天津市七校静海一中宝坻一中杨村一中等2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题20190327

2018～2019学年度第一学期期末六校联考
高二数学
一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）
12i
z
i z
1．复数，则（）
1i
A．0 B．C．1 D．
2．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（）
a a
n8
A．16 B．15 C．14 D．13
3．下列叙述中正确的是（）
A．若a,b,c R，则“x R,ax2bx c 0”的充分条件是“b24ac 0”
B．若a,b,c R，则“ab2cb2”的充要条件是“a c”
C．命题“x R,x20”的否定是“0,020”
x R x
D ．a 是等比数列，则0q 1
是为单调递减数列的充分条件
a
n n
x y
22
4．已知直线22x y 420经过椭圆1(0)的左焦点，且与椭圆在
a b F
1
a b
22
第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且MN ，则椭圆
F MF
22的方程为（）
x y2x
222
x
A．1B．y21C．y21
D．
404510
x y
22
1
95
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E 到平面ACD1的距离为（）
A．B．2 3
1
C．D．
3
2
6．已知，，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1
7．已知函数是定义在R上的偶函数，当x0时，xf'(x)f(x)，若，则不等式x f(x)0的解集为（）
A．或B．或
C．或D．或
x y x2y2a2
22
8．过双曲线1的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛
a b
22
1
物线y24cx于点，若F E F P，则双曲线的离心率是（）
11
2
A．15B．13C．D．
355
2222
二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）
x y
22
1
9．已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.
5k42k
10．设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若
，则__________.
11．在正四面体P ABC中，棱长为2，且E是棱中点，则PE BC的值为__________.
11
4a2b b
1
12．已知，，且，则的最小值等于__________.
a b a
13．设抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为l.过焦点的直线分别交抛物线于A,B 两点，分别过A,B作l的垂线，垂足为C,D.若AF3BF，且三角形CDF的面积为
3p
，则的值为___________.
e
x
x3
14．已知函数f(x)3k ln x k(1x)，若是函数唯一的极值点，则实数的
x
3
取值范围为__________.
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）数列的前项和为，已知a11，. 其中
(2n 1)a (2n 3)S
n1n n N*
S
n
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
2n1
2
（Ⅱ）求数列
的前 项和
.
S
n
16．（13分）已知函数 f (x ) ln(x a ) x 2 x 在 x 0 处取得极值.
（Ⅰ）求函数 f (x ) 在点 (1, f (1))处的切线方程；
5
f (x ) x b
（Ⅱ）若关于 的方程
在区间
上恰有两个不同的实数根，求实数 的取值
2
范围.
17．（13分）在如图所示的多面体中， EA 平面 ABC ， DB 平面 ABC ， AC BC ，且
AC BC BD 2AE 2 M
AB
，
是
的中点.
（Ⅰ）求证：CM
EM ；
（Ⅱ）求平面 EMC 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值； （Ⅲ）在棱 DC 上是否存在一点 N ，使得直线 MN 与
平面 EMC 所成的角是 60. 若存在，指出点 N 的位置；
若不存在，请说明理由.
1
18．（13分）已知数列a 满足
a 1 1， a
1 ，其中
a
a 1
1 a
1 n
n 1
4a
n
n N *
2
（Ⅰ）设
，求证：数列
b
b
是等差数列，并求出
a 的通项公式；
n
n
n
2a 1
n
4a
（Ⅱ）设
，数列
c
c c
的前 n 项和为T n ，是否存在正整数 m ，使
1
c
c
m
m 1
得
n T
n n n2
n1
n 对于n N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.
x y1
22
e A4,0 19．（14分）已知椭圆C：221(a b0)的离心率，左顶点为，过
a b2
点A作斜率为k k0的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E. O点为坐标原点.
3
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k k
0都有OP EQ，若存
在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
OM
（Ⅲ）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最大值.
AD AE
20．（14分）已知函数f(x)ln x 2x ax2，a R.
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）设g(x)f(x)(a 4)x，试讨论函数g(x)的单调性；
（Ⅲ）当时，若存在正实数满足f(x1)f(x2)3x1x2x1x2，求证：
x x 121
2
.
4
天津市部分区 2018～2019学年度第一学期期末六校联考
高二数学参考答案
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A
1
且
1
6 4 3
6
5 k 2 k k
9．
10．2 11．
12．
13．
14．
3
2
e
3
27
15． （Ⅰ）证明：∵ ，∴
，
∴ ， 又
，∴
，
∴数列
是以 1为首项，2为公比的等比数列.…………… …………… 6分
（Ⅱ）由（1）知， ，
∴ ，
∴
，① . ②
①-②得
，
∴ .
…………… …………… 7分
16． （Ⅰ） 时， 取得极值， 故
解得
.经检验
符合题意。

Q f (1) ln 2 2 '(1) 5
f
2 切线方程为：5x 2y
1
2ln 2
………………………… 6分
5
（Ⅱ）由知，
得
令
则在上恰有两个不同的实数根，
等价于上恰有两个不同实数根.
