多属性决策分析.

xo j min xij , 则
1i m
yij
xij x o j
o x* j xj
, (1 i m,1 j n)
1i m
对于逆向指标f j，取x* j min xij , xo j max xij , 则
1i m
yij
xo j xij x x
假设各属性真实的权重是 W (1 , 2 ,, n )
T

i 1
n
i
1
如果矩阵A是完全准确的话，一定 有下面的关系: a11 a A 21 an1 a12 a22 an 2 a1n 1 1 1 2 1 n a2 n 2 2 2 n ＝ 2 1 ann n 1 n 2 n n
下面我们讲解一下原理。 3.1 权重的求解思路
设有n个决策指标 f1 , f 2 ,, f n , 决策者对n个指标的重要性进行两 两比较， 得矩阵A : (注意，不是决策矩阵， 是判断矩阵) a11 a A 21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
2）按行求和得一向量： Wi
0 3）再向量归一化： Wi
a
aij
ij
b
j
ij
i i
i
i 1,2, n
所得 Wi (i 1,2, n) 即为A的特征向量的近似值，也就是权重。
0
4）求A的最大特征值 max
AW maxW , 而 AW ( a1 j j , a2 j j ,, anj j )T
i 1
3(1 3), 2(1 2), 1,
当f i 比f i 1 重要(或相反)； 当f i 比f i 1 较重要(或相反)； 当f i 和f i 1 同样重要。
(i 1,2, , n 1)
例7－3 P211 本方法容易满足传递性，但也容易产生误差的传递。
3、特征向量法
应用前两种方法时，如果目标属性比较多，一旦主观赋值一致 性不好时也无法进行评估。为了能够对一致性可以进行评价， Saaty引入了一种使用正数的成对比较矩阵的特征向量原理测量 权的方法，叫做特征向量法。这种方法在层次分析法(AHP)采 用，也可以用在其他多属性决策。
设有n个决策指标f1 , f 2 ,, f n , (1)将n个指标以任意顺序排列 ，不妨设为f1 , f 2 ,, f n； (2)从前到后，依次赋以相 邻两指标相对重要程度 的比率值，比率值 ri (i 1,2,, n 1) ri rn 1; (3)计算各指标的修正值。 赋以f n修正值k n 1, 根据ri 计算各指标的修正评分 值： ki ri ki 1 , (i 1,2,, n 1) (4)归一化处理，求出各指 标的权重，即 k i n i , (i 1,2,, n) ki
2、线性比例变化法
设决策矩阵X ( xij ) mn 中，对于正向指标 f j，取x* j max xij 0,
1i m
则 yij xij x
* j
, (1 i m,1 j n)
1i m
对于逆向指标f j，取x* j min xij , 则 yij x* j xij , (1 i m,1 j n)
第七章 多属性决策分析
• • • • • • •
决策指标的标准化 决策指标权重的确定 加权和法 加权积法 Topsis法 Electre 法（不讲） Promethee法（不讲）
第一节 多属性决策的准备工作
多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息 的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选 （或称为筛选）。
见例7－1 P208
三、决策指标权的确定
多属性决策问题的特点，也是求解的难点在于目标间的矛盾性 和各目标的属性的不可公度。不可公度性通过决策矩阵的标准 化处理得到部分解决；解决目标间的矛盾性靠的是引入权 (weight)这一概念。 权，又叫权重，是目标重要性的度量。权的概念包含并反映下 列几重因素：
i
a
i 1 j 1
j 1 n n
a
n
ij
, (i 1,2,, n)
ij
例7－2 P210
使用本方法时要注意：1、指标之间要有可比性；2、应满 足比较的传递性（一致性）。
2、连环比较法（古林法）
连环比较法也是一种主观赋权法。以任意顺序排列指标，按顺 序从前到后，相邻两指标比较其相对重要性，依次赋以比率值， 并赋以最后一个指标的得分值为1；从后往前，按比率依次求 出各指标的修正评分值；最后进行归一化处理，得到各指标的 权重。
1 n ( AW ) i max＝ n i 1 i
③几何平均法。对于一个一致的判断矩阵，按行求几何平均值得到 的向量是和权重向量成固定比例的，归一化后就是近似的权重 向量。 1）将矩阵A按行求几何平均值：
i n
a
j 1
n
ij
2）对向量 1 (1, 2 ,, n )T 归一化，令 i
一、决策矩阵 经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各 指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。(困
难，列方程和解方程的关系，理论和实践之间的关系)
设有n个决策指标fi（1≤j≤n），m个备选方案ai 1≤i≤m），m 个方案n个指标构成的矩阵 X=(xij)m×n 称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。 决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优； 成本型指标（逆向指标），数值越小越优。
1 m 1 m 其中，样本均值 x j＝ xij , 样本均方差 sj ( xij x j ) 2 m i 1 m 1 i 1 矩阵Y ( yij ) mn 称为标准样本变换矩阵 。 经过变化之后，标准化 矩阵每列的均值为 0，方差为 1。
