13344||a b b a b b b b
b ⎛⋅⋅⋅=⋅=-=- ⎝⎭
.故选：A ．6．D
【分析】14
sin cos 4
θθ-=平方求出sin 2θ，进而求出cos 2θ，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分母用两角和余弦公式展开，即可求解.【详解】14
sin cos θθ-=711sin 2,sin 288θθ-=∴=，
237
(0,),2(0,),cos 21sin 2428ππθθθθ∈∴∈∴=-=
22cos 1
2cos()(cos sin )42
θπθθθ-=+-37
382
21424==⋅.故选:D.
【点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是解题的关键，属于中档题.7．A
【分析】利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再根据()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数()y g x =的单调递减区间.
【详解】解：将函数()()()222
2
1cos 1cos 1cos cos sin sin 24
f x x x x x x x =+-=⋅=
11cos 411cos 44288
x x -=
⋅=-的图象上所有的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()11cos 288y g x x -==
的图象，令222k x k πππ-≤≤，求得2
k x k π
ππ-≤≤，可得()g x 的单调递减区间为(),2k k k Z πππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦
.
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的单调性，属于基础题.8．C
【分析】令EP EA μ= ，BE BC λ= ，令DP tDC = ，BD k BA =
，利用平面向量基本定理确定点,,P E D 的
位置即可求解作答.
【详解】如图，令EP EA μ= ，BE BC λ=
，
于是()(1)(1)BP BE EP BE EA BE BA BE BE BA BC BA μμμμλμμ=+=+=+-=-+=-+ ，
而1162BP BA BC =+ ，并且,BA BC 不共线，因此11,(1)62μλμ=-=，解得35λ=，
令DP tDC = ，BD k BA = ，
则()(1)(1)BP BD DP BD tDC BD t BC BD t BD tBC k t BA tBC =+=+=+-=-+=-+ ，
从而11,(1)26t k t =
-=，解得11
,32
k t ==，因此点P 是线段CD 的中点，所以33
55
BPE BPC BPD S S S == ，所以
53BPD BPE S S = .故选：C
【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．9．BD
【分析】利用向量的数量积的定义得到角C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系
求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD
共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而
3
5
CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到3
5
AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅>
即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅< ,∴C 为钝角，故A 错误；
2222
222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-= ，6a b -=
B 正确；
(1,2)a b λλλ+=++r r
，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=
，∴3522
AO OB OC =+ ，
延长AO 交BC 于D ,如图所示
.
∵,AO OD
共线，∴存在实数k ，3522
k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴
35122k k +=,∴1
4
k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴
35CD DB =.∴
35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴3
5
AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.10．ACD
【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.
【详解】由()sin 3f x x x =，得()π2sin 3f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
对于A ，当π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎣⎦时，ππ56π,33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，
当
πππ
332x ≤+≤即π06
x ≤≤时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为π0,6⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，故A 正确；
对于B ，当π
6
x =-
时，ππππsin sin f ⎛⎫⎛⎫
-=-+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22106636，故B 不正确；
对于C ，函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到
()πsin g x x m ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭23所得的图象关于y 轴对称，
所以πππ(Z)m k k +=+∈32,解得π
π(Z)m k k =+∈6
，
当0k =时，m 的最小值是π
6
，故C 正确；对于D ，如图所示，
实数m 使得方程()f x m =在[]02π，
上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则必有0x =，或2πx =，此时()πsin f x x ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭233π3.
所以1237π
3
x x x ++=，故D 正确.
故选：ACD.11．ABD
【分析】由向量数量积的几何意义有2
AB AC AC ⋅=uu u r uuu r uuu r ，结合已知即可判断A ；若O 为AB 中点，根据已知
有,,O P C 共线，即可判断B 、C ；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得
()2||||PC PA PB PC PO ⋅+=-
，结合基本不等式求范围判断D.
