2.3.2 两点间的距离公式
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第12页
思考题 1 (1)已知 A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,
则实数 a 的值为( )
√A.-2
C.1
B.-1 D.2
【解析】 由两点间的距离公式及|AB|=|AC|可得, (a+2)2+(2+3)2= (a-1)2+(2-6)2,解得 a=-2.
第13页
___(__x_2-__x_1_)__2+__(__y_2_-__y_1)__2____. (2)两点间距离的特殊情况 ①原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|=__x_2_+__y_2_. ②当 P1P2⊥y 轴(y1=y2)时,|P1P2|=_|x_2_-__x_1|__. ③当 P1P2⊥x 轴(x1=x2)时,|P1P2|=__|y_2_-__y_1|_.
第9页
∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, ∴△ABC 是等腰直角三角形. 方法二:∵kAC=1-7(--13)=32,kAB=3--(3- -13)=-23, 则 kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB. 又|AC|= (1+3)2+(7-1)2=2 13, |AB|= (3+3)2+(-3-1)2=2 13, ∴|AC|=|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形.
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1 课前自学 2 课时学案 3 课后巩固 4 自助餐
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2.3.2 两点间的距离公式
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[素养目标] 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式.(数学抽象)2.会用坐标 法证明简单的平面几何问题.(逻辑推理)
第3页
课前自学
第4页
知识点 两点间的距离 (1) 平 面 上 的 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| =
(2)若等腰三角形 ABC 的顶点 A 是(3,0),底边 BC 的长为 4,BC 边的中点 为 D(5,4),求等腰△ABC 的腰长.
【解析】 连接 AD,则 AD⊥BC,|AD|= (5-3)2+(4-0)2=2 5. 在 Rt△ABD 中,由勾股定理得|AB|= |AD|2+|BD|2= 20+4=2 6. 所以等腰△ABC 的腰长为 2 6.
第10页
(2)求△ABC 的面积. 【解析】 (2)△ABC 的面积 S=12|AC|·|AB|=21×2 13×2 13=26.
第11页
探究1
计算两点间距离的方法 (1) 对 于 任 意 两 点 P1(x1 , y1) 和 P2(x2 , y2) , |P1P2| = (x2-x1)2+(y2-y1)2. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特 殊情况|y2-y1|或|x2-x1|求解.
第15页
所以由两点间距离公式,可得 d2+a2+(d-b)(c-d)=b2+a2,d-b≠0,所以 c+b=0,即-b=c, 所以|OB|=|OC|,所以|AB|=|AC|, 即△ABC 为等腰三角形.
第16页
探究2
坐标法解决几何问题的关键 坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标 系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主 要有两点: (1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算. (2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果 图形为中心对称图形,可考虑将对称中心作为原点;如果有轴对称性,可 考虑将对称轴作为坐标轴.
第14页
题型二 坐标法证题
例 2 在△ABC 中,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B,C 不重合),且|AD|2 +|BD|·|DC|=|AB|2,求证:△ABC 为等腰三角形.
【思路分析】 在图形中建立坐标系,设点,说明|AB|=|AC|. 【证明】 如图,作 AO⊥BC,垂足为 O,以 BC 所在直线为 x 轴, 以 OA 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系 xOy. 设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).易知 b<d<c. 因为|AD|2+|BD|·|DC|=|AB|2,
第17页
思考题 2 已知:等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,对角线为 AC 和 BD.求 证:|AC|=|BD|.
【证明】 建立如图所示的平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a, 0),C(b,c),则点 D 的坐标是(a-b,c). 所 以 |AC| = (b-0)2+(c-0)2 = b2+c2 , |BD| =
(a-b-a)2+(c-0)2= b2+c2.故|AC|=|BD|.
第18页
题型三 光的反射问题
例 3 一束光线从原点 O(0,0)出发,经过直线 l:8x+6y=25 反射后通过 点 P(-4,3),求反射光线的方程及光线从 O 点到达 P 点所走过的路程.
第7页
课时学案
第8页
题型一 两点间的距离
例 1 已知△ABC 的三个顶点坐标是 A(-3,1),B(3,-3),C(1,7). (1)判断△ABC 的形状; 【思路分析】 计算三角形的各边长,通过长度获得关系;或者由斜率获得 关系. 【解析】 (1)方法一:如图. ∵|AB|= (3+3)2+(-3-1)2=2 13, |AC|= (1+3)2+(7-1)2=2 13, |BC|= (1-3)2+(7+3)2=2 26,
第5页
思 考 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 公 式 能 否 表 示 为 |P1P2| = (x1-x2)2+(y1-y2)2?为什么?
提示 能,因为 (x2-x1)2+(y2-y1)2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2.
