近年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标7二次函数与幂函数理(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标7 二次函数与幂函数理
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课时达标第7讲
［解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置,难度中等．
一、选择题
1．(2018·河南南阳模拟)已知幂函数f（x）＝k·x a的图象过点错误!，则k＋a＝（C）
A．错误!B．1
C．3
2
D．2
解析因为f（x)＝k·x a是幂函数，所以k＝1．又f（x）的图象过点错误!,所以错误!a＝错误!，所以a＝错误!,所以k＋a＝1＋错误!＝错误!。

2．（2018·天津模拟）抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b,c的符号为（B）A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0,b＜0，c＞0 D．a＜0，b＞0，c＜0
解析由题意知,抛物线开口向下，故a<0。

由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac<0，所以c>0.再由顶点在第一象限得－错误!〉0，所以b>0.
3．对任意的x∈[－2,1］，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是( D)
A．(－∞,0］B．(－∞，3]
C．[0,＋∞）D．[3,＋∞)
解析设f(x)＝x2＋2x－a（x∈[－2，1]），由二次函数的图象知，当x ＝1时，f(x)取得最大值3－a，所以3－a≤0，解得a≥3,故选D．4．对于幂函数f(x)＝x错误!，若0<x1〈x2，则f错误!和错误!的大小关系是( B)
A．f错误!<错误!B．f错误!〉错误!
C．f错误!＝错误!D．无法确定
解析根据幂函数的性质：当0<x〈1时，图象是向上凸的，且通过点（0，0),（1,1)，可知B项正确．
5．设函数f（x)＝x2＋x＋a(a>0),已知f(m)<0，则（C)
A．f（m＋1)≥0B．f（m＋1）≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1）〈0
解析因为f(x）的对称轴为x＝－错误!，f(0）＝a〉0，所以f（x）的大致图象如图所示．
由f(m）〈0，得－1〈m〈0，所以m＋1〉0，所以f（m＋1)〉f（0）>0,故选C．
6．(2017·山东卷)已知当x∈[0，1]时,函数y＝(mx－1）2的图象与y ＝错误!＋m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是（B）A．(0，1］∪［23，＋∞）B．(0,1］∪［3，＋∞）
C．（0,错误!]∪［2错误!,＋∞)D．（0，错误!]∪［3，＋∞）
解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f（x）＝（mx－1)2＝
m2错误!2与g(x)＝错误!＋m的大致图象．
分两种情形：
(1）当0<m≤1时,错误!≥1，如图①，当x∈[0，1］时,f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；
（2)当m>1时，0〈错误!〈1，如图②，要使f（x)与g(x)的图象在［0，1]上只有一个交点,只需g(1）≤f（1），即1＋m≤(m－1)2,解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述,m∈(0，1]∪[3,＋∞)．
故选B．
二、填空题
7．已知函数f(x）＝x错误!，且f(2x－1)<f(3x），则x的取值范围是错误!。

解析f（x)＝x错误!在定义域[0，＋∞)上是递增的，
由f（2x－1)<f（3x)，得0≤2x－1〈3x，所以x≥错误!.
8．二次函数的图象过点(0,1）,对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为f（x）＝错误!（x－2）2－1 。

解析依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0，1),
∴4a－1＝1，∴a＝错误!，∴f（x）＝错误!(x－2)2－1．
9．已知f(x）是定义在[－2，2]上的奇函数，当x∈（0,2］时，f(x）＝2x－1，函数g（x)＝x2－2x＋m.如果∀x1∈［－2，2］,∃x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f（x1），则实数m的取值范围是__［－5，－2］__。

解析由题意得函数f（x)在［－2，2］上的值域A为函数g（x)在［－2,2］上的值域B的子集，又当x∈（0，2]时，f（x）＝2x－1∈（0，3］，所以当x∈[－2，0）时，f(x)∈［－3，0），而f(0）＝0，因此A＝［－3，3]．由二次函数性质知B＝[m－1，8＋m］，从而
错误!解得－5≤m≤－2。

三、解答题
10．已知二次函数图象的对称轴为x＝－2，截x轴所得的弦长为4，且过点(0，－1），求函数的解析式．
解析∵二次函数图象的对称轴为x＝－错误!，
∴可设所求函数的解析式为f（x）＝a(x＋错误!)2＋b.
∵二次函数f(x）的图象截x轴所得的弦长为4,
∴f（x)过点(－错误!＋2，0)和（－错误!－2,0)．
又二次函数f（x）的图象过点（0，－1），
∴错误!解得错误!∴f（x）＝错误!(x＋错误!）2－2。

11．（2018·山东德州月考）已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b（a≠0)，若f(x）在区间[2,3］上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
（2）若b<1，g(x)＝f（x)－mx在[2，4］上单调，求m的取值范围．解析（1)f（x）＝a（x－1)2＋2＋b－a。

当a〉0时,f(x)在[2，3]上为增函数,
故错误!⇒错误!⇒错误!
当a<0时，f(x）在［2，3］上为减函数，
故错误!⇒错误!⇒错误!
∴错误!或错误!
（2）∵b〈1，∴a＝1，b＝0，即f(x）＝x2－2x＋2.
g（x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－（2＋m）x＋2，
∵g（x)在[2，4]上单调，∴错误!≤2或错误!≥4.
∴m≤2或m≥6。

故m的取值范围为(－∞,2］∪[6,＋∞)．
12．（2018·河北唐山调研）设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a｜＋1,x ∈R.求f（x）的最小值．
解析（1）①当x≤a时，函数f（x)＝x2－x＋a＋1＝错误!2＋a＋错误!.
若a≤1
2
，则函数f（x）在(－∞，a]上单调递减，从而函数f(x)在（－
∞,a]上的最小值为f(a)＝a2＋1；
若a>错误!,则函数f(x）在(－∞,a］上的最小值为f错误!＝错误!＋a,且f错误!≤f(a)．
②当x≥a时，函数f(x)＝x2＋x－a＋1＝错误!2－a＋错误!。

若a≤－错误!，则函数f(x）在[a,＋∞)上的最小值为f错误!＝错误!－a，且f错误!≤f（a）；
若a〉－错误!,则函数f（x）在［a，＋∞)上单调递增，从而函数f（x)在［a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1．
综上，f(x)min＝错误!。