时间序列平滑预测法1

j t j =0 t −1 (1) 0
=0
S t(1 ) = α ∑ (1 − α ) j y t − j
j=0
n
ˆ y t +1 = S ˆ ˆ y t +1 = α y t + (1 − α ) y t
(1 ) t
有关α的讨论
1 2 3 α值越大修匀的作用越大,反之越小 如果时间序列波动不大,比较平稳,则 α应取小一点(0.1~0.3) 如果时间序列具有明显快速的变动趋势,则α值应取得大一点 (0.6~0.8) 4 实践中.可多取几个α值进行试算,看一下那个误差比较小,就用 哪个α值
二次指数平滑法
1) S t(1 ) = α y t + (1 − α ) S t(−1
S
(2) t
= αS
(1 ) t
+ (1 − α ) S
(2) t −1
ˆ y t + T = a t + btT a t = 2 S t( 1 ) − S t( 2 ) bt =
α
1−α
( S t( 1 ) − S t( 2 ) )
yt − M
(1 ) t
( n − 1) = bt 2
yt − M
(1 ) t
( n − 1) = bt 2 ( n − 1) = bt 2
(1) t
y t −1 − M
(1 ) t −1
yt − yt −1 = M
M t( 2 )
−M
(1) t −1
= bt
1) 1 M t(1) + M t(−1 + ... + M t(−)n +1 = n
α
2
[(6 − 5α )S
(1 ) t
− 2 (5 − 4α )S t( 2 ) + (4 − 3α )S t( 3 )
]
α2 [S t(1) − 2 S t( 2 ) + S t( 3) ] ct = 2 2 (1 − α )
差分指数平滑法
一阶指数-------指数平滑模型 序列呈直线增加时 指数平滑模型(序列呈直线增加时 一阶指数 指数平滑模型 序列呈直线增加时)
∇yt = yt − yt −1 yt +1 = yt +1 − yt + yt = ∇yt +1 + yt = (∇yt +1 − ∇yt ) + ∇yt + yt = ∇ yt +1 + ∇yt + yt
2
ˆ ˆ y t +1 = ∇ 2 y t +1 + ∇ y t + y t
年份 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1 2 3 4 5 6
第四章 时间序列平滑预测法
时间序列的概述 移动平均法 简单移动平均法 加权移动平均法 趋势移动平均法 指数平滑法 一次指数平滑法 二次指数平滑法 差分指数平滑法 一阶差分－指数平滑法 二阶差分—指数平滑法
时间序列的概述
时间序列:某种统计指标的数值,按照时间先后顺序排列 的数列 时间序列分析预测法:将预测目标的历史数据按时间的 先后顺序排列称为时间序列,然后分析它随时间的变化趋势 ,外推预测目标的未来值 时间序列按性质不同可分为: o 长期趋势 o 季节变动 o循环变动 o 不规则变动
ˆ ˆ y t +1 = α y t + (1 − α ) y t
1) S t(1) = α y t + (1 − α ) S t(−1
有关初始值的确定
1 当数据比较多时(20个以上),可用第一期的数据作为 初始值 2 如果数据比较少时,初始值对以后的预测值影响 比较大,一般以最初几期实际值的平均值作为预测值
∇yt = yt − yt −1 −1 yt +1 = yt +1 − yt + yt = ∇yt +1 + yt ˆ ˆ yt +1 = ∇yt +1 + yt
ˆ ˆ ∇yt +1 = α∇yt + (1 − α )∇yt
某工业企业1977~1986年锅炉燃料消耗量如表所示 年锅炉燃料消耗量如表所示 某工业企业 预测1987年的燃料消耗量 年的燃料消耗量(α=0.4) 预测 年的燃料消耗量
6.24 6.44 6.83 7.44 8.18 8.69 9.07 9.48
6.31 9.93 13.43 14.68 8.50 6.36 7.45
趋势移动平均法
用简单移动平均法和加权移动平均法,在时间序列没有明显 趋势变动时,能比较准确的反映实际情况,当有明显变化时, 将会出现滞后偏差,因此需要修正,修正的方法是作二次移动 平均 y t + y t −1 + ... y t − n + 1 (1 ) 一次移动平均为 M t =
S
(1) t
(1) t
= αyt + (1 − α ) S
(1) t −1
S = αyt + (1−α) αyt −1 + (1−α)S = αyt +α(1−α) yt −1 + (1−α) S
2 (1) t −2 2
[
(1) t −2
]
t (1) 0
= αyt +α(1−α) yt −1 +α(1−α) yt −2 +....+ (1−α) S = α∑(1−α) yt − j + (1−α) S
三次指数平滑法
1) S t(1 ) = α y t + (1 − α ) S t(−1
S t( 2 ) = α S t(1 ) + (1 − α ) S t(−21)
3 S t( 3 ) = α S t( 2 ) + (1 − α ) S t(−1)
ˆ y t + T = a t + bt T + c t T 2 a t = 3 S t(1) − 3 S t( 2 ) + S t( 3 ) bt = 2 (1 − α )
例:某市1976~1987年某种电气销售额如表, ˆ ˆ y t +1 = α y t + (1 − α ) y t 试预测1988年该电气销售额 ˆ ˆ ˆ 年份 t 销售额 (α=0.2 ) yt (α=0.5 ) yt (α=0.8 ) yt
