解答排列组合问题的几种常用措施

排列组合是高考中的一个重要考点，虽然占比不大，但是必考内容.排列组合问题的难度一般不大，但很多同学在解题时容易“遗漏”或“重复”计算排列数，导致解题出错.笔者重点研究了解答排列组合问题的常用措施，以帮助大家提升解题的效率.
一、采用插空法
插空法主要适用于解答要求元素不相邻的问题.运用插空法解题，需将没有要求的元素先排列顺序，然后再排列要求不相邻的元素.若n 个元素中有m 个元素要求不相邻，则需先将n -m 个没有要求的元素先排列好，那么这些元素中间就会形成n -m +1个空隙，加上2端的位置，就一共有n -m -1个位置，最后将要求不相邻的元素插入这n -m +1个位置中即可.
例1.某幼儿园的3个男孩和5个女孩依次上台表演，要求第一个登台表演的小朋友不能是男孩，也不能出现2个男孩前后一起上台的情况，则一共有多少种不同的排法？
分析：本题中不相邻元素为3个男孩，可采用插空法求解.先排列5个女孩的上台顺序，这5个女孩之间形成4个空位，加上最后一个位置，共有5空位，再将3个男孩安排在这5个位置即可.
解：先排5个女孩，有A 5
5种排法；再将3个男孩插
入5个空位中，有A 3
5种排法，则一共有A 5
5∙A 3
5=7200
种排法.
二、采用消序法
消序法主要适用于求解要求元素顺序固定的问题.运用消序法解题，需判定哪些元素的顺序固定，哪些元素的顺序没有要求，然后将所有的元素全排，再除去要求顺序固定的元素的全排列数.
例2.将甲、乙、丙、丁、戊、己6棵风景树移栽在公路的一侧，要求甲、乙、丙的栽种顺序固定不变，则一共有_____种不同的移栽方法.
分析：只有甲、乙、丙的栽种顺序固定不变，需采用消序法求解.首先将全部元素排序，再排列顺序固定的元素，最后将所得的排列数相除.解：甲、乙、丙、丁、戊、己6棵树排成一排，有A 6
6种
排法；
甲、乙、丙的排列方式有A 3
3种，
则一共有A 66
A 33=A 36=90种移栽方法.
三、运用直排法
直排法适用于求解将元素分成几排的排列问题.利用直排法解答排列组合问题，需先将所有的元素排成一排；然后分析每一排的排列情况；最后运用乘法计数原理进行计算.
例3.8位同学一起表演某红歌节目，要求将这8位同学排成2排，每一排4个人.李华和李刚要求站在第一排，贾敏要求站在第二排，则有___种不同的排法.
分析：将8个人分成2排，需采用直排法求解.先将8个人看成一排进行排列，然后再讨论李华、李刚、贾敏的位置.
解：李华和李刚要求站在第一排，有A 2
4种排法；贾敏要求站在第二排，有A 1
4种排法，最后将剩下的5位同学随意排列，有A 5
5种排法，所以一共有A 2
4∙A 1
4∙A 5
5=5760种排法.
四、借助隔板法
隔板法适用于求解相同元素的分配问题.可将n 个相同的元素放在一起，这些元素之间形成n -1个空隙，再将m 个隔板插入n -1个空隙中，便能将这n 个元素分成m 份.
例4.李老师将10个大小、形状一致的小球分给5个小朋友，要求每个小朋友至少有1个小球，则有___种不同的分配方式.
分析：本题中的10个小球是相同元素，可采用隔板法，随机插入4块隔板就能将10个相同元素分成5份.
解：根据题意可知，10个小球之间形成9个空隙，而将10小球分成5份只需要4块隔板，将4块隔板插入9个空隙中，有C 4
9=126种插法，即有126种分配方式.
很多同学容易将隔板法和插空法混淆，它们的主
要区别在于元素是否相同，同学们要仔细辨别和区分它们.除此之外，在解题时，同学们还需要注意谨慎计算，避免出现计算错误.
（作者单位：山东省垦利第一中学）
解题宝典
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