辽宁省阜新市第七高级中学2020年高一数学理联考试题含解析

辽宁省阜新市第七高级中学2020年高一数学理联考试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数≠ ,≠－1, = , .若
,则( )
A. <0
B. =0
C.0< <1
D.≥1
参考答案：
解析：注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值.
当 =0时, = , = ,则 ,由此否定B,
当 =1时, = ,f( )=f( ),则 ,由此否定D;
当0< <1时, 是数轴上以分划定点 ,所成线段的定比分点(内分点),
是数轴上以>1分划上述线段的定比分点(内分点),∴此时又f(x)在R上递减,∴由此否定C.因而应选A.
2. 已知,是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列命题中错误的是
（）
A. 若∥，，，则
B. 若∥，，，则
C. 若，，,则⊥
D. 若⊥，，,,则
参考答案：
A
【分析】
根据平面和直线关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 若，，，则
如图所示情况，两直线为异面直线，错误
其它选项正确.
故答案选A
【点睛】本题考查了直线平面的关系，找出反例是解题的关键.
3. 有下列四个命题：①是空集；②若，则；③集合
有两个元素；④集合是有限集，其中正确命题的个数是
A、0
B、1
C、2
D、3
参考答案：
A
4. 若集合，，则=（）
A B C D
参考答案：
A
略
5. 设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若，则（）
A、3：4
B、2：3
C、1：2
D、1：3
参考答案：
A
6. 将函数y=sin(2x+)(x∈R)的图象上所有点向右平移个单位(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式是 ( )
A．y=－cos2x B．y=cos2x C．y=sin(2x+) D．y=sin(2x－)参考答案：
A
7. 若函数，则的值是（）．
A．3 B．6 C．17
D．32
参考答案：
A
8. 函数在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为
（）
A． B．
C．D．
参考答案：
A
9. 三个数a=（），b=（），c=（）的大小顺序是（）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
参考答案：
B
【考点】幂函数的性质．
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵，
∴a=（）＞b=（），
∵函数f（x）=在（0，+∞）上单调递减，
∴b=（）＞c=（），
∴a＞b＞c．
故选：B．
10. （5分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，
△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
考点：三角形中的几何计算；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：计算题；解三角形．
分析：据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用
BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；由比值，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
解答：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
S1=AB?AC=a2sinθcosθ．
设正方形的边长为x则 BP=，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得+xcosθ=acosθ，故 x=
∴S2=x2=（）2
=?==+sin2θ+1，
令t=sin2θ，因为 0＜θ＜，
∴0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]．
∴=+t+1=g（t），g′（t）=﹣+＜0，
∴函数g（t）在（0，1]上递减，
因此当t=1时g（t）有最小值 g（t）min=g（1）=，
此时sin2θ=1，θ=
∴当θ=时，最小，最小值为．
故选：B．
点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，已知A=45°，B=105°，则的值为．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【分析】由题意和内角定理求出角C，根据正弦定理求出的值．
【解答】解：在△ABC中，∵A=45°，B=105°，∴C=180°﹣A﹣B=30°，
由正弦定理得，
则==，
故答案为：．
12. 命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是．
参考答案：
若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】根据四种命题的定义，结合原命题，可得其否命题．
【解答】解：命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是“若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”，
故答案为：若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”
【点评】本题考查的知识点是四种命题，正确理解四种命题的定义，是解答的关键．13. 已知函数，若存在当时，
则的取值范围是_______________.
参考答案：
略
14. 已知集合至多有一个元素，则的取值范围为
参考答案：
15. 函数在区间上是增函数，则的取值范围
是
参考答案：
16. 已知log23=t，则log4854= （用t表示）
参考答案：
【考点】换底公式的应用；对数的运算性质．
【分析】利用对数的换底公式化简求解即可．
【解答】解：log23=t，则log4854===．
故答案为：．
【点评】本题考查换底公式的应用，对数运算法则的应用，考查计算能力．
17. 函数g（x）=ln（a x﹣b x）（常数a＞1＞b＞0）的定义域为，值域为．参考答案：
（0，+∞），R
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】利用对数的真数大于0，列出不等式，求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，必有a x﹣b x＞0，a＞1＞b＞0
可得（）x＞1，解得x＞0．
函数的定义域为：（0，+∞），
值域是R．
故答案为：（0，+∞），R．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：
每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入
（万元）满足
，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
参考答案：
解：（1）由题意得G(x)=2.8+x．…………………2分
∴=R(x)-G(x)=．…………………7分
（2）当x >5时，∵函数递减，∴<=3.2（万元）． (10)
分
当0≤x≤5时，函数= -0.4(x-4)2+3.6，
当x=4时，有最大值为3.6（万元）．…………………14分
所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…………………15分
19. 已知圆C：（x﹣1）2+y2=4
（1）求过点P（3，3）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）已知直线m：x﹣y+1=0与圆C交于A、B两点，求|AB|
参考答案：
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．
【分析】（1）设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可；
（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦|AB|的长．
【解答】解：（1）设切线方程为y﹣3=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+3=0，
∵圆心（1，0）到切线l的距离等于半径2，
∴=2，解得k=，
∴切线方程为y﹣3=（x﹣3），即5x﹣12y+21=0，
当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=3，圆心（1，0）到此直线的距离等于半径2，
故直线x=3也适合题意．
所以，所求的直线l的方程是5x﹣12y+21=0或x=3．
（2）圆心到直线的距离d==，
∴|AB|=2=2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程的求法，注意直线的斜率存在与不存在情况，是本题的关键．
20. （满分14分）已知函数（1）写出的单调区间
（2）解不等式（3）设上的最大值
参考答案：
解∴f(x)的单调递增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调递减区间是[1，2]
⑵∵或
∴不等式f(x)<3的解集为｛x|x<3｝
⑶①当
②当1≤a≤2时，f(x)在[0 1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，
此时f(x)在[0 a]上的最大值是f(1)=1
③当a>2时，令f(a)-f(1)=a(a-2)-1=a2-2a-1>0, 解得
ⅰ当2<a≤时,此时f(a)≤f(1),f(x)在[0,a]上的最大值是f(1)=1
ⅱ当a>时,此时f(a)>f(1),f(x)在[0,a]上的最大值是f(a)=a(a-2)综上，当0<a<1时，f(x)在[0,a]上的最大值是a(2-a);…………………………………………………12分
21. 已知过点M（-3，-3）的直线l 被圆x2＋y2 ＋4y-21=0所截得的弦长为，求直线l 的方程。

参考答案：
将圆方程化为标准形式：x2＋(y+2)2＝25，所以圆心坐标为（0，-2），
半径r=5. ----- 2分
由弦长是，可得弦心距为：。

设l:y+3=k(x+3),即：kx-y+3k-3=0.
由，得，解得：，或。

-- 6分
所以l的方程为：或。

----- 8分
即：2x-y＋3＝0或x＋2y＋9＝0 --------- 10分
22. 已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线交圆C于A、B两点.
（Ⅰ）当经过圆心C时，求直线的方程；
（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，写出直线的方程；
（Ⅲ）当直线的倾斜角为45o时，求弦AB的长.
参考答案：
解：(Ⅰ)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，
所以直线l的斜率为2，直线l的方程为，即.
(Ⅱ)当弦AB被点P平分时，l⊥PC, 直线l的方程为,
即
(Ⅲ)当直线l的倾斜角为45o时，斜率为1，直线l的方程为,
即，圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为.。