2016_2017学年高中物理第1章机械振动1.3探讨摆钟的物理原理1.4探讨单摆振动的周期教师用书

探讨摆钟的物理原理
探讨单摆振动的周期
学习目标知识脉络
1.知道什么是单摆，了解单摆的构
成.
2.掌握单摆振动的特点，知道单摆
回复力的成因，理解摆角很小时单
摆的振动是简谐运动.(重点、难
点)
3.知道单摆的周期跟什么因素有
关，了解单摆的周期公式，并能用
来进行有关的计算.(重点)
单摆的运动特点和步调问题
[先填空]
1.惠更斯的科学抽象——单摆
细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量且球的直径比细线的长度小得多的装置叫单摆.单摆是一种理想化的物理模型，如图1­3­1所示，由于摆球释放后的运动是往复运动，故单摆运动是机械振动.
图1­3­1
在不考虑空气阻力的情形下，摆球受重力和绳索拉力的作用，将重力沿切向和法向正交分解，在法向上绳索拉力和重力分力的合力充当摆球沿圆弧运动的向心力，重力的切向分力充当摆球的答复力.
两个完全相同的单摆，同时将摆球拉离平稳位置放开，两个摆球除振幅可能不同外，周期相同，同时通过平稳位置，同时抵达最大位移处，两个单摆的摆动是步伐一致同相，步伐不同的叫做不同相，步伐完全相反的叫做反相.
(1)“相”(或“相位”、“位相”、“周相”)
描述振动步伐的物理量.两个单摆振动步伐一致，咱们称为同相.
两个单摆振动步伐不一致，就说它们存在着相差，两个单摆振动步伐正好相反，叫做反相.
(2)相差
它是指两个相位之差，在实际中常经常使用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步伐不同.
[再判断]
1.实际的摆的摆动都能够看做是简谐运动.(×)
2.单摆答复力的方向老是指向悬挂位置.(×)
3.单摆的答复力是由摆球重力的分力提供的.(√)
[后思考]
摆球通过平稳位置时，合外力是不是为零？摆球抵达最大位移处，v＝0，加速度是不是等于0?
【提示】单摆摆动中平稳位置不是平稳状态，有向心力和向心加速度，答复力为零，合外力不为零.最大位移处速度等于零，但不是静止状态.一样单摆答复力不是摆球所受合外力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，因此加速度不必然等于零.
[核心点击]
(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动进程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力.
(2)摆线同时以平稳位置为中心做往复运动，因此在运动进程中只要不在平稳位置，轨迹的切线方向都受答复力.
(1)任意位置
如图1­3­2所示，G2＝G cos θ，F－G2的作用确实是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝G sin θ的作用提供摆球以O为中心做往复运动的答复力.
图1­3­2
(2)平稳位置
摆球通过平稳位置时，G 2＝G ，G 1＝0，现在F 应大于G ，F －G 提供向心力，因此，在平稳位置，答复力F 回＝0，与G 1＝0相符.
(3)单摆的简谐运动
在θ很小时(理论值为＜5°)，sin θ≈tan θ＝x l
，
G 1＝G sin θ＝mg
l
x ，
G 1方向与摆球位移方向相反，因此有答复力 F 回＝G 1＝－mg l x ＝－kx (k ＝mg
l
).
因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动.
1.振动的单摆小球通过平稳位置时，关于小球受到的答复力、合力及加速度的说法中正确的选项是( )
B.合力不为零，方向指向悬点
C.合力不为零，方向沿轨迹的切线
D.答复力为零，合力也为零
E.加速度不为零，方向指向悬点
【解析】 单摆的答复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平稳位置时，答复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力和向心加速度，方向指向悬点(即指向圆心).
【答案】 ABE
2.关于单摆摆球在运动进程中的受力，以下结论正确的选项是( ) A.摆球受重力、摆线的张力作用 B.摆球的答复力最大时，向心力为零 C.摆球的答复力为零时，向心力最大
D.摆球的答复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
E.摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
【解析】单摆在运动进程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A对；重力垂直于摆线的分力提供答复力，当答复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，那么拉力小于重力，在平稳位置处，答复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D、E错，B、C对.
【答案】ABC
3.以下关于单摆的说法，正确的选项是( )
A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平稳位置时的位移为零
【解析】简谐运动中的位移是以平稳位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平稳位置时位移应为零，A正确.摆球的答复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，合力在摆线方向的分力提供向心力，B错误、C正确.摆球通过最低点(摆动的平稳位置)时答复力为零，但向心力不为零，因此合力不为零，加速度也不为零，D错误.在最高点时、向心力为零，合力等于答复力，E正确.
