济南市外国语部数学高二下期中知识点复习(课后培优)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如
下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）
A ．1()2sin()2
6
f x x π
=+ B ．1()2sin()2
6f x x π
=-
C ．()2sin(2)6
f x x π=-
D ．()2sin(2)6
f x x π=+ 2．(0分)[ID ：13585]已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．
1
6
B ．
13 C ．
23
D ．
56
3．(0分)[ID ：13550]函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0>ω， 2
π
ϕ<
）
的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）
A ．()sin 3f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．()sin 43f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭ C ．()sin 6f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．()sin 46f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
4．(0分)[ID ：13618]已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．(0分)[ID ：13617]已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，4
2π
πα<<，则cos sin αα-的值是（ ）
A ．
3
2
B ．3
C ．
34
D ．34
-
7．(0分)[ID ：13573]已知1
sin cos 2
αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A 7 B ．7C ．7D ．12
±
8．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆
222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大
值为60︒，则r 的值为（ ） A ．2
B ．1
C ．25
D 59．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ωϕωϕ=>≤=-
，
为()f x 的零
点，4
x π
=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π
(
)1836
，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7
D ．5
10．(0分)[ID ：13562]函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12
π
个单位，得到的图
象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
12
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π 11．(0分)[ID ：13546]将函数()cos 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8
π个单位后得到函数
()g x 的图象，则()g x （ ）
A ．为奇函数，在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．最大值为1，图象关于直线2
x π=
对称
12．(0分)[ID ：13542]以下命题
①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；
②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
13．(0分)[ID ：13540]已知ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=
且
sin cos 4
B B =
ABC ∆是（ ） A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形或直角三角形
D ．直角三角形或等腰三角形
14．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向右平移4π个单位，得到函
数()g x 的图象，则2g π⎛⎫
⎪⎝⎭
（ ）
A
B ．2
C ．
D ．0
15．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．以上都不对
二、填空题
16．(0分)[ID ：13719]设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解b
x a
=-
；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号)
17．(0分)[ID ：13718]如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹
角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且1OA OB ==，23OC =，若
(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则(x ,y )=___________.
18．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．
19．(0分)[ID ：13710]已知在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足
PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是_____．
20．(0分)[ID ：13699]向量||8a =，b 12=，则b a +的最大值和最小值的和是________.
21．(0分)[ID ：13698]若1e ，2e 是两个不共线的向量，已知12AB 2e ke =+，
12CB e 3e =+，12CD 2e e =-，若A ，B ，D 三点共线，则k =________.
22．(0分)[ID ：13666]设a b ，为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值是____________． 23．(0分)[ID ：13653]已知3cos 63
πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________ .
24．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.
25．(0分)[ID ：13629]设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若
FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______． 三、解答题
26．(0分)[ID ：13822]已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2
ϕπ
<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6
x π
=
是函数()f x 的对称轴；
③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域.
27．(0分)[ID ：13754]已知在平行四边形ABCD 中，3
A π
∠=，边,AB AD 的长分别为
2,1，若,M N 分别是,BC CD 上的点，
（1）若,M N 分别是,BC CD 上的中点，求AM AN ⋅的值； （2）若点,M N 满足
BM CN BC
CD
=
，求AM AN ⋅的取值范围.
28．(0分)[ID ：13744]设122018PP P ⋯是半径为l 的圆O 内接正2018边形，M 是圆上的动点．
（1）求122334201720181PP P P P P P P PM +++⋯+-的取值范围； （2）求证：2
2
2
122018
MP MP MP ++⋯+为定值，并求出该定值． 29．(0分)[ID ：13803]已知点()0,2A ，()4,6B ，12OM t OA t AB =+，其中1t ，2t 为实数：
（1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围； （2）求证：当1
1t =时，不论2t 为何值，A ，B ，M 三点共线；
（3）若2
1t a =，OM AB ⊥，且三角形ABM 的面积为12，求a 和2t 的值.
