江西省永丰县永丰中学2021届高三第一学期期中考试数学(文)试卷

永丰中学2020-2021学年度第一学期期中考试
高三数学（文科）试卷
命题人：邹腾 刘清海 时间：120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知}{0322≤--=x x x A ，{}
32+==x y y B ，则=⋂B A （ ） A.
1,2⎡⎤⎣⎦ B. 2,3⎡⎤⎣⎦ C. 3,3⎡⎤⎣⎦ D. 2,3⎡⎤⎣⎦ 2．已知复数满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设命题x x x p ln ,1:>>∀,则( )
A ．000ln ,1:x x x p >>∃⌝
B ．0
00ln ,1:x x x p ≤≤∃⌝
C ．000ln ,1:x x x p ≤>∃⌝
D ．000ln ,1:x x x p ≤<∃⌝
4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,2a a ==，则5S ＝（ ）
A. 0
B. 10
C. 15
D. 30 5．设0,0a b >>，若2是2a 与2b 的等比中项，则
19a b +的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2
6．将函数sin(2)3y x π=+的图象向左平移6
π个单位长度得到f （x ）的图象，则（ ） A ．()cos2f x x =
B ．()f x 的图象关于(,0)3π-对称
C ．73()3f π=
D ．()f x 的图象关于直线6
x π=对称 7．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，图象关于y 轴对称，当30x -≤≤时，2()(2)f x x =-+，则(2017)f =（ ）
A ．1
B ．2
C ．0
D ．﹣1 8．已知角满足2sin()263θπ+=，则cos()3
πθ+的值为（ ） A. 19- B.
45 C. 45 D. 19
9．已知平面向量,a b 满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )
A ．6π
B ．3π
C ．23π
D ．56π
10.函数ln ||
cos x y x x x 的部分图象大致为（ ）
A B C D
11. 已知奇函数()f x 在R 上是增函数且当0x ≥时()0f x ≥ ，()()g x xf x =．若()2log 5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A. a b c <<
B. c b a <<
C. b a c <<
D. b c a << 12,已知函数,01
()ln(2),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，若存在实数1x ，2x 满足1202x x ≤<≤，且
12()()f x f x =，则21x x -的最大值为（ ） A ．2e
B ．12e
- C ．1ln2- D ．2ln 4-
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知()1,2a =，()4,b k =，若()()2//3a b a b +-，则k =_________
14 已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞（a R ∈），()f x '为()f x 的导函数，(1)2f '=，则a =
15. 在△ABC 中，cos 2B 2＝a
＋c
2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长)，则△ABC 的形状为_______．
16.已知函数()f x 在定义域R 上可导，且'()cos f x x ≥，则关于x 的不等式()()2)24f x f x x ππ
≥--的解集为______.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17．（本小题满分10分）
已知0107:2
<+-x x p ，034:22<+-m mx x q ,其中0>m （1）若4=m 且q p ∧为真,求x 的取值范围;
（2）若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知(sin ,cos()),2
a x x π=-(2cos ,)
b x x =-，若()f x a b =． （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）求()f x 在区间[0,]3
π
上的最大值．
19.（本小题满分12分）
知函数f (x )＝lg 1＋ax 1－x (a >0)为奇函数，函数g (x )＝1＋x ＋b 1－x (b ∈R)． （1）求函数()f x 的定义域；
（2）当11
[,]32
x ∈时，关于x 的不等式f (x )≤lg [g (x )]有解，求b 的取值范围．
20. （本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，已知//AD BC ，1AD =，BD =4CAD π
∠=，
tan 2ADC ∠=-.
求：（1）CD 的长；
（2）BCD ∆的面积.