1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 52 47 51 49 48 51 40 48 52 51 59 51 50.8 51.04 50.23 50.38 50.10 49.68 49.94 47.95 47.96 48.77 49.22 51 50.5 51.25 49.13 50.07 49.54 48.77 49.89 44.95 46.48 49.24 50.12 51 50.2 51.64 47.93 50.39 49.28 48.26 50.45 42.09 46.82 50.96 50.99
1 ˆ t − yt ) 2 均方误差 = ∑ ( y n
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 实际销量 200 135 195 198 310 175 155 130 220 275 3个月平均 5个月的平均
176.7 176 234.3 227.7 213.3 153.3 168.3 208.3
n y t + ( y t − b t ) + ... + [ y t − ( n − 1 ) b t ] = n ny t − [ + 2 + 3 + ... + ( n − 1 ) ]b t 1 = n n −1 = yt − bt 2
M
(1 ) t
=
y t + y t − 1 + ... + y t − ( n − 1 )
移动平均法
移动平均法:根据时间序列资料,逐项推移,依次计算包含 一定项数的序时平均数,以反映长期趋势的方法. 简单移动平均法 设有时间序列:
y
1
, y
2
, y
3
...
y
t
...
y t + y t −1 + ... y t − n + 1 Mt = N
T期移动平均数 移动平均的项数
M t −1
y t −1 + y t − 2 + ... y t − n = N
yt − yt −n M t = M t −1 + n
yt − yt − n M t = M t −1 + n
令M t −1 = yt − n yt 1 M t = + (1 − ) M t −1 N N 1 (1) 令, S t −1 = M t , 令 = α N
1) S t(1) = α y t + (1 − α ) S t(−1
预测值
ˆ yt +1
24 26 27 30 32 33 36 40 41 44
2 1 3 2 1 3 4 1 3
2 1.6 2.16 2.10 1.66 2.20 2.92 2.15 2.49
28 28.6 32.16 34.10 34.66 38.20 42.92 43.15 46.49
7 8 9 10 11
t
燃料消耗 量 yt
∇y t
2 1 3 2 1 3 4 1 3
∇ yt
2
预测值
24 26 27 30 32 33 36 40 41 44
7 8 9 10 11
yt yt −1 + ... + yt −n+1 + yt −n yt −n Mt = + − n n n
yt − yt −n M t = M t −1 + n
M
t
=
ˆ y
t + 1
某市 86 年 1—11 月小五金销售额如下： 月 份 销 售 额 分别以三个月和五个月移动平均法，预测 11 月份的销售额 200 135 195 198 310 175 155 130 220 275 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二阶差分-----指数平滑法
当时间序列呈二次曲线增长
∇ y t = y t − y t −1 ∇ 2 y t = ∇ y t − ∇ y t −1 ˆ ˆ ∇ y t +1 = α ∇ y t + (1 − α )∇ y t
2 2 2
ˆ ˆ y t +1 = ∇ 2 y t +1 + ∇ y t + y t
207.6 202.6 198.6 193.6 211.6 222.6
加权移动平均法
w1 yt + w2 yt −1 +...+ wn yt −n+1 Mtw = w1 + w2 +...+ wn
ˆ yt +1 = Mtw
例: 我国1990－1999年原煤产量如下,试用加权移动平均 法预测2000年的产量( w1 = 3, w2 = 2, w3 = 1 ) 年份 1900 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 产量 6.35 6.20 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 9.28 9.80 3年加权移动平均值 相对误差 (%)
M
(1 ) t
− M
(2) t
n −1 = bt 2
at = 2M − M
(1) t
(2) t
2 (1) (2) btቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= (Mt − Mt ) n −1
指数平滑法
一次指数平滑法 设时间序列为: y 1 , y
2
, y 3 ......
y t ...
y t + y t −1 + ... y t − n + 1 Mt = N M t −1 y t −1 + y t − 2 + ... y t − n = N
N
二次移动平均为
M t( 2 )
1) 1 M t(1) + M t(−1 + ... + M t(−)n +1 = n
M
( 2) t
=M
( 2) t −1
+
M
(1) t
−M n
(1) t −n
设时间序列从某时期开始具有直线趋势,未来已按此 趋势变化
ˆ yt +T = at + btT
at = yt y t −1 = y t − b t y t − 2 = y t − 2 bt ... y t − n + 1 = y t − ( n − 1) b t
ˆ ˆ y t +1 = ∇ y t +1 + y t
ˆ ˆ ∇yt +1 = α∇yt + (1 − α )∇yt
年份 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1 2 3 4 5 6
t
燃料消耗 yt 量
差分
∇y t
ˆ ∇yt +1