沪科版八年级下册数学第17章 一元二次方程 整合提升密码

专训 全章热门考点整合应用
名师点金：
一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．本章热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关系，一个应用，三种思想．
两个概念
概念1：一元二次方程的定义
1．当m 取何值时，方程(m －1)x ＋3＝0是关于x 的一元二次方程？
概念2：一元二次方程的根
2．(中考·兰州)若一元二次方程ax 2－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________．
3．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0162 015c 的值．
一个解法——一元二次方程的解法
4．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为( ) A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0
C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2
5．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是( )
A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝3
6．选择适当的方法解下列方程：
(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；
(2)x2－6x－6＝0；
(3)6 000(1－x)2＝4 860；
(4)(10＋x)(50－x)＝800；
(5)(中考·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
两个关系
关系1：一元二次方程的根的判别法
7．(中考·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
8．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
关系2：一元二次方程根与系数的关系
9．已知α，β是关于x的一元二次方程2＝0的两个不相等的实数
根，且满足1
α＋
1
β
＝－1，则m的值是( )
A．3 B．1
C．3或－1 D．－3或1
10．(中考·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p 为实数．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．
11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？
一个应用——一元二次方程的应用
12．(中考·湖州)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
(1)该市的养老床位数从底的2万个增长到底的2.88万个，求该市这两年(从底到底)拥有的养老床位数的年平均增长率；
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床
位多少个？
13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？ (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.”他的说法对吗？请说明理由．
三种思想 思想1：整体思想
14．已知x ＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根，求代数式2a 4＋a 3＋2a 2＋2a ＋1的值．
思想2：转化思想
15．解方程：()2x ＋12－3()2x ＋1＝－2.
思想3：分类讨论思想
16．已知关于x 的方程x 2
－()2k ＋1x ＋4⎝
⎛⎭⎪⎫
k －12＝0.
(1)求证：无论k 取什么实数，这个方程总有实数根．
(2)若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另两边的长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．
答案
专训
1．解：当m 2＋1＝2且m －1≠0时，方程(m －1)2＝1，所以m ＝±1. 由m －1≠0，得m≠1，所以只能取m ＝－1.
所以当m ＝－1时，方程(m －1)x ＋3＝0是关于x 的一元二次方程． ：要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑． 2．2 015 ：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 015＝0，即a ＋b ＝2 015.
3．解：∵a＝4－c ＋c －4－2，∴c－4≥0且4－c≥0，即c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a－b ＋c ＝0，∴b＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 016
2 015×4
＝0.
4．D 5.A
6．解：(1)(x －1)2＋2x(x －1)＝0， (x －1)(x －1＋2x) ＝0， (x －1)(3x －1) ＝0， x 1＝1，x 2＝1
3.
(2)x 2－6x －6＝0， ∵a＝1，b ＝－6，c ＝－6，
∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60. ∴x＝6±602＝3±15，
∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (3)6 000(1－x)2＝4 860， (1－x)2＝ 0.81， 1－x ＝ ±0.9， x 1＝1.9，x 2＝0.1. (4)(10＋x)(50－x)＝800， x 2－40x ＋300＝ 0， x 1＝10，x 2＝30.
(5)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7， 4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7， x 2－6x ＋8 ＝0， x 1＝2，x 2＝4. 7．B
8．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b)＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)． 当a 为腰长时，△ABC 周长为5＋5＋2＝12. 当b 为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形．
∴△ABC 的周长为12. 9．A
10．(1)证明：化简方程，得x 2－5x ＋4－p 2＝0. Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.
∵p 为实数，则p 2≥0，∴9＋4p 2＞0.即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)解：当p 为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一) ：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(4－p 2)＝9＋4p 2，易得，9＋4p 2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x ＝5±9＋4p 2
2，若方程有整数解，
则9＋4p 2必须是完全平方数，故当p ＝0、2、－2时，9＋4p 2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．
11．解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a≤12
.
又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2， ∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.
∵a≤12，且2(a －2)2≥0，∴当a ＝1
2
时，x 12＋x 22的值最小．
此时x 12
＋x 22
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－22－4＝12，即最小值为12.
：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略． 12．解：(1)设该市这两年(从底到底)拥有的养老床位数的年平均增长率为x ，由题意可列出方程：
2(1＋x)2＝2.88.
解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该市这两年拥有的养老床位数的年平均增长率为20%.
(2)①因为规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30)，则建造双人间的房间数为2t ，三人间的房间数为100－3t ，由题意得：t ＋4t ＋3(100－3t)＝200.解得t ＝25.
答：t 的值是25.
②设该养老中心建成后能提供养老床位y 个，
由题意得：y ＝t ＋4t ＋3(100－3t)＝－4t ＋300(10≤t≤30)， ∵k＝－4＜0，∴y 随t 的增大而减小． 当t ＝10时，y 有最大值为300－4×10＝260， 当t ＝30时，y 有最小值为300－4×30＝180.
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．
13．解：(1)设剪成的较短的一段为，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝
⎛⎭
⎪⎫40－x 42
＝58，解得.
(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段为m cm ，则较
长的一段就为(40－m) cm ，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 42＋⎝
⎛⎭
⎪⎫40－m 42
＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.
14．解：∵x＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根， ∴2a 2＋a －2＝0，即2a 2＋a ＝2.
∴原式＝a 2(2a 2＋a)＋2a 2＋2a ＋1＝2a 2＋2a 2＋2a ＋1＝2(2a 2＋a)＋1＝5.
15．解：设2x ＋1＝y ，则原方程可变形为y 2－3y ＝－2. 解得y 1＝1，y 2＝2.
当y ＝1时，有2x ＋1＝1，所以x ＝0； 当y ＝2时，有2x ＋1＝2，所以x ＝1
2
.
所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝1
2
.
：利用换元法将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求解．
16．(1)证明：Δ＝[－(2k ＋1)]2
－4×4⎝
⎛⎭⎪⎫
k －12＝4k 2－12k ＋9＝(2k －
3)2.
∵无论k 取什么实数，均有(2k －3)2≥0， ∴无论k 取什么实数，原方程总有实数根．
(2)解：∵△ABC 是等腰三角形，∴有两条边长相等，若b ＝c ，∵b，c 是所给方程的两个根，
∴Δ＝(2k －3)2
＝0，即k ＝3
2
.
此时方程为x 2－4x ＋4＝0，∴b＝c ＝2.
又∵a＝4，∴b＋c ＝a ，不符合三角形的三边关系定理， ∴不存在这种情况．
若b 、c 中有一值与a 相等，不妨设b ＝a ＝4. ∵b 是所给方程的根，
∴42
－4(2k ＋1)＋4⎝
⎛⎭⎪⎫
k －12＝0.
∴k＝5
2，此时方程为x 2－6x ＋8＝0，∴b＝4，c ＝2.
∵a＝b ＝4，c ＝2，符合三角形的三边关系定理， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝4＋4＋2＝10.
：涉及等腰三角形的问题时，在没有指明底或腰的情况下，要先分类讨论再求解，同时对所求得的解进行检验，取舍，即所得的解还必须满足三角形的三边关系定理，不满足的解应舍去．。