【答案】ACE
关于单摆的两点说明
1.所谓平稳位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平稳的位置，并非是指摆动进程中的受力平稳位置.事实上，在摆动进程中，摆球受力不可能平稳.
2.答复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可误以为答复力是重力G与摆线拉力T的合力.
探究单摆的周期
[先填空]
不同的单摆周期不同，单摆的周期与哪些因素有关？通过实验探讨得知单摆做简谐运动的周期跟摆长有关，跟振幅和摆球的质量无关.
T ＝2π
l
g
，是荷兰物理学家惠更斯推出的. 式中的l 表示摆长，g 表示本地的重力加速度. [再判断]
1.单摆的振幅越大周期越大.(×)
2.单摆的周期与摆球的质量无关.(√)
3.摆长应是从悬点到摆球球心的距离.(√) [后思考]
1.由于单摆的答复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是不是摆球的质量越大，答复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？
【提示】 不是.摆球摆动的加速度除与答复力有关外，还与摆球的质量有关，即a ∝F
m
，因此摆球质量增大后，加速度并非增大，其周期由T ＝2π
l
g
决定，与摆球的质量无关. 2.把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？ 【提示】 两极处重力加速度大于赤道处重力加速度，由T ＝2πl
g
知，应增大摆长，才能使周期不变.
[核心点击]
l 的确信
实际的单摆摆球不可能是质点，因此摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l ＝l 0＋D
2
，
l 0为摆线长，D 为摆球直径.
g 的转变
(1)公式中的g 由单摆所在地空间位置决定
由G M
R
2＝g 知，g 随地球表面不同位置、不同高度而转变，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g ′代入公式，即g 不必然等于 m/s 2
.
(2)g 还由单摆系统的运动状态决定
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a ，现在摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的答复力变大，摆球质量不变，那么重力加速度的等效值g ′＝g ＋a .
(3)g 还由单摆所处的物理环境决定
如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，答复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，因此也有g ′的问题.
4.如图1­3­3所示是一个单摆(摆角θ＜5°)，其周期为T ，那么以下说法正确的选项是( )
图1­3­3
A.把摆球的质量增加一倍，其周期不变
B.摆球的振幅变小时，周期也变小
O →B 运动的时刻为T
4
B →O 时，动能向势能转化 O →
C 时，动能向势能转化
【解析】 单摆的周期与摆球的质量无关，A 正确；单摆的周期与振幅无关，B 错误；此摆由O →B 运动的时刻为T
4，C 正确；摆球由B →O 时，势能转化为动能，O →C 时动能转化
势能，D 错误，E 正确.
【答案】 ACE
5.如图1­3­4所示，三根细线在O 点处打结，A 、B 端固定在同一水平面上相距为l 的两点上，使∠AOB ＝90°，∠BAO ＝30°，已知OC 线长是l ，下端C 点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动).让小球在纸面内振动，周期T ＝________.让小球在垂直纸面内振动，周期T ＝________.
图1­3­4
【解析】 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l ，周期T ＝2π
l g ；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(34
l ＋l )，周期T ＝2π
3
4
＋1l
g
.
【答案】 2π
l
g
2π34
＋1l
g
6.如图1­3­5所示，将摆长为L 的单摆放在一路落机中，假设起落机以加速度a 向上匀加速运动，求单摆的摆动周期.
图1­3­5
【解析】 单摆的平稳位置在竖直位置，假设摆球相对起落机静止，那么摆球受重力
mg 和绳拉力F ，依照牛顿第二定律：F －mg ＝ma ，现在摆球的视重mg ′＝F ＝m (g ＋a )，因此
单摆的等效重力加速度g ′＝F
m ＝g ＋a ，因此单摆的周期为T ＝2π
L
g ′
＝2πL
g ＋a
.
【答案】 2π
L
g ＋a
确信单摆周期的方式
1.明确单摆的运动进程，判定是不是符合简谐运动的条件.
2.运用T ＝2π
l
g
时，注意l 和g 是不是发生转变，假设发生转变，那么别离求出不同l 和g 时的运动时刻.
3.单摆振动周期改变的途径： (1)改变单摆的摆长；
(2)改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重). 4.明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系.
用 单 摆 测 重 力 加 速 度
[核心点击]
利用单摆测定本地的重力加速度，巩固和加深对单摆周期公式的明白得.