当时，，于是上单调递增；
当时，，于是在上单调递增；
依题意有
解得. …………………………7分
17．（Ⅰ）证明：∵AC BC，M是AB的中点，∴CM AB，
又EA平面ABC，∴CM EA，
∵EA AB A，∴CM平面AEM，
∴CM EM．………………………… 3分
（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M xyz．则：
M C0, 2,0B2,0,0D2,0, 2E2, 0,1 0, 0, 0
，，，，，
ME2, 0,1MC0, 2,0BD0,0, 2BC2, 2,0
，，，，
2x z0
m x y z
设平面EMC的一个法向量，则：，
1 1
1, 1, 1 {
2y0
1
z
m1, 0,
2取x1 1， 1 0 ，，所
以，
y
1 2
n x y z
2 , 2 , 2 设平面
DBC的一个法向量，则：
2x2y0,
{ 2 2
2y0,
2
取x1 1， 1 1， 1 0 ，所以，
y
z n1,1, 0
6
cos
m n
1
6
m n
m n 2 3
6
．
故平面 EMC 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值为 30 ． …………… …………… 5分
6
（Ⅲ）在棱 DC 上存在一点 N ，使得直线 MN 与平面 EMC 所成的角是 60，
设 N x , y , z
且
DN
DC ，
1
，
∴x 2, y , z
2
2, 2,
2
，
∴ x
2 2
， y
2 ， z
2 2 ，∴ MN
2
2, 2
,2 2
，
若 直 线 MN 与 平 面 EMC 所 成 的 的 角 为 60， 则 ：
2 2
2 2 2
3
cos MN ,m
sin60
2
3 2 1
2
4 1
2
2
2
，
1
解得
，
2
所以在棱 DC 上存在一点 N ，使直线 MN 与平面 EMC 所成的角是 60，
点 N 为棱 DC 的中点． …………… …………… 5分
18．（Ⅰ）证明：
2
2 2 2 4a
2
b b
n
n
n
1
2a
1 2a 1
1
2a 1 2a 1 2a 1 n
n
2 1
1 n n n
1
2
，
所以数列
b 是等差数列，
n
a
b ，因此 2
1 2 2
1
1, 1 2 b
n
n ，
n
2 n 1
b
a 由
2a
1
2n
n
n
n
.
…………… …………… 6分
4
1
1
2 c
c c
2(
)
（Ⅱ）由
，
n n
2
n n 2 n n
2 n n
T
所以
n
1 1 1 1 1
1 1 21
，
3 2
4 n 1 n 1 n n 2 T
所以
n
1 1 1
21
2 n 1 n 2
， 7
因为 n
N ，所以T n
3恒成立，
1
T
依题意要使
对于 n
N *
，恒成立，只需 n
c
c
m
m 1
m m 1
4
，且 m 0解得 m
3 ， 3
的最小值为3. …………… …………… 7分
m
19．（Ⅰ）∵左顶点为 A
4, 0
∴ a 4
1 e c
2 又∵
∴
2
x
y
2
2
又∵b 2 a 2 c 2 12 ∴椭圆C 的标准方程为
1．…………… ……3分
16 12
x
y
2
2
1
2
x
2
k x 4
（Ⅱ）直线l 的方程为 y k x 4
，由
消元得
{ 16 12
1
16 12
y k x 4
化简得，
，则
x
k x k 4 4
3
16
12
0 2
2
16k 12
2
x
4, x
1
2
2
4k 3
2
16k 2 12
16k 12
24k y
k
24k 34k 3
22
∴
2
16k1224k
D，
4k34k3
22
∵点P为AD的中点
2
16k12k3，
k
k
∴点P 的坐标为
，则. 4k34k34k
22op
直线l的方程为y k x 4，令x 0，得点E的坐标为0，4k，假设存在定点
k k
3•n 4k
1 Q m n m
OP EQ1
,
使得,则，即恒成立，
OP EQ
4k m
∴4m 12k 3n 0恒成立
4m 120
m
{{∴即
3n 0
n
-3 0
∴定点Q 的坐标为3，0. ………………………… 5分
（Ⅲ）∵OM//l
8
x
y
2
2
1
∴OM 的方程可设为 y kx ，由{16 12
得
点的横坐标
为
M
y kx
x
4 3 4k
3
2
由OM A l ，得
16k
12
2
8
AD AE
k
k
x
x
x
x
x
2x
4
3
1 4
9 2
2
D
A
E
A
D
A
OM x
x
4 3 3
4k
3
2
M
M
4k
3
2
1 6
2
4k 3
2 2
3 4
3 2
k
， 6
3
4k
3
2
k
当且仅当
即
时取等号，
4k
3
2
2
AD
AE
∴当
3 时， 的最小值为
．
k
2 2
OM
2
f x ax
x
因为在处取得极值，
所以f'(1)122a0，解得3．
a
2
3
a
验证：当时，在处取得极大值．………………………3分
2
（Ⅱ）解：因为g(x)f(x)(a4)x ln x ax2(a2)x
所以．
①若，则当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，
9
在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减．………………………… 5分
（Ⅲ）证明：当时，f(x)ln x2x ax2，
因为f(x1)f(x2)3x1x2x1x2，
所以，
即，
所以．
令，，
则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．
所以，
即，所以或．
因为为正实数，所以．
当时，，此时不存在满足条件，
所以．………………………… 6分。