21．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()*12n n a S n +=+∈N ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令()()11211n n n n b a a -+=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：12
n T <．
22．（本小题满分12分） 已知函数211()ln (1)22
f x x x m x m =+-+++． （1）设2x =是函数()f x 的极值点，求m 的值；
（2）若对任意的(1,)x ∈+∞，
()0f x >恒成立，求m 的取值范围．
永丰中学2020-2021学年度第一学期期中考试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．C 2．D 3． C 4. C 5．B 6．B 7．D 8．D 9．C 10.A 11. C 12,B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．8 14 .2 15.直角三角形 16.[4
π，＋∞) 三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17．（1）4＜X ＜5 ……………… (5分) （2）5/3≤m≤2 ……………… (10分)
18．解：（1）3)3
2sin(2sin 32cos sin 2)(2-+=-=πx x x x x f ………(2分) 令223222ππππ
π+≤+≤-k x k 解得12
125ππππ+≤≤-k x k ……………… (4分) ∴)(x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-12,125ππππk k Z k ∈ ……………… (6分) （2） 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πx 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+πππ,332x ∴ 当232ππ=+x
……………… (8分) 即12π
=x 时,)(x f 取得最大值32- . ……………… (12分)
19.[解] (1)由f (x )＝lg 1＋ax 1－x
(a >0)为奇函数，得f (－x )＋f (x )＝0， 即lg 1－ax 1＋x ＋lg 1＋ax 1－x ＝lg 1－a 2x 2
1－x 2
＝0， 所以1－a 2x 21－x 2＝1，解得a ＝1(a ＝－1舍去)，故f (x )＝lg 1＋x 1－x
， ……………… (4分) 所以f (x )的定义域是(－1,1)． ……………… (6分)
(2)不等式f (x )≤lg g (x )有解，等价于1＋x 1－x ≤1＋x ＋b 1－x
有解，即b ≥x 2＋x 在⎣⎡⎦⎤13，12上有解， 故只需b ≥(x 2＋x )min ， ……………… (8分)
函数y ＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14在区间⎣⎡⎦⎤13，12上单调递增，所以y min ＝⎝⎛⎭⎫132＋13＝49
， 所以b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫49，＋∞ .……………… (12分)
20. （1）因为tan 2ADC ∠=-，所以sin 55
ADC ADC ∠=
∠=-． 所以πsin sin()4ACD ADC π∠=-∠-πsin()4
ADC =∠+
ππsin cos cos sin 44ADC ADC =∠⋅+∠⋅10
=， ……………… (4分)
在△ADC 中，由正弦定理得sin sin AD DAC CD ACD ⋅∠==∠． ……………… (6分)
（2）因为AD BC ， 所以cos cos 5
BCD ADC ∠=-∠=
． 在△BDC 中，由余弦定理2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅⋅∠，
得22350BC BC --=，解得7BC =， ……………… (10分)
所以117sin 77225BCD S BCD ∆=⨯∠=⨯= .……………… (12分) 21．解：（Ⅰ）*1(2)n n a S n +=+∈N ，①
当1n =时，2
12a S =+，即24a =， 当2n ≥时，12n n a S -=+，②
由①—②可得11n n
n n a a S S +--=-， 即12n n a a +=， ∴2222n n n
a a -=⨯= 2n ≥ ……………… (5分) 当1n =时，11
22a ==，满足上式，∴2n n a = *()n ∈N ………………
(6分) （Ⅱ）由（Ⅰ）得()()
1112111221212121n n n n n n b -++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭ ……………… (8分) ∴11111111111123372121221n n n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，∴12
n T <……………… (12分)
22．解：（Ⅰ）由题意，函数()()211ln 1(0)22
f x x x m x m x =+
-+++>， 则()11f x x m x '=+--，因为2x =是函数()f x 的极值点，所以()122102
f m +'=--=，故32
m =， 经检验 32m =时2x = 是函数()f x 的极值点 ……………… (5分)
（Ⅱ）由
()11f x x m x
'=+--， 当1m ≤时，()0f x '>，则()f x 在()1,+∞上单调递增， 又()10f =，所以()211ln 1022
x x m x m +-+++>恒成立； ……………… (8分)
当1m >时，易知
()11f x x m x
'=+--在()1,+∞上单调递增， 故存在()01,x ∈+∞，使得()00f x '=， 所以
()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()10f =， 则()00f x <，这与()0f x >恒成立矛盾.综上， 1m ≤. ……………… (12分)。