第6页
【知识拓展】 两点间距离公式注意点 (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为 k(k≠0)的直线上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),由两点间的距 离 公 式 可 得 |P1P2| = (x2-x1)2+(y2-y1)2 = 1+k2 · |x2 - x1| , 或 |P1P2| = 1+k12|y2-y1|.
思考题 1 (1)已知 A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,
则实数 a 的值为( )
√A.-2
C.1
B.-1 D.2
【解析】 由两点间的距离公式及|AB|=|AC|可得, (a+2)2+(2+3)2= (a-1)2+(2-6)2,解得 a=-2.
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___(__x_2-__x_1_)__2+__(__y_2_-__y_1)__2____. (2)两点间距离的特殊情况 ①原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|=__x_2_+__y_2_. ②当 P1P2⊥y 轴(y1=y2)时,|P1P2|=_|x_2_-__x_1|__. ③当 P1P2⊥x 轴(x1=x2)时,|P1P2|=__|y_2_-__y_1|_.
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∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, ∴△ABC 是等腰直角三角形. 方法二:∵kAC=1-7(--13)=32,kAB=3--(3- -13)=-23, 则 kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB. 又|AC|= (1+3)2+(7-1)2=2 13, |AB|= (3+3)2+(-3-1)2=2 13, ∴|AC|=|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形.
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知识点 两点间的距离 (1) 平 面 上 的 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| =
(2)若等腰三角形 ABC 的顶点 A 是(3,0),底边 BC 的长为 4,BC 边的中点 为 D(5,4),求等腰△ABC 的腰长.
【解析】 连接 AD,则 AD⊥BC,|AD|= (5-3)2+(4-0)2=2 5. 在 Rt△ABD 中,由勾股定理得|AB|= |AD|2+|BD|2= 20+4=2 6. 所以等腰△ABC 的腰长为 2 6.
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(2)求△ABC 的面积. 【解析】 (2)△ABC 的面积 S=12|AC|·|AB|=21×2 13×2 13=26.
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计算两点间距离的方法 (1) 对 于 任 意 两 点 P1(x1 , y1) 和 P2(x2 , y2) , |P1P2| = (x2-x1)2+(y2-y1)2. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特 殊情况|y2-y1|或|x2-x1|求解.
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所以由两点间距离公式,可得 d2+a2+(d-b)(c-d)=b2+a2,d-b≠0,所以 c+b=0,即-b=c, 所以|OB|=|OC|,所以|AB|=|AC|, 即△ABC 为等腰三角形.
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坐标法解决几何问题的关键 坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标 系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主 要有两点: (1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算. (2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果 图形为中心对称图形,可考虑将对称中心作为原点;如果有轴对称性,可 考虑将对称轴作为坐标轴.
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题型二 坐标法证题
例 2 在△ABC 中,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B,C 不重合),且|AD|2 +|BD|·|DC|=|AB|2,求证:△ABC 为等腰三角形.
【思路分析】 在图形中建立坐标系,设点,说明|AB|=|AC|. 【证明】 如图,作 AO⊥BC,垂足为 O,以 BC 所在直线为 x 轴, 以 OA 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系 xOy. 设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).易知 b<d<c. 因为|AD|2+|BD|·|DC|=|AB|2,
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思考题 2 已知:等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,对角线为 AC 和 BD.求 证:|AC|=|BD|.
【证明】 建立如图所示的平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a, 0),C(b,c),则点 D 的坐标是(a-b,c). 所 以 |AC| = (b-0)2+(c-0)2 = b2+c2 , |BD| =
(a-b-a)2+(c-0)2= b2+c2.故|AC|=|BD|.
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题型三 光的反射问题
例 3 一束光线从原点 O(0,0)出发,经过直线 l:8x+6y=25 反射后通过 点 P(-4,3),求反射光线的方程及光线从 O 点到达 P 点所走过的路程.
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课时学案
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题型一 两点间的距离
例 1 已知△ABC 的三个顶点坐标是 A(-3,1),B(3,-3),C(1,7). (1)判断△ABC 的形状; 【思路分析】 计算三角形的各边长,通过长度获得关系;或者由斜率获得 关系. 【解析】 (1)方法一:如图. ∵|AB|= (3+3)2+(-3-1)2=2 13, |AC|= (1+3)2+(7-1)2=2 13, |BC|= (1-3)2+(7+3)2=2 26,
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思 考 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 公 式 能 否 表 示 为 |P1P2| = (x1-x2)2+(y1-y2)2?为什么?
提示 能,因为 (x2-x1)2+(y2-y1)2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2.
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【知识拓展】 两点间距离公式注意点 (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为 k(k≠0)的直线上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),由两点间的距 离 公 式 可 得 |P1P2| = (x2-x1)2+(y2-y1)2 = 1+k2 · |x2 - x1| , 或 |P1P2| = 1+k12|y2-y1|.