5、定性指标的量化处理 如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标 依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分 为5级、7级、9级等。
为了直观，也可以辅助于决策表
指标Xj 替代方案 Ai
自行设计 （A1） 国外引进 （A2） 改 建 （A3） 期 望 利 润 (万元) 650
产 品 成 市 场 占 品率（%） 有率（%） ）投资 费用 95 30 110
（万元
产 品 外 观 美 观 比ห้องสมุดไป่ตู้较 美 观
730
97
35
180
520
92
25
这就是所谓一致性正互 反矩阵，即所有元素都 是正的， 并且对于任意i, j , k 1,2, , n, 都有性质： a 1 aij , aij ik a ji a jk
A乘以W (1 , 2 ,, n )T 得 如果矩阵A是完全准确的话，一定 有下面的关系: 1 1 1 2 1 n 1 1 2 2 2 n 2 AW 2 1 n 2 nW n 1 n 2 n n n n 这里n是矩阵A的最大特征值，而 W正是最大特征值 n对应 的特征向量。
50
美 观
二、决策指标的标准化
指标体系中各指标均有不同的量纲，有定量和定性，指标之 间无法进行比较。 将不同量纲的指标，通过适当的变化，化为无量纲的标准化 指标，称为决策指标的标准化，又叫数据预处理。 有三个作用： 1）变为正向指标 2）非量纲化，消除量纲影响，仅用数值表示优劣 3）归一化，把数值均转变为[0,1]区间上，消除指标值标度 差别过大的影响。 指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。 下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况 选择一种或几种对指标值进行处理。
1、向量归一化
设决策矩阵X ( xij ) mn中，令 yij xij
x
i 1
m
, (1 i m,1 j n)
2 ij
则矩阵Y ( yij ) mn 称为向量归一标准化矩 阵。显然 0 yij 1, 并且每列的平方和等于1，即列向量的模为 1。 本方法不改变属性的方 向，常用于计算各方案 与某种虚拟方案 （如理想点和负理想点 ）的欧式距离的场合。
o j * j
, (1 i m,1 j n)
矩阵Y ( yij ) mn 称为极差变换标准化矩 阵。 经过变换之后，均有 0 yij 1，并且正、逆向指标均 化为 正向指标， 1为最优值， 0为最劣值。 这是一个线性变换，又 称标准0－1变换。
4、标准样本变换法
设决策矩阵X ( xij ) mn中，令 yij xij x j sj , (1 i m,1 j n)
定义2：对于正矩阵 A (aij ) nn , 如果(1) aii 1, (i, j 1,2, , n); (2) aij 则称A为互反正矩阵。 1 , (i, j 1,2, , n). a ji
两类方法各有利弊，实际应用时可以结合使用。
下面介绍几种常用的确定权的方法
1、相对比较法
相对比较法是一种主观赋权法。将所有指标分别按行和列，构 成一个正方形的表，根据三级比例标度，指标两两比较进行评 分，并记入表中相应位置，再将评分按行求和，最后进行归一 化处理，得到各指标的权重。
设有n个决策指标f1 , f 2 ,, f n , 按三级比例标度两两相 对比较评分，其分值 设为aij , 三级比例标度的含义是 ： 1, 当f i 比f j 重要时； aij 0.5, 当f i 比f j同样重要时； 0, 当f i 比f j 不重要时； 评分值构成矩阵 A (aij ) mn , 显然aii 0.5, aij a ji 1, 指标f i 的权重系数：
j 1 j 1 j 1 n n n
故有
maxi aij j , (i 1,2,, n)
j 1
n
记( AW ) i aij j ,表示向量AW的第i个分量，于是
j 1
n
max＝
( AW ) i
i
， 由于A不一定是完全一致的， 得到的
max可能值并不完全相同， 可以取算术平均值，即
①决策人对目标的重视程度；
②各目标属性的差异程度； ③各目标属性的可靠程度
确定权重是非常困难的，因为主观的因素，权重很难准确。
确定权的方法有两大类： 主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种方法测定属性指标 的权重； 客观赋权法：根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某 种方法测定属性指标的权重。
因此权重向量 W 的求解方法： ①用幂法原理求矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。
②算术平均法。对于一个一致的判断矩阵，它每一列归一化后，就 是相应的权重向量；当判断矩阵不太一致时，每一列归一化后 就是近似的权重向量，可以按行相加后再归一化（相当算术平 均值）。
1）将判断矩阵按列归一化（即使列和为1）：bij
i i
i
i 1,2, n
所得 W (1 , 2 ,, n ) 即为A的特征向量的近似值，也就是权 重。
1 n ( AW )i 3）按 max＝ 求最大特征值。 n i 1 i
3.2 一致性检验
定义 1 ：设矩阵A (aij )nn , 如果aij 0, (i, j 1,2,, n)，则称A为正矩阵。
矩阵Y ( yij ) mn 称为线性比例标准化矩 阵。 经过变换之后，均有 0 yij 1，并且正、逆向指标均 化为 正向指标，1为最优值，但最劣值不 一定为0。
3、极差变换法
设决策矩阵X ( xij ) mn 中，对于正向指标 f j，取x* j max xij ,
1i m