30．(0分)[ID ：13781]已知函数2()2sin cos 3(2cos 1)f x x x x =+-． （1）若△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b ，c ，锐角A 满足
(
)326
A f π
-=A 的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
2．C
3．A
4．D
5．B
6．B
7．A
8．D
9．B
10．B
11．D
12．B
13．A
14．A
15．A
二、填空题
16．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有
17．(42)【解析】【分析】以OC为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC 为对角线作平行四边形则有所以在Rt△MO
18．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义
可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量
19．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应
20．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键
21．-8【解析】【分析】计算得到根据共线得到代入计算得到答案【详解】则；ABD三点共线故即解得故答案为：【点睛】本题考查了根据向量共线计算参数意在考查学生的计算能力
22．【解析】试题分析：因为向量满足所以当所以＋≤＝当且仅当＝即时等号成立所以的最大值考点：1平面向量模的运算性质；2平面向量的运算
23．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题
24．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角
25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】
由函数的图象得524126
A T ππ
π==⨯
-=，（）， 即2 π
πω
=， 则2ω=，
则22f x sin x ϕ=+（）（） ，
22266
f sin ππ
ϕ=⨯+=（）（），
则13sin
π
ϕ+=（）， 则 232
k ππ
ϕπ+=+，
则26
k k Z ，，π
ϕπ=+∈
∵2
π
ϕ<
，∴当k=0时，6
，π
ϕ=
则函数()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． 故选D. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案 【详解】
2
22
22211cos sin cos sin 42222cos cos sin πααααααα⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11
222sin α=
+， 1
23
sin α=，
21124263cos πα⎛
⎫∴-=+= ⎪⎝
⎭，
故选C 【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础
3．A
解析：A 【解析】
由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6
π
-
，所以3
π
ϕ=
，即
()sin(2)3
f x x π
=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3
f x x π
=+，故选A.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由题知，
．若
，
，选项C 满足；若，，
，其中
，，函数周期
，选项A 满足；若，
，
，其中
，
，函数周期，选项B 满足；若
,则
，且周期为
．而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是
D ．
故本题正确答案为D ．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用三角函数的定义，可确定0y >且0x <，进而可知θ所在的象限，得到结果. 【详解】
依据题设及三角函数的定义
可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.
6．B
解析：B 【解析】
22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()2
13cos 144
sin αα∴-=-=，
,cos sin 4
2
2
π
π
ααα<<
∴-=-
，故选B. 7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案． 【详解】 ∵12
sin cos αα-=
， ∴2
1(sin cos )12sin cos 4
αααα-=-=, ∴3
sin cos 08
αα=>， ∴02
π
α<<
， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，
∴sin cos 2
αα+====
故选A ． 【点睛】
解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而
sin MC r MPC PC PC
∠=
=，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案.
【详解】 结合题意，绘制图象如下：
当MPN ∠取得最大值时，
则MPC ∠取得最大值，
而sin MC r MPC PC PC
∠=
=， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值. 故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，
故222521d ==+ 故1sin 302
25r PC ==︒=，解得5r = 故选：D .
【点睛】 本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 9．B
解析：B
【解析】 【分析】
根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π
=-为f （x ）的零点，x 4π
=为y ＝f （x ）
图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536
π）上单调，可得ω的
最大值．
【详解】
∵x 4π=-
为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴， ∴2142n T π+⋅=，即21242
n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ）
即ω为正奇数，
∵f （x ）在（
18π，536π）上单调，则53618122
T πππ-=≤， 即T 26
ππω=≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114
π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2
π≤， ∴φ4
π=-， 此时f （x ）在（18π，536
π）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，94
π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2
π≤， ∴φ4
π=， 此时f （x ）在（18π，536
π）单调，满足题意； 故ω的最大值为9，
故选B ．
【点睛】 本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.
