甘肃省武威二中2018学年高二下学期期末数学试卷文科

2018-2018学年甘肃省武威二中高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5，7}，P=M∩N，则集合P的子集个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个
2．将参数方程化为普通方程为（）
A．y=x﹣2 B．y=x+2 C．y=x﹣2（2≤x≤3）D．y=x+2（0≤y≤1）
3．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是（）
A．∃x∈R，均有x2+x+1＜0 B．∀x∈R，均有x2+x+1≥0
C．∃x∈R，使得x2+x+1＜0 D．∀x∈R，均有x2+x+1＜0
4．若a∈R，则“a=3”是“（a+1）（a﹣3）=0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数y=的定义域为（）
A．（，+∞）B．[1，+∞）C．（，1]D．（﹣∞，1）
6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）
A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|
7．两圆与的位置关系是（）
A．内切 B．外切 C．相离 D．内含
8．曲线（≤θ≤π）的长度是（）
A．5πB．10πC． D．
9．已知f（x+1）为偶函数，且f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，a=f（2），b=f（log32），
c=f（），则有（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
10．点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
11．已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=．
12．若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=．
13．设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（x）=f（x+2）；
③当0≤x＜1时，f（x）=2x﹣1．则=．
14．若直线y=x+b与曲线（θ为参数，且有两个不同的交点，则实数b的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．若A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|ax﹣6=0}，且A∪B=A，求由实数a组成的集合C．
16．求直线l1：（t为参数）和直线l2：x﹣y﹣2=0的交点P的坐标，及点P与Q（1，﹣5）的距离．
17．已知函数f（x）=，x∈[3，5]
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
18．某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足
P=，商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系
式近似满足Q=﹣t+40（1≤t≤30，t∈N）．
（1）求这种商品日销售金额y与时间t的函数关系式；
（2）求y的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．
19．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
2018-2018学年甘肃省武威二中高二（下）期末数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5，7}，P=M∩N，则集合P的子集个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】子集与真子集．
【分析】根据集合的基本运算求出集合P，然后根据子集的定义即可得到结论．
【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5，7}，
∴P=M∩N={1，3}，集合含有2个元素，
∴集合P的子集个数为22=4个，
故选：C
2．将参数方程化为普通方程为（）
A．y=x﹣2 B．y=x+2 C．y=x﹣2（2≤x≤3）D．y=x+2（0≤y≤1）
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】消去参数化普通方程为y=x﹣2，再由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3，由此得到结论．
【解答】解：将参数方程消去参数化普通方程为y=x﹣2，
由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3．
故选C．
3．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是（）
A．∃x∈R，均有x2+x+1＜0 B．∀x∈R，均有x2+x+1≥0
C．∃x∈R，使得x2+x+1＜0 D．∀x∈R，均有x2+x+1＜0
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．
故选：B．
4．若a∈R，则“a=3”是“（a+1）（a﹣3）=0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若a=3，则“（a+1）（a﹣3）=0”成立，
若“（a+1）（a﹣3）=0”，则a=3或a=﹣1．
∴“a=3”是“（a+1）（a﹣3）=0”的充分不必要条件．
故选A．
5．函数y=的定义域为（）
A．（，+∞）B．[1，+∞）C．（，1]D．（﹣∞，1）
【考点】对数函数的定义域．
【分析】根据函数y的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y=，
∴log2（2x﹣1）≥0，
∴2x﹣1≥1；
解得x≥1，
∴函数y的定义域为[1，+∞）．
故选：B．
6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）
A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．
【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，
故选：C．
7．两圆与的位置关系是（）
A．内切 B．外切 C．相离 D．内含
【考点】圆的参数方程．
【分析】把两圆为直角坐标方程，求出两圆的圆心，半径，圆心距，由此能判断两圆
与的位置关系．
【解答】解：圆的普通方程为（x+3）2+（y﹣4）2=4，圆心O1（﹣3，4），半径r1=2，
圆的普通方程为x2+y2=9，圆心O2（0，0），半径r2=3，
圆心距|O1O2|==5，
∵|O1O2|=r1+r2=5，
∴两圆与的位置关系是外切．
故选：B．
8．曲线（≤θ≤π）的长度是（）
A．5πB．10πC． D．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】运用同角的平方关系：sin2θ+cos2θ=1，化简曲线方程，可得圆x2+y2=25内的圆心
角为π﹣=的弧长，再由弧长公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：由sin2θ+cos2θ=1，
曲线（≤θ≤π）即为
圆x2+y2=25内的圆心角为π﹣=的弧长，
可得所求长度为×5=．
故选：D．