【详解】由2
AB AC AC ⋅=uu u r uuu r uuu r ，又斜边2AB =，则||(0,2)AC ∈uuu r ，则(0,4)AB AC ⋅∈uu u r uuu r ，A 正确；
若O 为AB 中点，则12
AO AB =u u u r u u u r ，故22sin cos AP AO AC θθ=⋅+⋅ ，又22sin cos 1θθ+=，
所以,,O P C 共线，故P 在线段OC 上，轨迹长为1，又O 是ABC 的外心，B 正确，C 错误；
由上2PA PB PO +=
，则()22||||PC PA PB PC PO PC PO ⋅+=⋅=- ，
又||||||1PC PO OC +== ，则2||||1
||||(
)24
PC PO PC PO +≤=
，当且仅当1||||2PC PO == 等号成立，所以1
()2||||[,0]2
PC PA PB PC PO ⋅+=-∈-
，D 正确.故选：ABD
【点睛】关键点点睛：若O 为AB 中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何
意义和运算律判断P 轨迹，求AB AC ⋅uu u r uuu r 、()PC PA PB ⋅+
.
12．
539
【解析】由于(
)(
3
4
4
3β
π
π
β
αα+
=+--
，利用两角和差公式可求出cos 3βα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
【详解】解：因为04
π
α<<，
所以
4
4
2
π
π
π
α<+
<
，
所以2122sin 1()43πα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭，
同理可得：6sin 433
πβ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，
故cos cos[()()]
3443βππβαα⎛
⎫+=+-- ⎪⎝
⎭cos()cos()sin()sin(443443
ππβππβαα=+-++-1322653
··33339
=故答案为：
53
9
.【点睛】本题考查了两角和差公式的知识，解决问题的关键是整体思想的意识，还要关注角的范围的确定.13．1 2.
【分析】设a b +
与c 的夹角为θ，根据已知，利用向量的数量积的运算将()()
a c
b
c -⋅- 化为关于θ的三
角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值.
【详解】·0 ＝a b ，且a b c
，，均为单位向量，∴(
)
2
2222211202+=
+++⋅++⨯= a b a b
a b a b |c |=1，21=
c ,
∴
()()()()
21-⋅-=⋅-++⋅-⋅=+ a c b c a b a b c c a b c .设a b +
与c 的夹角为θ，
则()()
1cos 12cos θθ-⋅-=-+=-
a c
b
c a b c .
故()()
a c
b
c -⋅- 的最小值为1 2.
故答案为：1 2.14．
67
【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．【详解】由已知1232m e e =+ ，122n e ke =+ ，121
11cos 602
e e ⋅=⨯⨯︒= ，
22121211221
(32)(2)6(34)26(34)2112
m n e e e ke e k e e ke k k ⋅=+⋅+=++⋅+=+++= ，
解得：67
k =
．故答案为：67
．15．（1）
125
；（2）32．
【分析】（1）ka b - 与2a b + 垂直，即ka b - 与2a b +
的数量积为0，利用坐标计算可得k 值；
（2）因为,,A B C 三点共线，所以AB BC ∥
，利用平面向量共线的坐标公式计算可得m 的值．
【详解】解：（1）()()()1,02,12,1ka b k k -=-=--
，
()()()
21,022,15,2a b +=+=
因为2ka b a b -+
与垂直，所以()()52120k -+-⨯=，即51020k --=，得125
k =
.（2）
()()()2321,032,18,3AB a b =+=+= ()()()
1,02,121,BC a mb m m m =+=+=+
因为,,A B C 三点共线，所以AB BC ∥
．
所以()83210m m -+=，即230m -=，所以3
2
m =.16．(1)2；(2)27
277
．【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【详解】（1）∵2a =r ,2b = ,,60a b 〈〉=︒ .
