江苏省无锡市锡北片2020届九年级一模数学试题

锡北片初三数学一模试卷2020.4
考试用时： 120分钟 满分：130分 本试卷分试题和答题卷两部分，所有答案一律写在答题卷上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 1．－2的相反数是
（ ▲ ）
A ．2
B ．－2
C ．12
D ．－1
2 2．二次根式x －2有意义，则x 的取值范围是
（ ▲ ）
A ．x ≠2
B ．x ≥2
C ．x ≤2
D ．x ＞2
3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为 （ ▲ ）
A ．44×108
B ．4.4×109
C ．4.4×108
D ．4.4×1010
4．小王在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：l00元的3 张，
50元的9张，l0元的23张，5元的l0张．在这些不同面额的钞票中，众数是 （ ▲ ）
A ．100
B ．23
C ．50
D ．10
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =16°,则∠BOC 的度数是 （ ▲ ）
A.74︒
B. 48︒
C. 32︒
D. 16︒
6．下列命题中错误的是 （ ▲ ） A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B ．对角线相等的平行四边形是矩形 C ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 7． 圆锥的主视图是边长为4 cm 的等边三角形，则该圆锥俯视图的面积是 （ ▲ ） A ．4πcm 2 B ．8π cm 2 C ．12π cm 2 D ．16π cm 2
8．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB =（ ▲ ） A ．30°
B ．35°
C ．45°
D ．60°
9．一次函数y ＝x －b 的图像，沿着过点（1，0）且垂直于x 轴的直线翻折后经过点（4，1），
第8题图
A
则b的值为（▲）
A．－5 B．5 C．－3 D．3
10. 已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（▲）
A ．
B ．C．D ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在
答题卡上相应的位置）
11．分解因式：x2－
4= ▲．
12．方程
3 x－
2= 1的解是▲．
13．正八边形的每个外角为▲度．
14．已知方程0
3
2=
+
-k
x
x有两个相等的实数根，则k= ▲．
15．某楼盘2015年房价均价为每平方米8000元，经过两年连续涨价后，2017年房价均价为每平方米15000元.设该楼盘这两年房价平均年增长率为x，根据题意可列方程为▲．
16．若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集是▲．
17．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连结BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为▲．
18．如图，已知点A是第一象限内横坐标为 3 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线
段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B
运动的路径长是▲．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤）
19．（本题满分8分）计算：（1）2－2＋8－
1
2sin30º；（2）(1＋
1
x－1)÷
x
x2－1．
第16题图第18题图
20．（本题满分8分）
（1）解方程：x 2―6x +4＝0； （2）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＜2(x ＋2)，
－x 3≤5x
3＋2． 21．（本题满分8分）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，分别连接BE 、DF 、BD ．（1）求证：△AEB ≌△CFD ；
（2）若四边形EBFD 是菱形，求∠ABD 的度数．
22．（本题满分8分）（1）如图，将A 、B 、C 三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A 、B 、C 的概率； （2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A 、B 、C 、D 四个字母任意填写其中（每空填
一个字母，每空中的字母不重复），从左往右字母顺序恰好是
A 、
B 、
C 、
D 的概率为 ▲ ．
23．（本题满分8分）某区教育局为了解今年九年级学生体育测试情况，随机抽查了某班学生的体育测试成绩为样本，按A 、B 、C 、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
说明：A 级：90分～100分；B 级：75分～89分；C 级：60分～74分；D 级：60分以下 （1）样本中D 级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ▲ ； （2）扇形统计图中A 级所在的扇形的圆心角度数是 ▲ ； （3）请把条形统计图补充完整；
B
46%
C 24%
D A 20%
等级
人数
12
23
10
5
A
B
C
D
F
E
（第21题）
（第22题）
F G
C
E M
A
O
B
（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A 级和B 级的学生人数之和．
24．（本题满分8分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G ,交AB 于点F ,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切；
（2）当BC =4,cos C =1
3 时，求⊙O 的半径.