10．B
解析：B
【解析】
函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动
12π个单位得到：()2sin(3)4
f x x πϕ=+-图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故424
k k πππϕπϕπ-=-⇒=-，所以ϕ的最小值为4
π 11．D
解析：D
【解析】 ()cos 2()cos 284g x x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣
⎦，值域为[]1,1-，为偶函数，选项A 排除；周期22T ππ==，令222,k x k k Z πππ-<<∈，,2
k x k k Z πππ-<<∈，故单调增区间为(,)()2k k k Z π
ππ-∈，令222,k x k k Z πππ<<+∈，,2k x k k Z π
ππ<<+∈，单调减区间为(,)()2k k k Z π
ππ+∈，函数()g x 在3(,)88
ππ-上无单调性，选项B 排除；令2,2x k k Z π
π=+∈，,24k x k Z =+∈ππ，所以对称中心为(,0)24
k ππ+，当31,2484k k πππ+==，不符合，排除C 选项；令2,,2
k x k k Z x k Z ππ=∈=∈，，当1,2k x π
==是函数()g x 的一条对称轴，选项D 正确。

点睛：本题主要考查函数()cos2g x x =的图象和性质，包括最值，单调性，周期性，奇偶性，对称性等，属于中档题。

12．B
解析：B
【解析】
【分析】
①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论；
②利用基底的定义即可判断出真假；
③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假．
【详解】
①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，
||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；
②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面，
则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立，
即()a b xb x y c ya +=+++，
所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解，
假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，
则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确；
③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1，
因此不正确．
其中正确的命题有一个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．A
解析：A
【解析】
【分析】
由tan A +tan B =tan A tan B ，推导出C ＝60°，由sin cos B B =，推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状．
【详解】
∵tan A +tan B =tan A tan B ，
即tan A +tan B =1﹣tan A tan B ），
∴
1tanA tanB tanAtanB
+=-tan （A +B ）=A 与B 都为三角形的内角， ∴A +B ＝120°，即C ＝60°，
∵sin cos B B =，∴sin2B =, ∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60°.
由题意知90A ≠︒
∴△ABC 等边三角形．
故选A ．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．
14．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】
由题函数()2sin 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4
π个单位，得到函数()g x 的图象， 所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
所以2g π⎛⎫ ⎪⎝⎭32sin 2sin 44πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭
. 故选：A
【点睛】
此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.
15．A
解析：A
【解析】
【分析】 根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形.
【详解】
由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦
，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220AB
AC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三
角形.
故选：A
【点睛】 本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题
16．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案
【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有
解析：①④
【解析】
【分析】
利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案.
【详解】
因为a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，则由共面向量定理可得：a b c ，，共面时，有且仅有一对有序实数对(),m n 使得c ma nb =+成立；则由①可化简为()()2c x a x b =-+-，且a b c ，，共面可得有序实数对()2
,x x --有唯一解，即方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解正确；由①的分析可得方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则②的说法方程
20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥不正确；化简
22220a x a bx b +⋅+=可得()20ax b +=，则()20ax b +=即得b xa =-，因为向量a b ，不共线，所以b xa =-无实数解，即方程22220a x a bx b +⋅+=无实数解，所以③不正确，④正确.
综上可得：①④正确.
故答案为：①④.
【点睛】
本题考查了共面向量定理和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题.
17．(42)【解析】【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案
【详解】如图所示以OC 为对角线作平行四边形则有所以在Rt △MO
解析：(4,2)
【解析】
【分析】
以OC 为对角线作如图所示的平行四边形，
由题中角度关系可得出||4||4,||2||2ON OA OM OB ====；然后由向量加法的平行四边形法则得出OC ON OM xOA yOB =+=+，则可得出4,2x y ==，进而得出答案()(),4,2x y =.
【详解】
如图所示，以OC 为对角线作平行四边形，则有MON 120∠︒=，MOC 90∠︒=， MCO NOC 30∠∠︒==，所以在Rt △MOC 中，由||23OC =OM OC tan 302︒==， ON MC 2OM 4===；由向量加法的平行四边形法则可得OC ON OM =+，又因OC xOA yOB =+，得出ON xOA =，OM yOB =，
0,0x y >>，则有||||ON x OA =，||||OM y OB =，则由以上等式可解的
4,2x y ==，所以()(),4,2x y =.
故答案为：()4,2.
【点睛】
本题考查了向量平行四边加法法则的应用，考查了特殊直角三角形边长的求解，属于一般难度的题.
18．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量 解析：16-
【解析】
【分析】
取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解.
【详解】
如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：
因为O 为ABC ∆的外心
所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅ cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅
221122
AC AB =- 218=-
16=-，
即16AO BC ⋅=-，
故答案为：16-.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中
档题.
19．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应 解析：2:3
【解析】
【分析】
根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点，从而可求PBC ∆与ABC ∆的面积之比．
【详解】
因为PA PB PC AB ++=，所以2PC AB PB PA AB BP AP AP =--=++=，所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点，所以PBC ∆和ABC ∆的面积之比为2:3． 故答案为：2:3．
【点睛】
本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题.