9．已知f（x+1）为偶函数，且f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，a=f（2），b=f（log32），
c=f（），则有（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】利用函数y=f（x+1）为偶函数得到f（﹣x+1）=f（x+1），可以得到函数关于x=1对称，然后利用当x≥1时，函数的单调性比较大小．
【解答】解：函数y=f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），
∴函数y=f（x）关于x=1对称，
∵f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，
则f（2）=f（0），
∵0＜＜log32，
∴f（0）＜f（）＜f（log32），
故a＜c＜b，
故选：D．
10．点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为（）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】由椭圆2x2+3y2=12化为，设，y=2sinθ，利用两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性即可得出．
【解答】解：由椭圆2x2+3y2=12化为，设，y=2sinθ，
∴x+2y=
=
=，其中．
∴x+2y的最大值为．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
11．已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．
【考点】函数的值．
【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．
【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，
所以，解得a=10．
故答案为：10．
12．若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=0．
【考点】偶函数．
【分析】根据f（x）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a的值．
【解答】解：∵f（x）为偶函数
∴f（﹣x）=f（x）恒成立
即x2﹣|x+a|=x2﹣|x﹣a|恒成立
即|x+a|=|x﹣a|恒成立
所以a=0
故答案为：0．
13．设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（x）=f（x+2）；
③当0≤x＜1时，f（x）=2x﹣1．则=．
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．
【分析】根据f（x）是定义在R上的函数且f（x）+f（﹣x）=0，求得f（0）=0，进而根据f（x）=f（x+2）求得f（1）和f（2）的值，进而利用当0≤x＜1时，f（x）的解析式求得f
（）的值，利用函数的周期性求得f（）=f（），f（）=﹣f（），进而分别求得f
（）和f（）的值．代入中求得答案．
【解答】解：由f（x）是定义在R上的函数且f（x）+f（﹣x）=0，
所以f（0）=0，又f（x）=f（x+2）
所以f（1）=f（﹣1）=﹣f（1）⇒f（1）=0且f（2）=f（0）=0，
，
，
∴．
故答案为：
14．若直线y=x+b与曲线（θ为参数，且有两个不同的交点，
则实数b的取值范围是．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的参数方程．
【分析】由题意求出曲线的普通方程，结合直线与曲线的图形，求出满足题意的b的范围即可．
【解答】解：曲线（θ为参数，且，化为：x2+y2=1（x≥0），
在同一坐标系中画出两个方程的图象，
直线y=x+b与曲线（θ为参数，且有两个不同的交点，
所以实数b的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．若A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|ax﹣6=0}，且A∪B=A，求由实数a组成的集合C．【考点】集合关系中的参数取值问题．
【分析】解二次方程x2﹣5x+6=0可以求出集合A，根据A∪B=A可得B⊆A，分B={2}、B={3}、B=Φ，三种情况分别求出对应的a值，即可求出实数a组成的集合C
【解答】解：x2﹣5x+6=0，∴x=2，x=3，即A={2，3}…∵A∪B=A
故B是单元素集合{2}，{3}或B=Φ…．
当B={2}，由2a﹣6=0得a=3
当B={3}，由3a﹣6=0得a=2
当B=Φ，由ax﹣6=0得a=0
所以由实数a形成的集合为C={0，2，3}…．
16．求直线l1：（t为参数）和直线l2：x﹣y﹣2=0的交点P的坐标，及点
P与Q（1，﹣5）的距离．
【考点】直线的参数方程；两条直线的交点坐标；两点间的距离公式．
【分析】把直线代入直线，解得
t=2，求得点P的坐标，再利用两点间的距离公式求出点P与Q（1，﹣5）的距离．
【解答】解：把直线代入直线，解得t=2，
∴交点P的坐标为（1+2，1）．
再由Q（1，﹣5），可得点P与Q（1，﹣5）的距离为=4．
17．已知函数f（x）=，x∈[3，5]
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
【分析】利用函数的单调性的定义证明其单调性，借助单调性求函数的最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵f（x）==2﹣，
设任意的x1，x2，且3≤x1＜x2≤5，
∴4≤x1+1＜x2+1，＞，
∴f（x1）﹣f（x2）=（2﹣）﹣（2﹣）=﹣＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=，x∈[3，5]是增函数；
（2）由（1）知函数f（x）=，x∈[3，5]是增函数；
故当x=3时，；当x=5时，．
18．某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足
P=，商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系
式近似满足Q=﹣t+40（1≤t≤30，t∈N）．
（1）求这种商品日销售金额y与时间t的函数关系式；
（2）求y的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）设日销售金额为y元，则y=P•Q，利用分段函数写出函数表达式；
（2）当1≤t≤24时，y=﹣（t﹣10）2+900，当25≤t≤30时，y=（t﹣70）2﹣900，分别求最值，从而得到分段函数的最值及最值点．
【解答】解：（1）设日销售金额为y元，则y=P•Q，
即，y=，t∈N；
（2）当1≤t≤24时，y=﹣（t﹣10）2+900，
故当t=10时，y max=900；
当25≤t≤30时，y=（t﹣70）2﹣900，
故当t=25时，y max=1125．
故该商品日销售金额的最大值为1125元，且近30天中第25天销售金额最大．
19．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程．
【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标
再化为一般参数方程；
（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．
【解答】解：（1）直线的参数方程为，即．
（2）把直线代入x2+y2=4，
得，t1t2=﹣2，则点P到A，B两点的距离之积为2．
2018年9月5日。