25．（本题满分8分）小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种
水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克． 小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 【利润=（销售价－进价） 销售量】 （1）请根据他们的对话填写下表：
销售单价x （元/kg ） 10 11 13 销售量y （kg ）
（2x （元）之间存在怎样的函数关系．并求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；
（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，求W 与x 之间的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？
26.（本题满分8分）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长。

27．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，
抛物线与直线
分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点
为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB=∠BCD，求点P的坐标．
28.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y=x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．
①试说明：当0<t<2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON=OC；
②试探究：当t>2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．
锡北片初三数学一模答案
一、选择题：(每题3分，共30分)
二、填空题：(每空2分，共16分)
11． )2)(2(-+x x 12．5=x 13． 45 14．
4
9
15．15000)1(80002=+x 16．5<x 17． 2 18三、解答题(共10大题，84分)
19.（1）解：原式＝14＋22－1
4……………(3分) ＝22…………… (4分)
（2）解：原式＝x
x －1×(x ＋1)(x －1)x ……………………(3分) ＝x ＋1…………… (4分)
20．（1）3x =± （4分）
（2） 3x < （1分） x ≥ -1 （2分） -1≤x<3 (4分) 21.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C ，AD=BC ，AB=CD ．
∵点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE=1
2
AD ，
FC=12
BC ．∴AE=CF ．（1分）
在△AEB 与△CFD 中，
，
∴△AEB ≌△CFD （SAS ）．（4分）
（2）解：∵四边形EBFD 是菱形，
∴BE=DE ．∴∠EBD=∠EDB ．
∵AE=DE ，∴BE=AE ．∴∠A=∠ABE ．
∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，
∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=
×180°=90°．（
4分）
22．（1）61
（6分）（2）241
（2分）
23．（1）10%；（2）72°（3）略；（4）330（每问各2分）
24. (1) 连接OM ，则OM ＝OB
∴∠OBM=∠OMB
∵BM 平分∠ABC
∴∠OBM=
∴∠OMB=∠EBM
∴OM ∥BE
∴∠AMO=∠AEB
而在⊿ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线
∴AE ⊥BC
∴∠AMO=∠AEB=90°
∴AE 与⊙O 相切. ------------ 3分
(2) 在⊿ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线
∴BE=12 BC=2,∠ABC=∠ACB
∴在Rt ⊿ABC 中cos ∠ABC=cos ∠ACB=2AB =13
∴AB=6 --------------6分
设⊙O 的半径为r,则AO=6-r
∵OM ∥BC
∴△AOM ∽△ABE
∴OM BE =AO AB
即 r 2 =6-r 6
∴r=32 --------------8分
25.解：（1）300，250，150 （3分）
（2）判断：y 是x 的一次函数
设y =kx +b ，∵x =10，y =300；x =11，y =250，∴1030011250.k b k b +=⎧⎨
+=⎩，，解得⎩
⎨⎧=-=80050b k ∴y =－50x +800.
经检验：x =13，y =150也适合上述关系式，∴y =－50x +800. (5分)
（3）W =(x －8)y =(x －8)(－50x +800)=－50x 2+1200x －6400 ，
∵a =－50<0，∴当x =12时，W 的最大值为800 .
即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元. （8分）
26. 解：（1）作AB 的垂直平分线交BC 于点P 即为所求作；………（3分）
（2）①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，③作EC 的垂直平分线交BC于点F；………（7分）
∴Rt△DEF即为所求．………（8分）
27. 解：（1）由题意得B（6，0）C（0，3）
把B（6，0）C（0，3）代入
得解得
∴
∴D（4，-1）……………………（3分）
（2）可得点E（3,0）
OE=OC=3，∠OEC=45°
过点B作BF⊥CD，垂足为点F
在Rt△OEC中，
在Rt△BEF中，
同理，∴
在Rt△CBF中，
………………（7分）
（3）设点P（m，）∵∠PEB=∠BCD ∴tan∠PEB= tan∠BCD
①.P在x轴上方
∴解得
∴点P
②点P在x轴下方
∴解得
∴点P
综上所述，点P或
……………………（10分）
28、解：（1）由题意，得OA=6，OB=2．
当0<t<2时，OM=6-3t，ON=t．
若△ABO∽△MNO，则，即
．解得t=1．
若△ABO∽△NMO，则，即
．解得t=1.8．
……………………（3分）
综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．
……………………（4分）
（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND=OM．
∵直线y=x与x轴的夹角为450，∴OC平分∠AOB．
∴∠AOC=∠BOB．
∴
=．
∴C N=C M．
又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO=180°，∠DNC+∠CNO=180°，
∴∠CND=∠CMO．
∴△CND≌△CMO．
∴CD=CO，∠DCN=∠OCM．
又∵∠AOB=90°，∴MN为⊙O的直径．
∴∠MCN=90°．
∴∠OCM+∠OCN=90°．
∴∠DCN+∠OCN=90°．
∴∠OCD=90°．
又∵CD=CO，∴OD=OC．
∴ON+ND=OC．
∴
OM+ON=OC．……
………………（6分）
②当t >2时，ON-OM=OC．
过点C作CD⊥OC交ON于点D．
∵∠COD=45°，
∴△CDO为等腰直角三角形
∴
OD=OC．…
…………………（8分）
连接MC，NC．
∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN=90°．
又∵在⊙O中，∠CMN=∠CNM=45°，∴MC=NC．
又∵∠OCD=∠MCN=90°，∴∠DCN=∠OCM．
∴△CDN≌△COM．∴DN=OM．
又∵OD=OC．，∴
ON-DN=OC．
∴
ON-OM=OC．……………………（10分）。