单摆在偏角很小(小于5°)时，可看成简谐运动，其周期T ＝2π
l g ，可得g ＝4π2
l T
2.据此，通过实验测出摆长l 和周期T ，即可计算取得本地的重力加速度.
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m 左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺.
(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆. (2)将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.
(3)用刻度尺量出悬线长l ′，用游标卡尺测出摆球直径d ，然后计算出悬点到球心的距离l ＝l ′＋d
2
即为摆长.
(4)把此单摆从平稳位置拉开一个角度，并使那个角小于5°，再释放小球.当摆球摆动稳固以后，在最低点位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时刻，然后求出一次全振动的时刻，即单摆的振动周期.
(5)改变摆长，重做几回.
(6)依照单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度；求出几回实验取得的重力加速度的平均值，即是本地域的重力加速度的值.
(7)将测得的重力加速度数值与本地重力加速度数值加以比较，如有误差，分析产生误差的缘故.
(1)公式法：依照公式g ＝4π2n 2
l
t
2
，将每次实验的l 、n 、t 数值代入，计算重力加速度g ，然后取平均值.
(2)图像法：作出T 2
­l 图像，由T 2
＝4π2
l g
可知T 2­l 图线是一条过原点的直线，其斜率k
＝4π2g ，求出k ，可得g ＝4π2
k
.
(1)摆线要选1 m 左右，不要太长或太短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数. (2)摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变.
(3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当做摆长.
(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，如此能够减小空气阻力的
阻碍.
(5)摆角要小于5°(具体实验时能够小于15°)，不要过大，因为摆角过大，单摆的振
动再也不是简谐运动，公式T＝2πl
g
就再也不适用.
(6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆.
(7)要从平稳位置计时，不要从摆球抵达最高点时开始计时.
(8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记.
(1)本实验系统误差要紧来源于单摆模型本身是不是符合要求，即悬点是不是固定；球、线是不是符合要求；振动是圆锥摆仍是同一竖直平面内的振动和测量哪段长度作为摆长等等.
(2)本实验偶然误差要紧来自时刻(即单摆周期)的测量上.要从摆球通过平稳位置开始计时，并采纳倒数计时计数的方式，不能多记或漏记振动次数.为了减小偶数误差，进行多次测量后取平均值.
(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即利用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时刻的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可.
7.在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出如下建议，其中对提高测量结果精准度有利的是( )
B.质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
E.当单摆通过平稳位置时开始计时，且测量30～50次全振动的时刻
【解析】单摆实验的精准度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度.适当加长摆线，有利于把摆球看成质点，在摆角小于5°的条件下，摆球的空间位置转变较大，便于观看，A对；摆球体积越大，所受空气阻力越大，对证量相同的摆球阻碍越大，B 错；摆角应小于5°，C对；本实验采纳积存法测量周期，且从球过平稳位置时开始计时，D 错，E正确.
【答案】ACE
8.(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材为________.
m长的细线 m长的粗线
G.时钟 I.毫米刻度尺
(2)在该实验中，单摆的摆角φ应________，从摆球通过________开始计时，测出n 次全振动的时刻为t ，用毫米刻度尺测出摆线长为L ，用游标卡尺测出摆球的直径为d .用上述物理量的符号写出测出的重力加速度的一样表达式为g ＝________.
【解析】 (1)做摆长的细线要用不易伸长的细线，一样不该短于1米，选A ；小球应是密度较大，直径较小的金属球，选E ；计时仪器宜选用秒表F ；测摆长应选用毫米刻度尺I ，用游标卡尺测摆球的直径.
(2)依照单摆做简谐运动的条件知φ＜5°；因平稳位置易判定，且经平稳位置时速度大，历时少，误差小，因此从平稳位置开始计时.
依照T ＝2π
l g ，又T ＝t n ，l ＝L ＋d 2 得g ＝4π2
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
L ＋d 2n 2
t
2
. 【答案】 (1)AEFIJ (2)小于5° 平稳位置 4π2
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
L ＋d 2n
2
t
2
用单摆测定重力加速度应注意的问题
1.实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球要选取密度大且质量散布均匀的钢球.
2.单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°.
3.测摆长l 时，应为悬点到球重心的距离，球质量散布均匀时等于摆线长加上小球半径.
4.应从摆球通过平稳位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平稳位置时计数.
5.适当增加测量的全振动次数，以减小测量周期的误差，一样30～50次即可.。