20．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键
解析：24
【解析】
【分析】
计算得到2||208192cos a b θ+=+，取cos 1θ=，cos 1θ=-得到最大最小值得到答案.
【详解】
222||2208192cos a b a b a b θ+=++⋅=+
当cos 1θ=时，||a b +有最大值为20；当cos 1θ=-时，||a b +有最大值为4； 故答案为：24
【点睛】
本题考查了向量模的最值，计算2||208192cos a b θ+=+是解题的关键.
21．-
8【解析】【分析】计算得到根据共线得到代入计算得到答案【详解】则；ABD 三点共线故即解得故答案为：【点睛】本题考查了根据向量共线计算参数意在考查学生的计算能力
解析：-8
【解析】
【分析】
计算得到12e 4e BD CD CB =-=-，根据共线得到AB BD λ=，代入计算得到答案.
【详解】
123CB e e =+，122CD e e =-，则12e 4e BD CD CB =-=-；
A ，
B ，D 三点共线，故AB BD λ=，即()
121224e ke e e λ+=-解得2,8k λ==- 故答案为：8-
【点睛】
本题考查了根据向量共线计算参数，意在考查学生的计算能力. 22．【解析】试题分析：因为向量满足所以当所以＋≤＝当且仅当＝即时等号成立所以的最大值考点：1平面向量模的运算性质；2平面向量的运算
解析：【解析】
试题分析：因为向量c 满足()c a b a b -+=-，所以()a b c a b c a b -=-+≥-+，当所以c a b ≤+＋a b -≤22||)a b a b ++-＝222(22)22a b +=，当且仅当a b +
＝a b -，即a b ⊥时等号成立，所以c 的最大值
考点：1、平面向量模的运算性质；2、平面向量的运算．
23．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题
解析：23
+ 【解析】 分析：由同角三角函数关系得222sin 11666cos cos πππααα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-
=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，诱导公式得5cos cos π cos 66
6πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，进而得解.
详解：由cos 63πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，得22212sin 11166633cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
5cos cos π cos 6663πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
所以25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫-
-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为：23
+.
点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.
24．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角 解析：[]0,4
【解析】
【分析】
以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围.
【详解】
以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,
、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -. ()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，
4AD AM a ∴⋅=-，10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是[]0,4.
故答案为：[]0,4.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB
解析：6
【解析】
【分析】
由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得
2123
3
y y y ++=
， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】
由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴2123
3
y y y ++=
，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．
三、解答题 26．
（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03
x π
≤≤得到
526
6
6
x π
π
π
≤+
≤
，得到函数值域. 【详解】 （Ⅰ）由①可得，
22π
πωω
=⇒=；由②得：
6
2
2
6
k k πω
π
π
πω
ϕπϕπ+=+
⇒=+
-
，
k Z ∈；
由③得，44
m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633
T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
若①③成立，则4
2m m πω
π
ϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意，
若②③成立，则2
6
4
k m π
πω
πω
ππ+
-
=-
12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，
与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立，
所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. （Ⅱ）由题意得，51
02()13
6
6
62
x x f x π
π
π
π≤≤
⇒
≤+
≤
⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
27．
（1）
15
4
