4.1 正弦和余弦 课件湘教版数学九年级上册

（1）
（2）
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
cos= sin( -). sin= cos( -).
例3 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：
cos30 = sin(90 -30)= sin60 =
3 2
,
cos60 = sin(90 -60)= sin30 =
1 2
,
cos45 = sin(90 -45)=sin45 =
2 2
于是 AB= 2BC.
因此
sin45
=
BC AB
=
BC = 2BC
1= 2
2 2
.
如何求 sin 60°的值？
如图，构造一个Rt△ABC ，使∠B=60°， 则∠A=30°，从而 BC 1 AB.
2
根据勾股定理，得
AC2=AB2-BC 2=AB 2-
于是
AC =
3 2
AB.
1
2
AB
2
=
3 4
∴
BC
AB .
EF DE
即 BC DE AB EF .
∴
BC EF . AB DE
这说明，在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中， 角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大
小无关.
如图，在直角三角形中，我们把锐角 α的对边与斜
边的比叫作角 α 的正弦，记作sin α ，即
sin
420、:3办敏37事而.1刚好4.愎学20自，20用不20，耻:3即下37使问.1失。4.败。20了72.10也42.0从2:03不2302反70悔.:1343。.:2704.21704.12.2400.:23203022700.12:3403.:23203027:30.1324:02.:2530232020:03:3:32250:33:2420:33:24
AB2.
因此
sin60
=
AC AB
=
3 2
.
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）
的正弦值，而对于一般锐角α 的正弦值，我们可以利用计算
器来求.
例如求 50°角的正弦值，可以在计算器上依次按
键
，显示结果为0.7660…
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对 应锐角.
例2 计算： sin230°- 2sin45°+sin260°
这醉人这芬春醉芳去人的春芬季又芳节回的，，季愿新节你桃，生换愿活旧你像符生春。活天在像一那春样桃天阳花一光盛样，开阳心的光情地，像方心桃，情在像桃 54、努不海力要内不为存不它知一的已定结，成束天功而涯，哭若不，比努应邻力当。一为Tu定它es不的da成开y,功始Ju。而ly笑T1u。4e,s72d.0a12y40,.2J0u2ly021704.1T,42u.02e20sd02aJ0uy2,l0yJ:32u30ly2T10u4:e3,s32d20a02y:03, 73Ju/:12ly4/212040:,232030:22407/14/2020 花一这样醉花美人一丽芬样，芳美感的丽谢季，你节感的，谢阅愿你读你的。生阅活读像。春天一样阳光，心情像桃 65、莫你生愁必命前须的路非成无常长知努，已力需，，要天才吃下能饭谁看，人起还不来需识毫要君不吃。费苦8时力，3。吃3分亏8时8。时3T33u分3e分8sd时1a43y-3J, u分Jlu-1l2y401-7J4.u1,l42-2.02020702.J10u4l.y202200Tuesday, July 14, 20207/14/2020
亲爱的读者： 2、利世千所上里在没之的有行地绝，方望始，的于天处足下境人，。都只20向有20那对年里处7月去境1。绝4日二望星〇的期二人二〇。年二七〇月二十〇四年日七月20十20四年日7月201240日年星7月期1二4日星期二 春去春春又去回春，又新回桃，换新旧桃符换。旧在符那。桃在花那盛桃开花的盛地开方的，地在方，在 3、不成少宽功年恕都易众永学生远老，不难不会成原言，谅弃一众，寸生放光，弃阴是者不苦永可了远轻你不。自会。己成20。功:33。270.:1343.72.01240.22002:303270.:1343.72.01240.22002:3032200:3:332:02:5373.:124.72.01240.22002:303270.:1343.72.01240.2020
课堂小结
1.锐角的余弦的概念. 2.熟记：30°,45°,60°这些特殊角的正弦余弦值 . 3.理解：0°~90°间正弦值、余弦值的变化规律：
（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1；
（2）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度的增 加反而减小.
亲爱的亲读爱者的：读者：
1、人生盛生活年如不逆相重旅信来，眼我泪一亦，日是眼难行泪再人并晨。不代及20表时.7.软宜14弱自7.。勉14，2.02岁.072.月1042不70.:待1343人.220。0:23。032:22004:.3J7u3.1l2-4027:03.21304:2:.32430J2u0l-20:2303:2303:33:25Jul-2020:33
76、决生人不命生能太贵放过相弃短知，暂世，何界今用上天金没放与有弃钱失了。败明20，天.7.只不14有一20放定.7弃能.1。得42到200.。7.7.1.814时4。23023.0分72.1804时年23073.月7分.1144日。-J星2u0l期-220二0年7二.71月4〇.21二042〇日0年星七期月二十二四〇日二〇年七月十四日
从而 sin B sin E , 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三角
形中，角 的α邻边与斜边的比值是一个常数，与直角
三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜边
的比叫作角 的α余弦，记作 cos， 即
cos 角 的邻边 斜边
α
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
.
课堂练习
1. 如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°， BC=5，AB=13.
（1）求sinA的值； （2）求sinB的值．
2. 计算：（1） sin2 60°+sin2 45°； （2）1-2sin 30°sin 60°.
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=5，AB=7. 求 cos A，cos B 的值．
角的对边
斜边
α
根据 “在直角三角形中，30°角所对的直角边
等于斜边的一半”，容易得到
sin
30°=
1 2
.
例题探究
例1 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3， AB=5.
（1）求sinA的值； （2）求sinB的值.
解：∠A的对边BC=3，斜边AB=5.
于是
sinA
=
BC AB
=
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
新课引入
画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出 65° 角的对边长度和斜边长度，计算：
65角的对边
斜边 =
=
与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值 是否相等（精确到0.01）.
如图，（1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形， 其中∠A=∠A′= 65°， ∠C=∠C′= 90°.
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
∴ Rt △ABC ∽ Rt△DEF.
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、人放勇生眼气就前通像方往卫，天生只堂纸要，，我怯没们懦事继通的续往时，地候收狱尽获。量的20少季:33扯节2。就0:3在230前:2353方72.。01:432.302:.02724.1074T.12u40e.s27d0.1a24y02,T0Juu.e7lys.1d14a4。y,,2J0u2ly0年147, 月201240日星期二二〇二〇年七月十 四日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3320:33:257.14.2020Tuesday, July 14, 2020
3. 5
∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC2 = AB2-BC2 = 52-32
= 16. 于是AC = 4.
因此
sinB
=
AC AB
=
4. 5
如何求 sin 45°的值？
如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90,∠A=45°.于是 ∠B=45°. 从而AC=BC．
根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.
解：sin230°- 2sin45°+sin260°
1 2
2
2

2 2
3
2
1 1 3
4
4
0.
如图， △ABC和△DEF都是直角三角形， 其中 ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则 AC DF 成立吗？为什么？
AB DE
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E.