∴a b ⋅ 1222
=⨯⨯2=；（2）∵()
222244168428a b a a b b +=+⋅+=++= ,∴2a b + 7=；
（3）∵()
222448a b b a b b +⋅=⋅+=+= ,∴cos cos 2,a b b θ=+ ()
28272722a b b a b b +⋅=⨯+ 17．（1）12BE b a =- ，12
DF a b =- ；（2）证明见解析.【解析】（1）根据向量的加法，减法以及数乘运算，即可求出；
（2）以a ，b 为基底，利用向量共线定理，两种方式表示出向量AG ，由平面向量基本定理，解方程可求出1()3
AG a b =+ ，而AC a b =+ ，根据共线定理即可证出．【详解】（1）12BE AE AB b a uu u r uu u r uu u r r r =-=-，12DF AF AD a b =-=- ．（2）因为D ，G ，F 三点共线，则DG DF λ= ，，
即1(1)2
AG AD DF a b λλλ=+=+- ．因为B ，G ，E 三点共线，则BG BE μ= ，
即1(1)2
AG AB BE a b μμμ=+=-+ ，由平面向量基本定理知112112λμλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得23λμ==，所以11()33
AG a b AC =+= ，所以A ，G ，C 三点共线．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，平面向量基本定理和向量共线定理的应用，意在考查学生的数
学运算和逻辑推理能力，属于基础题．
18．(Ⅰ)()()sin 2;f x x ϕπ=-;（Ⅱ）6π-;（Ⅲ）()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦.【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为sin(2)x ϕ-，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（Ⅱ）当22ππϕ-
<<时，由sin 216πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭
可得ϕ的值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用伸缩变换法则得到函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数()g x 的单调递增区间.
【详解】(Ⅰ)()()sin 2cos 1cos 2sin sin f x x x ϕϕϕ
=-++()sin 2cos cos 2sin sin 2x x x ϕϕϕ=-=-,
∴()f x 的周期为2ππ2T =
=;（Ⅱ）函数()f x 在π
6x =
时取得最大值,∴πsin 216ϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,∴πsin 13ϕ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，∴π2,2,326k k k ππϕπϕπ-
=-∴=-∈Z ，又∵ππφ,226
πϕ-<<∴=-；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭,则将函数()f x 图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，由πππ2π2,262k x k k π-≤+≤+∈Z ,解得2ππ2π2,33
k x k k π-≤≤+∈Z ，所以()g x 的单调递增区间为2ππ2π,2,33k k k π⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
Z .19．（1）332⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
；（2433-；（3）存在，点(0,2)P .【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得33()cos 2
g x x x =+，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数()sin 3f x x x =，再根据条件可得3cos 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由13sin sin sin cos 332323x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则
求出()h x 的解析式，设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，根据条件列出方程式求出满足条件的点P 坐标即可.【详解】解：（1）5355()sin sin sin cos cos sin cos 6266g x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33()cos 2g x x x ∴=+()g x ∴的相伴特征向量3322OM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
.（2）向量3)ON = 的相伴函数为()sin 3f x x x =，
8()sin 3cos 2sin 35f x x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ ，4sin 35x π⎛⎫∴+= ⎪⎝
⎭.,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，0,32x ππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，3cos 35x π⎛⎫∴+= ⎪⎝
⎭.13433sin sin sin 33233x x x x ππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（3）由(3,1)OT =- 为31()sin sin cos 62h x m x m x m x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭的相伴特征向量知：2m =-.所以()2sin 2sin 2cos 23236222x x x x x h ππππϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,3),(2,6)A B - ，12,2cos 32AP x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭ ，12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，又AP BP ⊥ ，0AP BP ∴⋅= 11(2)(2)2cos 32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫∴+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.22
1144cos 18cos 18022x x x -+-+=，2219252cos (*)224x x ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭122cos 22x -≤≤ ，131952cos 2222x ∴-≤-≤-，2
25191692cos 4224x ⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭.又2252544x -≤ ，∴当且仅当 0x =时，2
192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭和2254x -同时等于254，这时(*)式成立.∴在()y h x =图像上存在点(0,2)P ，使得AP BP ⊥ .
【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.。