;（2）[2,5] 【解析】 【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标， （1）根据坐标直接求出数量积； （2）通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，
则(2,0),(0,0)B A ，13()2D ，53
(2C ， （1）因为,M N 分别是,BC CD 上的中点，
9333
((42M N ∴，
9333(,),(,442AM AN ∴==，
933327315
(()42884
AM AN ∴⋅=⋅=+=；
（2）设
||||||||
BM CN BC CD ==,[0,1]λλ∈， 3532,,2,2222M N λλλ⎛⎫⎛+- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
所以2
3532,
2,252
222AM AN λ
λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=+
⋅-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 因为[0,1]λ∈，二次函数的对称轴为：-1λ=，
2222250205=5251215=2λλλλ∴--+≤--⨯+--+≥--⨯+，
所以AM AN ⋅的取值范围是[2,5]． 【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，是中档题．
28．
（1）[0]2，
（2）证明见解析，该定值为4086 【解析】 【分析】
（1）推导出1223342017201811201812018||||||PP P P P P P P PM PP PM MP +++⋯+-=-=，由此能求出12233420172181||PP P P P P P P PM +++⋯+-的取值范围． （2）推导出1220180OP OP OP ++⋯+=，从而
2
2
2
222
122018122018...()()()
+++=-+-+⋯+-MP MP MP OP OM OP OM OP OM (
)
222
2
122018
1220182()2018OP OP OP OM OP OP OP OM =++⋯+-⋅++⋯++，由此能证
明2
2
2
122018MP MP MP ++⋯+为定值，并能求出该定值． 【详解】
（1）因为122018PP P ⋯是半径为l 的圆O 内接正2018边形，M 是圆上的动点
122334201720181
||PP P P P P P P PM ∴+++⋯+- 1201812018||||=-=PP PM MP ， 122334201720181
||PP P P P P P P PM ∴+++
+-的取值范围是[0]2，．
（2）把122018,,,OP OP OP 这
2018个向量都旋转22018
π
后，122018,,,OP OP OP 不变，
∴和向量旋转
22018
π
弧度后也不变， 1220180OP OP OP ∴++
+=，
2
2
2
122018MP MP OP ∴++⋯+(
)
2
2
2
2122018()()OP OM OP OM OP OM =-++⋯+-- (
)222
2
22018
1
2
2018
1...2()2018=+++-⋅++⋯++OP OP OP OM OP OP OP
OM
12201820182()2018OM OP OP OP =-⋅++++
=40201820201886=-⋅+OM . 【点睛】
本题考查向量和的模的取值范围的求法，考查向量的平方和为定值的证明，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于常考题型．
29．
（1）20t <且21t ≠-，（2）证明见解析；（3）2a =±，21t =-. 【解析】 【分析】
（1）由向量加法的坐标运算及点所在的象限求解即可； （2）由向量的减法运算及向量共线证明即可；
（3）由向量垂直的坐标运算及三角形的面积公式求解即可. 【详解】
解：（1）因为点()0,2A ，()4,6B ，12OM t OA t AB =+， 所以()122124,24OM t OA t AB t t t =+=+， 又12t =，则()224,44OM t t =+，
又点M 在第二或第三象限，则2240
440
t t <⎧⎨+≠⎩，即20t <且21t ≠-；
（2）当1
1t =时，因为2OM OA t AB =+,
所以2OM OA t AB -=，即2AM t AB =, 即AM
AB ,
又,AM AB 共点,A 故A ，B ，M 三点共线；
（3）因为()4,4AB =，2
1t a =，
由（1）有(
)
2
224,24OM t a t =+，
又OM AB ⊥，
则2
224(4)4(24)0t a t ⨯+⨯+=， 即2
214
t a =-
， 所以(
)22
,OM a a =-，
又42AB =,
点M 到直线:20AB x y -+=
的距离21d ==-，
又三角形ABM 的面积为12，
则
21
1122
⨯-=， 解得：2a =±，此时2
2114
t a =-=-. 【点睛】
本题考查了向量加法的坐标运算及向量数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属中档题.
30．
（1）πA 3=；（
2）4
． 【解析】 【分析】
（1）将()f x 化简为()π2sin 23f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，代入26A f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
A ；（2）根据正弦定理求得a ，再结合余弦定理，利用基本不等式求得最值. 【详解】
（1）
()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==+
⎪⎝
⎭
2sin 22sin 26263A A f A πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A 为锐角
3
A π
=
（2）
ABC ∆的外接圆半径为11
由正弦定理得：
22sin a
R A
== 2sin 2sin
23
a A π
∴====
由余弦定理：222
π2cos
3
a b c bc =+- 得：2232b c bc bc bc bc =+-≥-= 即3bc ≤（当且仅当b c =时取等号）
则三角形的面积11sin 322S bc A =
≤⨯=
（当且仅当b c =时取等号）
故三角形面积最大值为4
【点睛】
本题考查三角函数式的化简、正余弦定理解三角形、三角形面积最值问题.解决面积最值问题的关键是能够根据公式将问题变为长度之积的最值问题，从而利用基本不等式求得结果.。