高等数学1-9

y
y f ( x)
o
a

b
x
o
a
1 2
3 b x b
例1 试证方程 x 2 x 1 至少有一个小于 1 的正根．
证 令 f ( x ) x 2 x 1,
f (0) 1,
则 f ( x ) 在 [0,1]上连续，且
f (1) 1.
由零点定理得： 至少存在一点 (0,1),
F (a ) f (a ) a 0,
F (b) f (b) b 0,
由零点定理,
至少存在一点 (a , bLeabharlann ),使得 F ( ) 0,
即 f ( ) .
练 试证方程 x 3 4 x 2 1 0 至少有一个小于 1 的正根．
证
令 f ( x ) x 3 4 x 2 1, 则f ( x )在[0,1]上连续,
使得 f ( ) 0.
即方程 x 2 x 1 至少有一个小于1的正根．
例2 设 f ( x )在[a , b]上连续， f (a ) a , f (b ) b ， 且 证明：
在(a , b ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) ．
证
令 F ( x ) f ( x ) x , 则 F ( x ) 在 [a , b]上连续，且
注 若不是闭区间或闭区间内有间断点, 则结论不一定成立．
y
y f ( x)
y
1 1
y
o
a
2
1 b
x
o
1 x
o
1 x
1
三、介值性
定理3（介值定理） 在闭区间[a , b] 上连续的函数必取得介
于其最大值Ｍ与最小值 m 之间的任何值．
y
M
C
y f ( x)
a
x1
o
m
1
2 3 x2 b
又 f (0) 1 0,
f (1) 2 0,
(0,1), 使 f ( ) 0,
由零点定理,
3 2
即 4 1 0,
故方程 x 3 4 x 2 1 0 至少有一个小于 1 的正根．
思考题
下述命题是否正确？
如果 f ( x ) 在 [a , b] 上有定义，在 ( a , b ) 内连续，且
x x
四、零点存在性
设函数 f ( x )在闭区间 [a , b] 上连续，且 定理4（零点定理） 即至少有一点 (a , b ) ，使 f ( ) 0 .
f (a ) f (b ) 0 ,则在开区间(a , b ) 内函数 f ( x )至少有一个零点,
y
y f ( x)
第九节 闭区间上连续函数的性质
• • • • 一、有界性 二、最值性 三、介值性 四、零点存在性
〇、预备知识
1．函数的最值
定义1
设 f ( x )在区间 I 上有定义，若存在 x0 I ，使得
f ( x ) f ( x0 )
x I ，有
（或 f ( x ) f ( x0 ) ） ，
[a , b] 上取得它的最大值和最小值．
【即若 f ( x )在[a,b ]上连续， 则存在1 , 2 [a , b]， 使得
x [a , b]，有 f ( 2 ) f ( x ) f (1 ) ． 】
x 1 1 x 0 y 0 x0 x 1 0 x 1
一、有界性
定理1（有界性定理） 在闭区间 [a , b] 上连续的函数必在
[a , b] 上有界．
注 若区间不是闭区间或区间内有间断点, 则结论不一定 成立．
y
1
x y 1 x
1 x 0 0 x 1
o 1
x
二、最值性
定理2（最值性定理）在闭区间 [a , b] 上连续的函数必在
则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 在区间 I 上的最大值（或最小 值） ．最大值与最小值统称为最值．
2．函数的零点
定义2 若 f ( x0 ) 0 ，则称点 x0 为函数 f ( x )的零点．
注 点 x0 为函数 f ( x )的零点 x x0 为方程 f ( x ) 0 的实根．
f (a ) f (b ) 0 ，那么 f ( x ) 在(a , b ) 内必有零点.
思考题解答
不正确.
1 例如，函数 f ( x ) 1
0 x 1 x0
f ( x ) 在(0,1) 内连续,
f (0) (1) 1 0.
但 f ( x ) 在 (0,1)内无零点.